Математическая энциклопедия




Математическая энциклопедия
АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЙ КЛАСС -
АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЙ КЛАСС

класс однотипных моделей, определяемый системой аксиом. Класс Кмоделей формального языка Lназ. аксиоматизируемым (конечно аксиоматизируемым), если существует (конечная) система замкнутых формул языка Lтакая, что Ксодержит те и только те модели, на к-рых определены и истинны все формулы из (см. Алгебраическая система). Класс моделей рекурсивной сигнатуры наз. рекурсивно аксио-матлзируемым, если он может быть задан рекурсивным множеством аксиом.

Многие классы алгебраич. систем, изучаемых в математике, определяются системой аксиом языка 1-й ступени. Напр., классы всех булевых алгебр, всех групп, всех полей, всех решеток являются конечно аксиоматизируемыми. Классы всех групп без кручения, всех полей характеристики 0, всех алгебраически замкнутых полей рекурсивно аксиоматизируемы, хотя не конечно аксиоматизируемы. Теория А. к. выявляет закономерности, общие для всех классов объектов, определяемых с помощью данного языка; она хорошо разработана для языка 1-й ступени, поэтому далее речь идет только о таких классах и формулах.

Две модели наз. элементарно эквивалентными, если всякая формула языка 1-й ступени, истинная в одной из них, истинна и в другой. Модель наз. элементарным расширением модели если всякая формула, определенная и истинная в будет истинной в

Элементарно замкнутый класс Кмоделей наз. полным, если все его модели элементарно эквивалентны между собой. Каждый А. к. моделей является суммой попарно непересекающихся полных классов. Класс наз. категоричным в мощности m, если все его модели мощности m изоморфны. Полный класс моделей счетной сигнатуры, категоричный в несчетной мощности, будет категоричным во всех несчетных мощностях, но может быть некатегоричным в счетной мощности; и в этом случае класс имеет счетное число попарно неизоморфных счетных моделей. Для любого n№2существует полный А. к., имеющий ровно пнеизоморфных счетных моделей.

А. к. моделей Кназ. разрешимым, если существует алгорифм, позволяющий для каждой замкнутой формулы языка Lуказать, истинна или нет она на каждой модели К. Связь полных, категоричных и разрешимых классов дает теорема: если Ккатегоричен в бесконечной мощности и не имеет конечной модели, то он полон. Полный рекурсивно А. к. моделей разрешим.

Обобщениями А. к. являются редукционные классы и проективные классы. Проективные классы определяются аксиомой 2-й ступени, имеющей вид:


где - предикатные переменные, - формула сигнатуры Многие свойства А. к. переносятся на эти классы.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] его же, в кн.: Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда т. 1, Л., 1963, с. 169-98. А. Д. Тайманов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

аксиоматизируемый класс аксиоматизируемый класс аксіоматизо/вний клас Русско-украинский политехнический словарь. 2013.
axiomatizable axiomatizable аксиоматизируемый finitely axiomatizable class ≈ конечно аксиоматизируемый класс finitely axiomatizable quasivariety ≈ конечно аксиоматизируемое квазимногообразие finitely axiomatizable system ≈ конечно аксиоматизируемая система finitely axiomatizable theor ≈ конечно аксиоматизируема
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ - класс алгебраич. систем ( -систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1-й ступени, к-рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид: где - термы сигнатуры от предметных переменных . В силу теор
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50-х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой. Основные понятия. Алгебра

Заказать работу



наверх страницынаверх страницы на верх страницы





© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования