В библиотеке

Книги2 383
Статьи2 537
Новые поступления0
Весь каталог4 920

Рекомендуем прочитать

Соловьев В.Философские начала цельного знания
Владимир Сергеевич СОЛОВЬЕВ (1853 - 1900) - выдающийся русский религиозный философ, поэт, публицист и критик. Свое философское мировоззрение Соловьев изложил в трактате "Философские начала цельного знания", который может считаться по нынешним определениям наилучшим образцом философской классики, как учение о сущем, бытии и идее.

Полезный совет

На странице "Библиография" Вы можете сформировать библиографический список. Очень удобная вещь!

Алфавитный каталог
по названию произведения
по фамилии автора
 

АвторУитроу Дж.
НазваниеEстественная философия времени
Год издания2003
РазделКниги
Рейтинг0.16 из 10.00
Zip архивскачать (525 Кб)
  Поиск по произведению

III . Математическое время

I . Время и число

Абстрактное математическое представление о времени как о геометрическом месте точек — так называемое «сведение времени к пространству», представляет собой одно из наиболее фундаментальных понятий современной науки. Его психологической основой является наша интуитивная концепция одномерного времени. Инстинктивное признание нами этого свойства линейности, возможно, обусловлено упомянутым 'выше фактом, состоящим в том, что, строго говоря, мы можем сознательно следить во времени только за одной вещью и что мы не в состоянии делать это достаточно долго, не отвлекая своего внимания. Наше представление о времени непосредственно связано, таким образом, с нашей «цепью мыслей», то есть с тем фактом, что процесс мышления имеет форму линейной последовательности. Однако эта линейная последовательность состоит из дискретных актов внимания. Поэтому первоначально время более естественным образом связывается со счетом, а следовательно, с числом, чем с линейным континуумом геометрии. Мы уже подчеркивали большое значение ритма в развитии представления о времени. Поскольку процесс счета является наиболее простым из всех ритмов (он представляет собой ряд единиц, каждая из которых рассматривается как в точности подобная предыдущей и которые можно совершенно свободно сочетать в группы), мы можем приписать способность формировать числа элементарному ритму внимания. И, конечно, не случайно, что слова «число» и «ритм» в древнегреческом языке — apiofioi; и робцо? — образованы от общего корня petv —течь, являются априорными, или врожденными, свойствами человеческого разума. Поэтому какое-либо изменение наших представлений о пространстве и времени является, по его мнению, не только ненужным, но и «немыслимым». Хорошо известно, что, с точки зрения Канта, пространство, по существу, является единственным и евклидовым, даже если оно присуще не самой природе, а скорее только нашим представлениям о ней. Аналогично время тоже должно быть единственным, хотя Кант — философ, известный туманностью своей терминологии, — видимо, явно не высказался по данному вопросу.

На особенно тесную связь между временем и процессом счета! указывали как философы, изучавшие проблему времени, так и философы, специализировавшиеся в области основ математики. Например, Аристотель, стараясь установить различие между» временем и движением, подошел весьма близко к сведению времени к чи« слу. С другой стороны, Л. Брауэр при разработке в первом двадцатилетии нашего века своей известной «интуиционистской» теории математики основывал свое построение натуральных чисел на концептуальной' множественности интервалов времени, которое он рассматривал как первичную интуицию человеческого ума. Доктрина Брауэра восходит к философии Канта, который утверждал, что «арифметика производит свои числовые понятия через последовательное прибавление единиц во времени» 2 . Хотя Кант и не рассматривал арифметику как науку о времени, подобно геометрии, которую он считал наукой о пространстве, поскольку арифметические отношения не зависят от времени, он все же полагал, что как пространство, так и время представляют собой всеобщие формы нашей интуиции или нашей способности постижения явлений и, следовательно, что касается людей, то известный математик и молниеносный вычислитель профессор А. Айткен свидетельствует, что когда он производит в уме арифметические действия, то он почти ничего наглядно не представляет, однако «ритмико-слуховой импульс в это время весьма силен» (А. С. A i t k e n, « The Listener », 62, 19 th November , 1959, p . 885).

  • 1 Недавние эксперименты, посвященные доязыковой способности птиц «считать», обнаружили, что эта связь на самом деле имеет глубокие корни. Так, имеется доказательство, что способность птиц «считать про себя», которая, как было показано О. Кёлером (« Bull . Animal Behaviour », № 9, March , 1951, 41—45), является скрытой способностью птиц, основана на памяти о ряде предыдущих действий, совершенных последовательно во времени. Галка, приученная открывать подряд одну за другой крышки кормушек, в которых она получала пять порций пищи, находила одну порцию в первой кормушке, две во второй и одну в третьей. Затем она шла обратно в свою клетку, однако позднее возвращалась к кормушкам, заглядывала один раз в первую, дважды во вторую и один раз в третью. После этого она открывала четвертую кормушку и, не найдя в ней ничего, переходила к пятой и извлекала из нее единственную порцию. Остальные кормушки она оставляла нетронутыми. Стремление «нагнуться» сначала над первыми тремя кормушками указывает, по-видимому, что птица «считала», вспоминая свои прежние действия.
  • 2 И. К а и т, Пролегомены, Соцэкгиз, 1934, стр. 148.

Весьма оригинальная теория пространства и времени Канта произвела глубокое впечатление на одного из величайших математиков первой половины XIX столетия Уильяма Роуана Гамильтона, который спустя примерно тридцать лет после смерти Канта прочел доклад перед Королевской ирландской академией, где утверждал, что, поскольку существует геометрия — чистая математическая наука о пространстве, должна существовать также и чистая математическая наука о времени, и что такой наукой должна быть алгебра '. Неудовлетворенный формалистическим подходом Пикока, который рассматривал алгебру как «систему знаков и их комбинаций», Гамильтон требовал более «реального» ее обоснования. Он искал это обоснование в нашем интуитивном понимании времени, но цель его заключалась скорее в том, чтобы вывести алгебру из этого интуитивного понимания, чем в том, чтобы использовать алгебру для разъяснения последнего. Он исходил из трех фундаментальных принципов: (1) понятие времени связано с существующей алгеброй; (2) понятие о времени или интуитивное понимание времени может быть развито в независимую чистую науку; (3) наука о чистом времени, разработанная таким образом, совпадает и тождественна с алгеброй, коль скоро последняя является наукой. Однако если алгебра должна основываться на времени, которое Гамильтон рассматривал как одномерный континуум точечных мгновений, то, когда мы переходим к рассмотрению корней уравнений второй степени, возникает трудность истолкования мнимых корней квадратного уравнения. Научная статья Гамильтона в основном посвящена его попытке преодолеть эту трудность с помощью предложенной им теории пар-моментов (А\, az) где Л] есть первичный момент, а А 2 — вторичный, независимо от того, следует ли Л 2 за первичным моментом, предшествует ему или совпадает с ним. Исходя из этой концепции, он разработал алгебраическую теорию пар чисел, которая привела к алгебраической (отличной от геометрической) концепции комплексных чисел, содержащих квадратный корень из минус единицы. В конце своей второй статьи, посвященной этой теме, он ссылается на статьи Грейвза о логарифмах комплексных чисел и в заключение дает следующее красноречивое обоснование своей точки зрения. «Однако, поскольку г-н Грейвз в своих рассуждениях использовал обычные принципы, касающиеся комплексных величин, и удовлетворился доказательством символической необходимости, не приводя никакого истолкования и не раскрывая внутренней сущности своих формул, данная теория пар публикуется с целью выявить их скрытое значение и по-' казать этим замечательным примером, что выражения, которые представляются, согласно обычным воззрениям, только символическими и совершенно неистолковываемыми, могут войти в мир мышления и обрести реальность и значение, если алгебра будет рассматриваться не только как простое искусство или язык, но и как Наука о Чистом Времени».

  • 1 W. R. Hamilton, «Trans. Roy . Irish. Acad.», 1833—1835.

Хотя квадратный корень из минус единицы не являлся числом в традиционном смысле, он подчинялся всем формальным алгебраическим правилам для классических чисел и был поэтому скорее новой арифметической сущностью, чем элементом новой алгебры. Алге-браические исследования Гамильтона достигли, однако, своего кульминационного пункта восемь или девять лет спустя, когда он сделал известное открытие квартернио-нов, первого примера некоммутативной алгебры. Таким образом, окончательным итогом его хода рассуждений было следующее открытие: алгебра не единственна. Эту точку зрения было весьма трудно примирить с кантов-ской концепцией относительно природы алгебры, которая разделялась им самим, что и явилось весьма мощным аргументом в пользу формалистической философии математики, против которой он был столь решительно настроен. Что касается, в частности, точки зрения Гамильтона на связь алгебры с понятием времени, то окончательный приговор ее был вынесен пятьдесят лет спустя крупным алгебраистом Кэли в его президентском адресе к Британской Ассоциации в 1883 году. Отметив, что Гамильтон употреблял термин «алгебра» в весьма широком смысле, так что в нее включалось и дифференциальное исчисление, он заявил, что не может признать связи алгебры с понятием времени. «Я пошел бы дальше, — сказал он, — понятие непрерывного изменения является очень фундаментальным понятием, оно составляет основу исчисления флюксий (если не-всегда, то в дифференциальном исчислении), оно имеется или подразумевается в чистой математике, и можно сказать, что изменения любого рода происходят только во времени; однако мне кажется, что изменения, которые мы изучаем в математике, в большинстве случаев рассматриваются совершенно независимо от времени. Мне представляется, что в математике нет понятия времени, пока мы не привносим его туда».

В том же году в своей фундаментальной работе о смысле математического континуума Георг Кантор утверждал, что мы не можем приступить к определению этого понятия, ссылаясь только на представление о времени или только на представление о пространстве, так как сами эти представления могут быть ясно объяснены только с помощью понятия континуума, которое должно быть простым и не должно от них зависеть'. Поэтому философ-неокантианец Эрнст Кассирер переистолковал кантовскую теорию арифметики как изучение «рядов», находящих конкретное выражение во временной последовательности. Он утверждал, что сам Кант сначала искал «трансцендентальное» определение времени как прототип упорядоченной последовательности и считал, что основанием логических понятий последовательности и порядка, из которых можно вывести законы арифметики, является не наше интуитивное понятие о времени, а, напротив, наше представление о времени неявно зависит от этих понятий.

Эта точка зрения была отвергнута Брауэром, который вслед за Кронекером критиковал Кантора и возвратился к первоначальной точке зрения Канта на время, хотя и отрицал теорию пространства последнего. К концу XIX столетия философы и математики резко разошлись во мнениях по отношению к открытию (примерно через двадцать лет после смерти Канта) неевклидовой геометрии Лобачевским и независимо от него Бойяи. Хотя ученые вообще продолжали рассматривать Евклидову геометрию как единственную форму физического пространства, чистые математики считали, что другие геометрии являются «мыслимыми», то есть логически допустимыми, тогда как философы отрицали это. Признание этих других геометрий значительно усилило позиции формалистов в их споре с интуиционистами по вопросу о природе чистой математики. Тем не менее в своей знаменитой лекции, прочтенной им в Амстердаме в 1913 году, Брауэр утверждал: «Какими слабыми ни казались позиции интуиционизма после этого периода развития математики, он укрепил их, отказавшись от кантовской априорности пространства и более решительно признав априорность времени» 1 . Брауэр считал, что «моменты , жизни, распавшиеся на качественно различные части, должны быть воссоединены, если их разделяет только время»; иными словами, физиологический факт, состоящий в том, что наш разум оперирует с помощью последовательных актов 1внимания,, есть фундаментальное явление человеческого ума, которое в результате процесса абстрагирования составляет основу всего математического мышления — «интуицию чистой двуединости». При повторении этот процесс приводит к образованию всех конечных чисел, а бесконечное повторение позволяет образовать сколь угодно малую конечную величину ш. Это же фундаментальное интуитивное понимание дает начало «интуитивному пониманию линейного континуума, то есть отношения «между», которое нельзя исчерпать путем введения между числами новых единиц, и поэтому его нельзя считать только совокупностью единиц». Брауэр сделал следующий вывод: «Таким образом, априорность времени квалифицирует как синтетические, априорные суждения не только свойства арифметики, но и свойства геометрии, причем не только элементарной, двух- или трехмерной геометрии, но также неевклидовых и n -мерных геометрий. Ибо со времени Декарта мы научились сводить все эти геометрии к арифметике с помощью метода координат». " ' L. E. J. Brouwer, «Bull. Amer. Math. Soc.», 20, 1913, 85.

  • 1 См. Г. Кантор, Основы общего учения о многообоазиях, в сб. «Новые идеи в математике», СПб., 1914, вып. 6.

Последние пятьдесят лет показали, что интуициони-стам удалось защитить свои позиции от критических атак как формалистов, так и тех, кто рассматривает математику как один из разделов логики. Брауэр и его последователи основное внимание уделяли проблемам, связанным с природой чистой математики и ее основаниями, но их достижения все более настоятельно ставят перед нами воярос о проверке фундаментального, с их точки зрения, предположения об априорности времени. Мы можем здесь руководствоваться критическим анализом кантовской доктрины пространства, который был осуществлен Гельмгольцем. Гельмгольц указал, что" эту доктрину можно разделить на две части: 1) пространство есть чистая форма интуиции; 2) Евклидова геометрия есть единственно возможная наука о пространстве и справедлива априори. Он считал, что второе положение не является необходимым следствием первого, а фактически отрицает его. Однако Гельмгольц принимал первое положение, хотя, по его мнению, из него нельзя сделать никаких выводов, кроме того, что все вещи в природе обладают пространственной протяженностью'. Можем ли мы принять подобное отношение к кантовской доктрине времени? Для достижения цели, которую ставил перед собой Брауэр, необходимо лишь предположить, что время есть «чистая форма интуиции» в обычном смысле этого слова, согласно которому наш опыт характеризуется временным следованием, основанным на двухчленном отношении: до — после. Нет необходимости принимать точку зрения Канта, согласно которой приписывание временных характеристик вселенной как таковой неизбежно приводит к логическим антиномиям и что время поэтому является не чем иным, как формой нашего внутреннего ощущения.

2. Время, геометрия и переменная

Как подчеркивалось Кантом и Брауэром, интуиционистская точка зрения связана с идеей времени и с идеей математической «конструкции». Действительно, связь идей математического построения и времени привела Брауэра даже к отрицанию логического принципа «исключенного третьего», по крайней мере применительно к идее математического существования. Для Брауэра существование математических сущностей и возможность их построения являются синонимами, и эта частная теорема «не истинна и не ложна до тех пор, пока у нас нет конструктивного метода для решения этого вопроса. С другой стороны, формалистические и логистические философские направления в математике основаны на вере в безвременной характер математического существования». Эта математическая идея может рассматриваться как конечный результат развития той линии мышления, которая началась с Платона.

  • 1 H. Heimholt;, Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. II , S. 643.

Платоновская философия формы была основана на критическом анализе пифагорейской философии числа. Согласно Пифагору и его школе, сущность вещей следует усматривать в числе. Однако числа представляются геометрически в виде «точек» или единиц, имеющих определенное положение. Кроме того, многие более мощные математические средства, которые используются для получения численных результатов, являются геометриче-скими по своему характеру. Чисто арифметическая техника счета была не только менее мощной, то есть менее общей, чем геометрический метод, в силу полного отсутствия в ней чего-либо соответствующего современной алгебраической символике, но и приводила к известным трудностям. Например, несоизмеримость диагонали квадрата единичной площади. Эти трудности можно было бы преодолеть с помощью кинематического метода или метода флюксий, метода движущихся точек и линий, согласно которому точка размывается в линию и т. д., однако Платон находился под слишком сильным влиянием аргументов Парменида и Зенона (см. параграфы 4 и 5 настоящей главы), что помешало ему принять этот метод. Напротив, он очистил пифагорейскую математику от ее «арифметического» содержания. Последнее связывалось с временем, процессом и порождением, так как в более строгом смысле пифагорейцы считали, что числа порождаются непрерывным прибавлением «одного, или арифметической единицы». (Их'теория единицы и диад весьма похожа на теорию Брауэра.) Поэтому, хотя Платон и рассматривал время как существенную черту чувственно воспринимаемого мира, он строго исключал его из чистой геометрии как науки, которую он ассоциировал с и только с вечным миром идеальных форм. В результате он был решительно против математического «построения». В известном отрывке своего сочинения «Государство» он выражает недовольство математиками, которые постоянно «говорят очень смешно и подчиняются необходимости; ибо как будто делая что-нибудь и для дела повторяя все свои термины, построим, говорят, четырехугольник, проведем или проложим линию, и издают все подобные звуки, между тем как целая эта наука назначается для знания... назначается всегда она для знания существенного, а не для того, что бывает и погибает» '.

Совершенно ясно, что возражения Платона против математических «построений» обусловлены его неприязнью к введению временных соображений в чистую геометрию, чем объясняются также его весьма странные настоятельные утверждения о недопустимости так называемых «механических решений» известных проблем квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба. Часто утверждают, что его возражения были направлены против практического использования реальных механических инструментов, однако этот аргумент в том виде, как его обычно выдвигают, теряет смысл, так как, например, КэДжори показал, что Платон отрицал искусные решения Архита, Евдокса и Менехма, потому что «они требуют применения и других инструментов, кроме линейки и циркуля» 2 . Разве возражения против использования механических инструментов не нужно распространить на все без исключения? Решающее значение для Платона, как это мне представляется, имело следующее различие: если деление угла пополам связано с некоторым расположением прямых линий и дуг окружности, которое может считаться статическим, то есть безотносительно ко времени, то трисекция угла в том виде, как она была выполнена Гиппием, представляла собой построение, содержащее движущуюся конфигурацию линий и, следовательно, зависела от рассмотрения времени.

  • 1 Платон, Соч., ч. III , СПб.,1863, стр. 372.
  • * F. С a j о г i, A, History of Mathematics, New York , 1919, p. 27.

В решении Гиппия кривая, известная под названием «квадратриса», которой также пользовались при попытках вычислить квадратуру круга, строилась следующим образом. Сторона AB квадрата ABCD равномерно поворачивается вокруг точки внутри прямого угла А к стороне AD. В это же время смежная сторона ВС равномерно скользит между AB и CD так, что достигает-стороны AD в тот же самый момент времени, что и AB. Кривая ВЕР — квадратриса, порождаемая точкой их пересечения, обладает следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из любой ее точки на прямую AD, пропорциональна углу между AD и прямой, соединяющей точку А , с данной точкой. (Это можно наглядно видеть при движении кулисного механизма.) Для того чтобы разделить на три части угол EAD, достаточно разделить на три части линиюEG и затем провести из точек деления прямые, параллельные AD , так, чтобы они пересекли квадратрису в точках H и К. Линии АН и АК делят угол на три равные части.

Существенными особенностями этого построения являются равномерность движения и совпадение моментов начала и завершения движения. В том виде, в каком его изложил автор, оно представляет собой явно кинематическое построение. Хотя Платон считал, что эта геометрия движения, или порождающая геометрия, неприменима в мире идеальных фигур, греческие математики, особенно Архимед в своей книге «О спиралях», исследовали чисто геометрические свойства кривых, определенных кинематически. Более того, кинематическая геометрия применялась учеником Платона Евдок-сом для анализа движения планет, где он, по всей вероятности, опирался на элементарные попытки пифагорейцев, которые были пионерами в этом деле. Это соединение геометрии движения с астрономией представляло собой одно из наиболее оригинальных и перспективных достижений древнегреческой мысли. Две другие античные цивилизации, которые осуществили наиболее глубокие исследования в области математической астрономии (Вавилонская, времени Селевкидов и майя Центральной Америки), разработали только арифметическую методику.

Аристотель, несмотря на свой глубокий интерес к проблемам движения и изменения, настаивал на строгом разделении математики и физики. Тем не менее в седьмой книге «Физики» содержатся пространные рассуждения о равномерном движении, где время рассматривается так, как если бы оно являлось геометрической величиной, аналогичной пространству, и так же, как и последнее, было бесконечно делимо. Действительно, в этой главе имеется много проявлений его геометрической точки зрения (в частности, Аристотель обозначает интервал времени так же (например, ZH ), как греческие геометры обозначали отрезок прямой), хотя его рассуждения гораздо менее строги, чем математические доказательства в трудах Архимеда.

Недавно Маршалл Клэджет' обратил внимание на то, что греческие геометры, изучавшие движение, были склонны давать скорее сравнительные, чем метрические определения, сравнивая либо расстояния, проходимые при двух равномерных движениях за одни и те же (по предположению) времена, либо времена, за которые проходились одинаковые (по предположению) расстояния. Эти сравнения являлись истинными пропорциями в евклидовом смысле, поскольку они проводились между величинами, имеющими одну и ту же природу. Следовательно, вряд ли кто из греческих авторов пришел к пониманию скорости как числа или величины, выражающей отношение двух различных величин: расстояния и времени.

Самым старым из известных нам кинематических трактатов Латинского Запада является «Книга о движении» («Liber de Motu») Жерара Брюссельского, малоизвестного геометра первой половины XIII века. В этой любопытной работе, хотя в ней и не определяется скорость как отношение различных величин, он предполагает, что быстроту движения можно определить некоторым числом или количеством, которые не являются ни расстоянием, ни временем'. Этот трактат, написанный в то время, когда достижения греческой геометрии только стали получать широкую известность на Латинском Западе, изобиловал элементарными математическими ошибками. Тем не менее в следующем столетии он оказал большое влияние на философскую школу Мертон-ского колледжа в Оксфорде, возбудив у нее интерес к изучению кинематики неравномерного или ускоренного движения. Современное понятие ускорения, которое мы теперь считаем необходимым для формулировки динамики, грекам никогда даже в голову не приходило, не говоря уже о его обсуждении или анализе 2 .

  • 1 Marshall Clagett, «Osiris», 12, 1956, 77.

Схоласты XIV -столетия, искавшие это понятие, которое до разработки дифференциального исчисления было очень трудно сформулировать, находились в исключительно затруднительном положении из-за отсут-ствия алгебраической символики. Их рассуждения были чисто словесными и утомительно пространными, тем не менее они привели к одному из величайших достижений в познании, которое когда-либо было сделано.

Для того чтобы правильно сформулировать кинематическое понятие ускорения, необходимы были два других представления: 1) представление о времени как о независимой переменной и представление о пространстве как о зависимой переменной; 2) представление о мгновенной скорости.

Общее математическое понятие переменной было постепенно сформулировано поздними схоластами после великого осуждения философии Аристотеля в 1277 году Темпье, епископом Парижским, и Килуордби, архиепископом Кентерберийским. Мы уже видели, что Аристотель строго разграничивал математику и физику, считая, что первая занимается «вещами, которые не включают в себя движения», а вторая — вещами, которые его в себя включают. Кроме того, поскольку в земных движениях в отличие от небесных не проявляется общей равномерности, физическое движение рассматривалось не как «количество», а скорее как «качество», которое не возрастает и не уменьшается при сложении 1 .

  • 1 Marshall Clagett, op. cit, p. 152.
  • 2 Первая явная трактовка ускорения в смысле движения, которое становится все быстрее и быстрее, была, по-видимому, дана Стратоном из Лампсака, ставшего во главе Ликея в 287 году до н. э. Однако его трактовка не была удовлетворительной, поскольку он не имел четкого представления о мгновенной скорости.

Иоанн Дуне Скот, который умер в 1308 году, одним из первых порвал с этой традицией и занялся рассмотрением общей проблемы изменчивости качеств, или «широты форм», как ее называли. Эта проблема возникла из необходимости объяснить наблюдаемый факт изменения интенсивности качеств вопреки аксиоматическому принципу Аристотеля о неизменности субстанциальных форм. Например, если мы увеличиваем или уменьшаем интенсивность луча света, то его яркость становится большей или меньшей, тогда как его природа остается прежней, к ней ничего не добавляется и из нее ничего не вычитается, поскольку это свет сам по себе. Следовательно, интенсивность есть форма, или внутреннее свойство, света. Термин широта ( latitudo ), обозначавший область, в которой может изменяться интенсивность качества, был, по-видимому, введен несколько более ранним философом Анри Гентским, который умер в 1293 году. В 1227 году он был одним из советников епископа Тем-пье. Согласно Анри Гентскому, «интенсивность» ( inten - sio ) качества состоит в приближении к определенной границе, на которой качество достигает своего полного совершенства 2 . Иоанн Дуне Скот и его последователи считали, что возрастание интенсивности происходит путем сложения, соответствующей аналогией которого будет не сложение камня с камнем, а воды с водой; новое индивидуальное качество, образуемое путем такого сложения, содержит в себе предыдущее 3 . Уильям Ок-кам (умер в 1349 году) и номиналисты в рассмотрении интенсивности как аддитивного возрастания вообще следовали Иоанну Дунсу Скоту, и внимание сосредоточи* лось на следующей логической проблеме: как назвать предмет, в котором интенсивность качества меняется от одной точки к другой. В математике эта проблема оказалась частным случаем другой, а именно проблемы описания различных возможных видов пространственного или временного изменения интенсивности. Термин «широта» стал относиться к конфигурации или частному виду изменения интенсивности в пространстве или времени.

  • 1 Р . D u h e m, Etudes sur Leonard de Vinci, vol. Ill , Paris, 1909, p. 314—316.
  • 2 Anneliese Meier, Das Problem der intensiven Grosse in der Scholastik, Leipzig , 1939, S. 10, 27—29.
  • 3 Там же, стр. 32—38, 45—49.

Первым среди математиков в отличие от «диалектиков» идею переменной начал развивать Томас Брадвар-дин, чей «Трактат о пропорциях» («Tractatus de Proper - tionibus ») был написан в 1328 году. Один современный автор обратил внимание на тот факт, что работа Брад-вардина представляет собой основу современной физики, опирающейся на обручение Галилеем математики и экспериментального наблюдения. «Брадвардин использовал математику для систематизации и общего выражения теории, Галилей использовал ее для систематического обобщения экспериментальных наблюдений» '. Работа Брадвардина заслуживает внимания потому, что он ввел в математику более сложные функции, чем простая линейная пропорциональность.

Среди других ведущих фигур Мертонской математической школы первой половины XIV столетия следует отметить Уильяма Гейтсбери, который определял ускорение как скорость скорости, Джона Дамблтонского и Ричарда Свайнсхеда, получившего прозвище Вычислителя за свой главный труд, который, однако, был посвящен не вычислениям в том смысле, в каком мы понимаем этот термин, а словесной и арифметической теории равномерных и неравномерных скоростей изменения. Точно так же следует упомянуть, что терминам fluxus и fluens , которые он употреблял в этом контексте, было суждено быть использованными триста лет спустя Ньютоном, говорившим о переменной как о флю-энте, а о степени ее изменения как о флюксии.

Несмотря на успехи мертонианцев, главное математическое достижение в изучении переменной в XIV столетии было сделано во Франции Николаем Оресмом, который родился примерно в 1323 году, а умер в 1382 году, будучи епископом в Лизьё. Один из величайших математиков позднего средневековья, он был выдающимся ученым также в области натуральной философии и политэкономии и, несомненно, является одним из наиболее разносторонних умов своего времени.

  • 1 Н . Lamar Crosby, Thomas of Bradwardine, His «Tractatus de Proporttenibus», Wisconsin , 1965, p. 17.

По-видимому, он, первый систематически пользовался дробными показателями степени. Его трактат «О конфигурации качества» («De Configuratione Qualitatum»), написанный, видимо, до 1361 года, заслуживает особого внимания потому, что, следуя греческой традиции, которая рассматривала числа как дискретные, а геометрические величины как непрерывные, автор его отказался от диалектического рассмотрения мертонианцами изменения на языке чисел, а вместо этого связал непрерывное изменение с геометрическим чертежом. Горизонтальная линия ( longitude ) представляла на чертеже протяженность в пространстве или во времени данной формы, свойства или «качества» которой, например цвет, плотность и т. д., следовало определить. Эта линия была разделена на равные отрезки, называвшиеся градусами. Интенсивность, или скорость изменения, с которой форма приобретает качество, была представлена вертикальной линией ( latitude ), имевшей ту же равномерную шкалу, что и соответствующая longitude . Когда были начерчены все широты, то линия, проведенная через их вершины, образовывала геометрическую фигуру', которую Николай Оресм называл линейной конфигурацией рассматриваемого качества 2 .

Труды Николая Оресма также примечательны тем, что они содержат значительные достижения в развитии представления о мгновенной скорости. Он, по-видимому, первый предложил выражать мгновенную скорость изменения прямой линией (« sed punctualis veloci - tas instantanea est imaginanda per lineam rectam » — «однако точечная скорость постепенна и представляется только прямой линией») 3 . Идея мгновенной скорости решительно отвергалась Аристотелем, и ее удовлетворительное определение было вообще невозможно до разработки современной теории пределов. Различие между скоростью как простой величиной, полученной делением расстояния на время (v = s/t), и как «мгновенного» качества движения (v = ds/dt) в современном представлении было проведено Брадвардином при рассмотрении динамического движения.

  • 1 Хотя Оресм, по-видимому, был первым, кто систематически применил графические методы для представления идеи функционального измерения и этим самым сыграл решающую роль в геометризации времени, все-таки он не является автором идеи построения графиков. Наиболее старые из известных нам графиков относятся примерно к X столетию.
  • 2 D a n а В . Durand, «Speculum», 16, 1941, 174.
  • 3 H. Wieleitner, «Bibliotheca Mathematica» (3), № 14, p, 226.

Значение интуитивного представления о мгновенной скорости в дальнейшем повысилось в результате возрождения во Франции физической идеи «движущей силы»; она состояла в следующем: тело, однажды приведенное в движение, будет продолжать свое движение в силу внутренней тенденции, которой оно в этом случае обладает. Эта антиаристотелевская теория, которую можно рассматривать как смутное предвосхищение ньютоновского принципа инерции, восходит еще к Иоанну Филопону ( VI век н. э.). Она была возрождена Питером Джоном Олив-и, который умер в 1298 году, и особенно Жаном Буриданом, ректором Парижского университета, умершим примерно в 1358 году.

Несмотря на свои откровенные утверждения о том, что мгновенную скорость следует представлять в виде прямой линии, Николай Оресм следовал Аристотелю, говоря, что каждая скорость продолжает существовать во времени («omnis velocitas tempore dura-t» — «всякая скорость длится какое-то время») 2 . Пытаясь выяснить понятие мгновенной скорости, Николай Оресм утверждал, что чем больше эта скорость, тем большее расстояние будет покрыто, если движение будет продолжаться равномерно с этой же скоростью. Мертонский математик Уильям Гейтсбери говорил то же самое 3 . Хотя и мертонианская школа, и Николай Оресм имели правильное математическое понятие об ускорении, причем- время считалось независимой переменной, в решении этой проблемы вплоть до Галилея продолжала существовать большая путаница. Исторически эта путаница восходит к двум определениям понятия «более быстрый», сформулированных Аристотелем: 1) то, что проходит такое же расстояние за меньшее время, 2) то, что проходит большее расстояние за то же время. Последнее исторически вело к ошибочному выводу, согласно которому в естественно ускоряемом движении падения тел скорость возрастает равномерно с расстоянием. Этот вывод так или иначе поддерживали Стратон, Александр Афродизийский, Симплиций, Альберт Саксонский и даже Галилей, до того как он пришел к правильной формулировке'.

  • 1 H. L a m a r Crosby, op. cit., p. 44. a H. W i e l e i t n e r, op. cit., p. 225.
  • 'Curtis Wilson, William Heytesbury: Medieval Logic and the Rise of Mathematical Physics, Wisconsin , 19S6, p. 21.

Современные исследования показали, что в области математической кинематики Галилей гораздо ближе стоял к своим предшественникам XIV столетия, чем обычно полагают. Мах был совершенно неправ,.-когда утверждал, что Галилей, по существу, создал новое понятие ускорения 2 . Его понятие математического ускорения было предвосхищено мертонианцами и Николаем Оресмом, а правильное применение им этого понятия при формулировании закона падения тел до некоторой степени было предвосхищено Доминико Сото, испанским доминиканцем, который умер в 1560 году. После правильного определения равномерного ускорения Сото говорил, что это есть вид движения, свойственный свободно падающим телам и снарядам. Таким образом, хотя Галилей пошел гораздо дальше своих предшественников в полной формулировке кинематики и в применении ее к изучению движений, происходящих в природе, он был не так уж оригинален, как это обычно полагают. В частности, не он первый использовал геометрическое понятие времени.

3. Время и математический анализ

В течение XVII столетия геометризация времени привела к замечательным достижениям в математике, обусловленным успешным применением кинематических методов. Так, изобретение логарифмов Непером, сообщение о котором было опубликовано в 1614 году, основывалось на сравнении двух движущихся точек, как показано на рис. 2. Точка P движется вдоль прямой AB, в то время как другая точка Q движется вдоль бесконечной линии, начинающейся в точке С. Обе точки обладают в начале движения, когда точка P находится в точке A , a Q — в точке С, одинаковой скоростью. Однако в то время как Q имеет все время одинаковую скорость, скорость точки P в любое* мгновение пропорциональна расстоянию РВ. Непер определял логарифм числа измеряемого расстояния РВ как число, которым измеряется расстояния CQ.

  • 1 Г. Галил-ей, Соч., т. 1, Гостехиздат, М.—Л., 1934, стр. 293.
  • 2 Э. Мах, Механика, СПб., 1909, стр. 118.

Выдающимся математическим достижением, которое связано с геометризацией времени, является, конечно, изобретение Ньютоном исчисления флюксий. Ньютоново понятие флюксии было основано на молчаливой апелляции к нашему интуитивному представлению о движении.

На Ньютона .оказал сильное влияние, а частично и предвосхитил, его учитель и предшественник по лукасовской кафедре Исаак Барроу. Как Барроу, так и его знаменитый современник, но профан в области математики Томас Гоббс выступали против арифметизации математики, защищаемой Джоном Уоллисом, савильянским профессором в Оксфорде. В противовес ему они подчеркивали фундаментальное значение непрерывной геометрической величины. Тем не менее между их точками зрения имелось важное различие.

Гоббс, критические замечания которого были стимулированы тем, что Уоллис опроверг его наивные попытки найти «квадратуру круга», сильно бранил книгу Уол« лиса «Арифметика бесконечного» («Arithmetica Infinito- rum ») как «подлую книгу» ' и называл арифметизацию геометрии Уоллисом в «Трактате о конических сечениях» («Tractatus de Sectionibus Conicis») как «чесотку символов» 2 . Успехи Галилея в обосновании динамики, опиравшемся на представление об измерении скорости, произвели на Гоббса большое впечатление, и он пытался сделать понятие скорости основой всей своей философии. Гоббс ввел понятие импульса ( conatus ) как источника геометрической протяженности.

  • 1 Т . Hobbes, The English Works of Thomas Hobbes of Mal-mesbury (ed. Sir William Holdsworth, Bt.), vol. VII, London , 1839, p. 283.
  • 2 T. H o b b e s, op. cit, vol. VII , p . 361.

Движение в точке он рассматривал как движение, которое совершается внутри минимально возможного неделимого интервала. Время Гоббс определил как простой «фантом», или бледный образ', отражающий в нашем уме свойство движения быть «раньше» и «позже». Гоббс не рассматривал его как меру движения, поскольку «мы мерим время движением, а не движение временем» 2 . Хроме того, с его точки зрения, «только настоящее имеет бытие в природе, прошлые вещи имеют бытие лишь в памяти, а будущие вещи не имеют никакого бытия. Будущее есть лишь представление ума, применяющего последствия прошлых действий к действиям настоящим...» 3 Барроу, хотя и находившийся в оппозиции к арифметическим и алгебраическим тенденциям Уоллиса (а также некоторых математиков континента) и разделявший точку зрения Гоббса, согласно которой математику следовало отождествлять с геометрией, тем не менее понимал значение времени. В этом отношении его следует рассматривать как своего рода пионера, ибо для большинства мыслителей его времени пространство было куда более важным понятием. Так, даже Декарт, несмотря на то что он понимал полезность алгебры и проявлял глубокий интерес к проблемам движения, был так захвачен понятием геометрической протяженности, что для него время было относительно несущественным. Он рассматривал протяженность как главный атрибут физических вещей, а время для него было лишь способом нашего мышления о них *.

  • 1 С другой стороны, Галилей совершенно игнорировал проблему соотношения его геометрического представления универсального времени с индивидуальным или психическим временем. Время в гали-леевской вселенной в действительности было просто четвертым измерением пространства.
  • 2 Т. Гоббс, Избранные сочинения, Госиздат, М.—Л., 1926, стр. 68.
  • 3 Т. Гоббс, Левиафан или материя, форма и власть государства церковного и гражданского, Соцэкгиз, М., 1936, стр. 49.
  • 4 Р. Декарт, Избранные произведения, Госполитиздат, М., 1950, стр. 451,

Точка зрения Барроу на природу времени представляет большой интерес не только сама по себе, но еще и потому, что она оказала влияние на Ньютона. В самом деле, точно так же как философия пространства Ньютона происходит от кембриджского платоника Генри Мора, его философия времени восходит к взглядам Барроу, чьи лекции он посещал, будучи студентом. В своих «Лекциях по геометрии» Барроу утверждал, что, «поскольку математики часто пользуются идеей времени, они должны иметь определенное представление о значении этого слова, в противном случае они являются шарлатанами» '. Хотя Барроу полагал, что «существует большое родство и аналогия между пространством и временем», он все же их строго разграничивал. Барроу критиковал Гоббса за то, что «он не боялся сравнивать между собой линии и времена как однородные количества, образующие взаимную пропорцию, хотя природа этих вещей далека друг от друга» 2 . Барроу находился ,под глубоким впечатлением применения кинематического метода в геометрии, который был с величайшим успехом изучен учеником Галилея — Торичелли, и полагал, что для понимания этого метода необходимо изучить время. Хотя время измеряется движением, Барроу точно подметил, как и Плотин, критикуя Аристотеля, что ойо не может являться ни мерой движения, ни само не может быть измерено движением.

Согласно Барроу, «время обозначает не действительное существование, а определенную способность или возможность непрерывного существования, точно так же, как пространство означает способность к наличию длины. Время не содержит в себе движения, поскольку рассматривается его абсолютная и внутренне ему присущая природа; точно так же оно не содержит в себе покоя; двигаются ли вещи или покоятся, спим ли мы или бодрствуем — время продолжает равномерно течь своим путем» 3 .

Мы видим здесь источник знаменитого определения Ньютона: «Абсолютное, истинное, математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему протекает равномерно». Барроу продолжает: «Время подразумевает, что движение поддается измерению; без движения мы не восприняли бы ход времени. Очевидно, нам следует рассматривать время как текущее равномерно, следовательно, его нужно сравнивать с каким-либо имеющимся равномерным движением, например движением звезд и, в частности, Солнца и Луны...» Однако Барроу на этом не останавливается. На вопрос, откуда известно, что Солнце движется одинаково и что один день или год в точности равен другому, он отвечал: «Если известно, что солнечные часы находятся в согласии с движениями какого-либо рода инструментов, измеряющих время, и устроены таким образом, что их движение происходит равномерно и представляет собой следование одного за другим повторений присущего только им движения, при соответствующих обстоятельствах охватывающего либо целые периоды, либо пропорциональные их части, тогда будет правильным сказать', что они регистрируют одинаковое движение. По-видимому, строго говоря, следует сказать, что небесные тела являются первыми к первоначальными мерами скорее не времени, а тех движений, которые мы наблюдаем при помощи чувств и которые лежат в основе наших экспериментов, поскольку мы судим с их помощью о равномерности небесных движений. Даже само Солнце не заслуживает того, чтобы быть судьей времени или рассматриваться как правдивый свидетель, за исключением того случая, когда инструменты, измеряющие время, подтверждают его правдивость своими показаниями».

  • 1 I. Barrow, Lectiones Geometricae (trans. E. Stone), London , 1735, Lect. I , p . 4.
  • 2 I . В а г г о w , op . cit ., Lect . XVI .
  • 3 I. B arrow, op. cit., Lect. I , p. 35.

Барроу отвечает на вопрос о конечной связи времени и движения следующим образом: «Время может быть использовано как мера движения, точно так же как пространство может быть измерено с помощью какой-нибудь величины, после чего оно может быть использовано для оценки других величин, соизмеримых с первой, то есть мы сравниваем одно движение с другим, используя время в качестве посредника». Он рассматривает время как существенно математическое понятие, которое имеет много аналогий с линией, «поскольку время обладает только длиной, подобно ей во всех своих частях и может рассматриваться как составленное путем простого сложения последующих мгновений или как непрерывное течение одного мгновения либо как прямая, либо как окружность». Это ясное утверждение является, по-видимому, самой ранней четкой формулировкой понятия геометрического времени, ибо Евклид говорил только об отрезках прямой линии, а не о полной прямой линии в нашем понимании, а Галилей для обозначения определенных временных интервалов пользовался только такими отрезками. Тем не менее, как уже отмечалось, Барроу не отождествлял время с линией. Время, с его точки зрения, было «длительностью чего-либо в своем собственном бытии», а в отрывке, к которому мы еще вернемся в главе IV , он отмечал: «И я тоже не верю, чтобы кто-нибудь не допускал, что те вещи существуют одинаковое время, которые возникли и погибли вместе» '.

Обсуждая вопрос об аналогии между временем и линией, Барроу указывает, что последняя может рассматриваться либо как составленная из точек, либо как след движущейся точки. Аналогично, утверждает он, время может мыслиться либо как совокупность мгновений, либо как непрерывное течение одного мгновения. С математической точки зрения его кинематический метод был чрезвычайно плодотворным. Если бы Барроу не был решительным приверженцем синтетического стиля древних геометров и не отрицал сознательно алгебраические методы, то он, возможно, предвосхитил бы Ньютона в открытии дифференциального исчисления, этого мощного средства математического анализа. Как Барроу, так и Ньютон столкнулись лицом к лицу с весьма тонкими проблемами континуума и природы мгновенной скорости.

Взглядам Барроу на эти вопросы очень недостает строгости. «Каждому мгновению времени, или неогра« ниченно малой частице времени (я говорю «мгновение», или «неограниченно малая частица», ибо безразлично, предполагаем ли мы, что линия состоит из точек или же из неограниченно малых отрезков; и точно так же не важно, предполагаем ли мы, что время состоит из мгновений, или из неограниченно малых временных интервалов), я повторяю: каждому мгновению времени соответствует известная степень скорости, которой обладает в это мгновение рассматриваемое движущееся тело» '. Доказывая, что область, ограниченная кривой зависимости скорости от времени, представляет собой расстояние, он вновь утверждал, что поверхность может быть представлена как совокупность прямых линий. Хотя Барроу ясно понимал, что, строго говоря, вместо линий следует брать очень узкие прямоугольники, он все же утверждал, что «вы придете к тому же самому результату, независимо от того, какой изберете путь» 2 .

  • 1 I . В а г г о w , op . cit ., Lect . I , p . 5.

Подход Ньютона был более тонким. В отличие от Барроу он был склонен, следуя Уоллису, отказаться от представления о числе как о простом собрании единиц. Ньютон едва не предвосхитил современное понятие предела своей идеей «окончательного отношения» «исчезающих приращений». Действительно, это дает основание полагать, что если бы Ньютон посвятил больше времени выяснению этой идеи, то он, возможно, предвосхитил бы «строгие» методы, разработанные в XIX веке Коши 3 . Тем не менее в работах Ньютона (равно как и Лейбница) мы не находим ясного предста-иления о пределе как о числе в полном смысле этого слова, там он рассматривается как отношение двух чисел. В этом плане Ньютон являлся приверженцем традиционных взглядов, так как, с точки зрения Евклида, отношения геометрических величин занимают то место, которое мы в настоящее время отводим так называемым действительным числам.

Ньютон, по-видимому, считал математику прежде всего методом решения физических проблем: например, в предисловии к «Математическим началам натуральной философии» он говорит, что геометрия является только разделом «общей механики». Не удивительно поэтому, что его представления о пределе были тесно связаны с геометрической и временной интуициями, в частности с последней, поскольку он был склонен рассматривать время как образец независимой переменной. В своей знаменитой статье «Аналитик», опубликованной в 1734 году, философ Беркли подверг критике ньютоновское определение флюксии как окончательного отношения исчезающих приращений, поскольку ему представлялось, что последние были не конечными числами, не нулями, а «тенями исчезнувших количеств». Сам Ньютон хорошо понимал эту трудность и стремился обойти ее с помощью аргументации, которая содержится в поучении, следующем за леммой XI книги I «Начал». В этой аргументации представление о времени играет центральную роль. «Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исче-зания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и. не после того, а когда достигает, то есть именно ту скорость, обладая которою тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому, под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают».

  • 1 I. В a r r о w, op. cit., Lect. I , p . 38.
  • Там же, стр. 39.
  • 3 С . В . В о у е г , The Concepts of the Calculus, New York , 1949, p. 196.

В настоящее время математики в противоположность этой точке зрения в общем согласны с тем, что трудности, связанные с основаниями математического анализа, на которые впервые обратил внимание Беркли, не были решены надлежащим образом вплоть до прошлого столетия, до тех пор пока Коши, Дедекинд, Кантор, Вей-ерштрасс и другие не придали фундаментальным математическим понятиям значительно большую строгость, которой им до этого не хватало. Все эти математики придерживались формалистической точки зрения на природу своего предмета. В частности, они отрицали Ньютоново понимание математического анализа как научного описания порождения величин. Поэтому выигрыш в строгости, которого они достигли, был связан с исключением временных понятий. Например, современное определение, в котором предел бесконечной последовательности отождествляется с самой последовательностью, устранило следующую математическую проблему: достигает ли переменная своего предела. В итоге в конце концов была преодолена интуитивная зависимость понятия предела от понятия движения. Таким образом, хотя представление о времени и движении играло в XVII столетии столь важную роль в возникновении нового математического анализа, двухсотлетняя дискуссия вокруг его оснований привела в конечном итоге к парадоксальному результату, состоящему в следующем: «Тот же самый аспект, который привел "к возникновению математического анализа, был в известном смысле опять исключен из математики так называемой «статической теорией» переменной, которая была разработана Вейерштрассом '. Согласно этой точке зрения, «переменная представляет не постепенный переход через все значения интервала, а дизъюнктивное предположение, что она имеет любое значение на интервале. Наше смутное интуитивное представление о движении, хотя и сыгравшее весьма плодотворную роль в стимулировании исследований, которые привели к созданию математического анализа, как было обнаружено в ходе дальнейших размышлений, совершенно не строго и обманчиво».

Таким образом, колесо совершило полный оборот, и математический анализ в настоящее время характеризуется неоплатоническим «исключением времени».

4. Апории Зенона ( I )

Утверждение о том, что теория математической переменной и континуума автоматически устраняет известные парадоксы времени и движения, связанные с именем Зенона Элейского, имеет прямое отношение к освобождению этой теории от всех рассуждений, использующих понятие времени. Например, апория «Летящая стрела», согласно которой стрела не может двигаться, поскольку в каждый момент своего полета она занимает пространство, равное самой себе, и, следовательно, ей некуда двигаться, не может быть решена, как утверждает Бойер, с помощью простого указания на то, что «она непосредственно содержит в себе понятие производной и может быть решена с помощью последнего» ', поскольку это понятие свободно от каких бы то ни было ссылок на представление о времени Тн движении, а последние являются как раз теми самыми представлениями, с которыми связана эта апория.

  • 1 С. В. В о у е г, op . cit ., p . 288.

Хотя мы не знаем точно, ни какую цель преследовал Зенон, формулируя свои апории, ни даже их первоначальную формулировку, философский интерес к ним не ослабевал в течение двадцати четырех столетий и пока не наблюдается никаких признаков его уменьшения. Так, с 1951 по 1953 год только один английский журнал « Analysis » опубликовал не менее семи статей на эту тему.

Расцвет деятельности Зенона, уроженца Элей в Южной Италии, приходится примерно на середину V столетия до н. э. Он был учеником Парменида, родона-. чальника логической аргументации в философии. Пар-менид считал ощущения обманчивыми и полагал, что реальность неделима и безвременна. Возможно, что вначале он был пифагорейцем, так как, подобно последним, полагал, что мир имеет сферическую форму. Его ученик Зенон применил свои выдающиеся логические способности для дальнейшего развития доктрины своего учителя, пытаясь доказать, что идеи множественности и изменения приводят к логическим антиномиям. В частности, он подверг критическому рассмотрению понятие времени в своих четырех апориях, связанных с проблемой движения. Эти апории распадаются на две группы согласно тому, как рассматривается в них время (а соответственно и пространство)—как дискретное или как непрерывное, то есть предполагается ли, что оно составлено из неделимых единиц малой, но конечной длительности или же из бесконечно делимых.

Апория «Стрела» направлена против утверждения, что время состоит из неделимых моментов. Она дополняется остроумным аргументом, известным под названием «Стадий», который весьма туманно излагается Аристотелем 2 , чья «Физика» является для нас первым из сохранившихся источников, содержащих ссылки на учение Зенона. Суть аргументации Зенона, которая также содержит в себе пифагорейское представление о том, что пространство состоит из дискретных точек, по-видимому, может быть выражена следующим образом 1 . Ряд точек ]А движется мимо неподвижного ристалища S , также разбитого на точки, с такой скоростью, что за единицу времени он передвигается на одну точку. Два чертежа на рис. 3 представляют А по отношению к S в два последующих момента времени. Предположим также, что другой ряд точек В движется с той же минимальной скоростью, что и А, но в противоположном направлении. Тогда в последующие моменты возникнет расположение, изображенное на рис. 4, на котором мы видим, что в последующие моменты В\ находится в одном столбце с AI, а затем — в одном столбце с A3.

  • 1 С. В. В о у е г, op , cit ., p . 25.
  • 2 H. P. D. Lee, Zeno of Elea , Cambridge , 1936, p . 55; Аристотель, Физика, Соцэкгиз, М., 1937, стр. 143.

А 1

2

3

S /

2

3

A 1

2

3

S

t

' г

'6

Рис. 3.

Зенон утверждал, что это абсурдно, так как при движении А в одном направлении, а В в другом должен существовать такой момент, когда ?l находится в одном столбце с А2 — точкой, расположенной посередине между AI и ЛЗ. Это противоречит представлению о том, что два ранее рассмотренных момента следуют друг за другом. Итак, последовательных моментов не существует и время, таким образом (а соответственно и пространство), является бесконечно делимым.

  • 1 В своей интерпретации этой апории мы скорее согласны с Бертраном Расселом (« The Principles of Mathematics », 2nd ed., London , 1937, p . 352), чем с автором статьи «Зенон Элейский» в 13-м издании « Encyclopedia Britannica », который утверждал, что если традиция не исказила Зенона, то он повинен з игнорировании относительного характера скорости.

Эта апория Зенона, несмотря на все ее остроумие, решается довольно просто, так как, если пространство и время состоят из дискретных единиц, в этом случае отно* сительные движения должны быть таковы, что ситуации, изображенные на рис. 4, могут случаться в последующие моменты. Отрицание Зеноном этой возможности основывается не на логическом законе, а просто на ошибочной апелляции к «здравому смыслу». В самом деле, прибегая к этой апелляции, Зенон сам фактически совершил логическую ошибку, так как в действительности он молчаливо предполагает постулат непрерывности, который несовместим с гипотезой, принятой в начале рассуждения. Как это ни странно, но если мы примем такие гипотезы, то движение будет представлять собой прерывную последовательность различных конфигураций, как в кинофильме, и ни в какой момент времени не будут существовать промежуточные конфигурации. Переход электрона с одной орбиты на другую рассматривается в элементарной теории атома Бора именно как переход такого типа.

Опровергнув Зенонову апорию «Стадий», мы сталкиваемся с апорией «Стрела», которая также является аргументом против гипотезы о существовании моментов времени. Весьма забавный вариант этой апории был приведен в статье о Зеноне в знаменитом «Словаре» Бейля, который был опубликован в 1696 году. Он рас« сказывает, со слов Секста Эмпирика, историю о софисте Диодоре, который в своих лекциях отрицал существование движения. Вывихнув себе плечо, он пришел к лекарю, чтобы вправить его. «Как? — сказал лекарь. — Вы вывихнули себе плечо! Но этого не может случиться, ибо если оно двигается, то оно двигается либо в том месте, где ему следует находиться, либо в том месте, где ему быть не полагается. Однако оно не двигается ни на своем месте, ни в том месте, где ему быть не положено, так что оно не может ни действовать, ни вызывать каких-либо страданий, даже если оно находится не на том месте, где должно быть» '.

Апория Зенона «Стрела» поднимает глубокие проблемы, связанные с природой движения. Американский философ Чарлз Пирс (1839—1914), чьи работы в последние годы привлекают гораздо больше внимания, чем это было при его жизни, переформулировал эту апорию в виде следующего силлогизма ':

  • Большая посылка: Никакое тело, которое не занимает места больше, чем оно само, не движется.
  • Меньшая посылка: Каждое тело не занимает места больше, чем оно само.
  • Вывод: Следовательно, ни одно тело не движется.

Ошибка, по его мнению, заключена в меньшей посылке, которая истинна только в том смысле, что в течение достаточно короткого времени пространство, занимаемое телом, больше, чем оно само, на сколь угодно малую величину. Пирс пришел к следующему заключению: из всего этого можно сделать лишь вывод, что вне времени тело не проходит никакого расстояния. Хотя эта частная форма аргументации представляет некоторый интерес, она все же является несовершенной, потому что в ней не принимается во внимание концепция движения, которая содержится в большей посылке.

G другой стороны, Бертран Рассел ограничился обсуждением парадокса, содержащегося в этой посылке. По его мнению, Зенон предполагал, что когда вещь меняет свое положение, то в вещи должно быть какое-то внутреннее состояние изменения; другими словами, движущееся тело находится в «состоянии движения», которое качественно отлично от состояния покоя. «Далее Зенон указывает, — говорит Рассел, — что в каждый момент стрела просто находится там, где она находится, подобно тому как было бы, если бы она покоилась. Отсюда он заключает, что состояния движения быть не может, и поэтому, оставаясь верным той точке зрения, что состояние движения необходимо для движения, он делает вывод, что движения здесь быть не может и что стрела всегда покоится» 2 . Эта аргументация Рассела подымает важные вопросы, но дело теперь не в том. Я позволю себе заметить, что данная апория Зенона совпадает с точкой зрения самого Рассела, согласно которой движущееся тело качественно не отличается от покоящегося и движение можно рассматривать только как изменение положения. За мгновение времени не может произойти никакого изменения положения, и, следовательно, говорит Зенон, движения быть не может. Если бы благодаря движению в теле происходило какое-то внутреннее изменение, то в таком случае сформулированная выше большая посылка была бы несостоятельной. Напротив, основная сила аргумента Зенона, как' я себе представляю, вытекает из выраженного в этой посылке интуитивного убеждения в том, что движение можно анализировать только с помощью состояний движения, а не состояний покоя. Другими словами, движение может состоять только из движений, а не из неподвижностей.

  • 1 С . S, Peirce, Collected Papers (ed. C. Hartshorne and P. Weiss), Cambridge , Mass. , 1934, 5.334.
  • * Б. Рассел, История западной философии, Издательство иностранной литературы, 1959, стр. 813.

Отсюда следует, что существует два противоположных способа избежать вывода Зенона. Мы можем либо • различать в любое мгновение движущееся тело- от покоящегося с помощью какого-то наглядного свойства, отличного от изменения положения, так как последнее, как правильно отмечает Зенон, не может быть мгновенным, за исключением идеального случая бесконечной скорости, который мы здесь не рассматриваем, либо мы можем смело предположить решение (которое Зенон отвергал как парадоксальное), а именно: движение может быть составлено из неподвижностей. Рассел вместе с Зеноном отрицает первую возможность и весьма близок к нему в вопросе о второй. «Вейерштрасс, строго запретив все бесконечно малые,-—пишет Рассел, ссылаясь на строгую арифметизацию последним математического анализа и дифференциального исчисления,— показал в конечном счете, что мы живем в неизменном мире и что стрела в каждый момент своего полета фактически покоится. Единственным пунктом, в котором Зенон, вероятно, ошибался, был его вывод (если он действительно его сделал) о том, что, поскольку не существует никаких изменений, мир все время должен находиться в одном и том же состоянии как в одно время, так и в другое» '.

  • 1 В . Russell, The Principles of the Mathematics, 2nd ed., London , 1937, p. 347.

Точку зрения Рассела можно сформулировать более дипломатично. Если мы согласны, что движение означает только изменение положения, в том смысле, что тело в различные моменты времени находится в различных местах, то тогда, каким бы странным это ни казалось, нет ничего нелогичного в следующем утверждении: поскольку в каждый момент времени тело находится в одном-единственном положении, постольку в этот момент его нельзя отличить от покоящегося тела, находящегося в том же самом месте. Серия фотографий летящей стрелы, рассматриваемых по отдельности, показывает ее в виде последовательности квазистационарных состояний. Когда эти снимки демонстрируются через киноаппарат с достаточно большой скоростью, то вследствие стробоскопического эффекта стрела представляется нам летящей. Различие между изложенными выше двумя интерпретациями зависит, по существу, от того, сколь быстро меняются фотографии перед нашими глазами, то есть только от временного отношения одной фотографии к другой. Если мы считаем это явление точной аналогией и рассматриваем движение как такой феномен, который нужно относить к различным мгновениям, тогда парадокс Зенона рушится, поскольку в приведенном выше силлогизме фраза «движется», строго говоря, означает «движется в данное мгновение», а это бессмысленно.

Хотя эта аргументация решает апорию «Стрела» с чисто логической и семантической точки зрения, она совершенно не решает вопроса, если к нему подходить с точки зрения физики и натуральной философии. Однако дефиниция движения, которую мы приняли, сколь бы естественной она нам ни казалась, отнюдь не является очевидной. В самом деле, она весьма запутанна. Это становится особенно ясным, если рассмотреть историю вопроса. Например, в XIV веке при обсуждении схоластами проблемы движения Иоанн Дуне Скот говорил, что движение — это forma fluens (текучая форма), непрерывное течение которой нельзя разделять на последовательные состояния 1 , тогда как Григорий из Римини утверждал, что движение — это fluxus formae (текучесть формы), или «течение формы», непрерывный ряд различимых состояний. Григорий говорил, что в процессе движения движущееся тело приобретает от момента к моменту ряд различных атрибутов места'. На его взглядах сказалось, в частности, влияние философа-номиналиста Уильяма Оккама, который отрицал, что движение обязано своим появлением реальному существованию какой-либо формы или течению формы в движущемся теле. Вместо этого достаточно считать, что движущееся тело в различные мгновения находится в различных пространственных отношениях с другими телами. Эта идея, заключающаяся в том, что движение есть отношение, а не качество, разделялась также Николаем Отрекуром. Его определение движения хорошо сформулировал Вейнберг следующим образом: « «я движется», означает, что «х находится в а в момент t, x не совпадает с & в момент t, x находится в & в момент t\ и не совпадает с а»» 2 . Это как раз та концепция движения, которую мы приняли выше.

  • 1 В наше время приверженцем этой точки зрения был известный французский философ Бергсон. Он полагал, что при рассмотрении проблемы движения мы должны проводить различие между часть зерна». Вот каким образом вел Зенон научную беседу» '.

Мысль о том, что движение есть скорее отношение, чем качество, является необходимой предпосылкой закона инерции, хотя, конечно, следует проявлять осторожность и не усматривать в формулировках ранних авторов сознательного предвосхищения открытий более поздних авторов, в частности таких как закон равноправия состояния равномерного и прямолинейного движения и состояния покоя. Согласно принципу относительности равномерного движения в классической механике, равномерно движущееся тело во всех отношениях тождественно телу покоящемуся: его состояние движения никоим образом не изменяет его самого, оно меняет лишь его положение. Однако с созданием специальной теории относительности (которую мы рассмотрим в гл. IV ) в эту концепцию были внесены некоторые тонкие изменения. Хотя пройденным пространством и актом, посредством которого оно проходится. Он утверждал, что первое можно разделять на части, а последнее нет, ибо «делить можно вещь, но не акт» (А. Бергсон, Время и свобода воли, М., 1910, стр. 96).

  • 1 А . С . Crombie, From Augustine to Galileo, London , 1952, p. 248.
  • 2 J. R. Weinberg, Nicolaus of Autrecourt, Princeton, 1948, p. 168.

Равномерно движущееся тело еще рассматривается как внутренне тождественное ему же, находящемуся в покое, однако, с точки зрения наблюдателя, по отношению к которому тело движется, дело обстоит иначе. Его относительная пространственная протяженность сокращается в направлении движения на некоторую долю, зависящую от скорости тела. Хотя это сокращение Фиц-джеральда — Лоренца, как его называют, не противоречит нашему аргументу, опровергающему апорию Зе-нона «Стрела», оно оказывается неожиданно связанным с уточнением формулировки этой апории, поскольку вместо рассмотрения движущегося тела, занимающего либо место не большее, чем оно есть само, либо место несколько большее, чем оно есть само, что мы предпочитали ранее в зависимости от того, рассматривали ли мы его в момент времени или в течение достаточно короткого интервала времени, теперь мы должны считаться с возможностью, в соответствии с которой движущееся тело как бы занимает места меньше, чем оно само есть; иначе говоря, когда оно движется, оно занимает меньше места, чем когда покоится! У апории «Стрела» имеется интересный двойник в виде апории «Пшенное зерно». Среди других апорий Зенона эта апория стоит особняком, и очень часто ею пренебрегают. Согласно свидетельству Симплиция, между Зеноном и софистом Протагором состоялся следующий диалог: «В самом деле, Протагор, — молвил он, — скажи мне, производит ли при падении шум одно пшенное зерно или одна десятитысячная часть зерна?» Когда же Протагор ответил, что не производит, Зенон спросил его: «А медимн пшена производит при падении шум или нет?» Протагор ответил, что да. Тогда Зенон сказал: «Что же, следовательно, не существует количественного отношения между медимном пшена и одним (целым) пшенным зерном или десятитысячной частью одного зерна?» Когда же тот сказал, что (количественное отношение между ними) существует, Зенон сказал: «Что же, не будут ли и у шумов те же самые взаимные отношения? Ведь как (относятся друг к другу предметы), производящие шум, так (относятся друг к другу) и самые шумы. А если это так, то, раз медимн пшена производит шум, произведет шум и одно зерно и десятитысячная Аристотель отделался от решения упомянутого парадокса кратким замечанием: «Поэтому-то неправильно рассуждение Зенона, что любая часть пшенного зерна произведет шум, так как вполне возможно, что в какое угодно время она не приведет в движение воздух, ко'то-рый привел в движение при своем падении медимн» 2 . Аналогичное замечание делает и автор статьи о Зеноне в 13-м издании «Британской энциклопедии»: «В самом деле, трудно понять, как такой острый мыслитель... не принял во внимание ' несовершенство органов чувств».

Вероятно, в силу таких критических замечаний данная апория не привлекала практически никакого внимания со стороны тех, кто потратил много энергии на рассмотрение других апорий Зенона. Как я уже отмечал в другом месте 3 , эти критические замечания бьют мимо цели. Мне кажется, что аргументацию Зенона можно интерпретировать следующим образом. С логической точки зрения величина, отличная от нуля, не может быть порождена конечным числом нулевых величин: ex nihilo nihil fit (из ничего ничто не возникает). Следовательно, если слышимый звук может быть порожден совместным действием конечного числа «неслышимых звуков», то в этом случае «нечто» порождается конечным числом «ничто», и таким образом мы сталкиваемся с противоречием между разумом и опытом. Аналогия с утверждением, что движение не может быть составлено из серии состояний покоя, представляется нам в данном случае очевидной.

Апория «Пшенное зерно» связана с проблемой применимости законов арифметики к объектам и событиям нашего опыта. Вопреки отношениям между временем и числом, рассмотренным в первом параграфе настоящей главы, обычно считают, что применение обычной арифметики не зависит от временных соображений: в частности, сумма конечной совокупности объектов не зависит от того порядка, в котором они пересчитываются, тогда как временная последовательность связана с единственным порядком. Более того, каждое событие «уничтожает» своего предшественника, тогда как в последовательности чисел этого не происходит. Однако, как это было однажды отмечено Уайтхедом ', можно себе представить случай, когда счет самым тесным образом связан со временем и обычная арифметика неприменима. Уайтхед приводит интересную легенду о Никейском соборе. «Когда епископы заняли свои места в креслах, их было 318, но, когда они поднимались во время переклички, оказалось, что их 319, и они никак не могли установить истинное число: всякий раз когда счет подходил к самому последнему в ряду, он немедленно превращался в подобие своего следующего соседа». Как отмечает Уайтхед, «какова бы ни была историческая достоверность этой истории, можно с уверенностью сказать, что ее ложность нельзя доказать с помощью дедуктивного рассуждения, основанного на предпосылках абстрактной логики», так как «вполне возможно представить себе вселенную, в которой любой акт счета, осуществляемый находящимся в ней существом, уничтожал бы некоторых членов класса, подлежащих перечислению, причем уничтожал бы только на то время, когда ведется счет».

  • 1А. Маковельский, Досократики, ч. II , Казань, 1915, стр. 84.
  • 2 Аристотель, Физика, стр. 164.
  • * G. J. W h i t r o w, «Philosophy», 23, 1948, 256.

Возвратимся теперь к случаю, описанному Зеноном. Если мы рассматриваем звук, производимый медийном, как «сумму» неслышимых звуков, производимых по отдельности падающими зернами, то временной фактор будет иметь решающее значение. Если зерна падают по отдельности в моменты, достаточно далеко отстоящие друг от друга, то они не произведут никакого шума в виде суммарного эффекта, однако если они падают одновременно, то мы услышим звук. Эта апория существенно отличается от апории «Стрела», в которой состояния покоя, составляющие движение, являются последовательными, тогда как неслышимые звуки производят слышимый звук только в том случае, если они одновременны.

  • 1 A. N. W h i t e h e a d, Mathematics, «Encyclopedia Britanica», 13th ed.

5. Апории Зенона ( II )

Мы рассмотрели два аргумента Зенона, с помощью которых он пытался доказать, что движение не может осуществиться, если время состоит из неделимых моментов. Теперь мы перейдем к анализу двух других его аргументов, на основании которых он утверждал, что движение равным образом невозможно, если время (и соответственно пространство) является бесконечно делимым.

В то время как апории «Стадий» и «Стрела» являются независимыми друг от друга, две другие апории, которые мы сейчас рассмотрим — «Дихотомия» и «Ахилл», — внутренне связаны между собой. В каждой из них рассматривается бесконечная последовательность во времени, в одном случае направленная в прошлое, в другом — в будущее. Согласно первой, движение никогда не может начаться, так как прежде чем какой-нибудь предмет сможет пройти расстояние (сколь угод* но малое), он должен сначала пройти его половину, а чтобы пройти.половину, он должен сначала преодолеть четверть, и так далее ad infinitum. Следовательно, для того чтобы пройти какое бы то ни было расстояние за конечное время, предмет должен осуществить за это время бесконечное число операций. Зенон отвергает это как невозможное.

С другой стороны, в апории «Ахилл» Зенон утверждает, что можно доказать, считая движение возможным, что «существо, более медленное в беге, никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество»'.

В этом кратком изложении Аристотель, между про-чим, упоминает о «черепахе», однако комментатор Сим-плиций (который жил в VI столетии н. э.) в более подробном пересказе апории пишет: «Этот довод называется «Ахилл» потому, что в нем речь идет об Ахилле, который, как гласит этот довод, не может догнать черепаху, которую он преследует. Ибо догоняющий должен, прежде чем он догонит преследуемого, достигнуть точки, из которой преследуемый начал свое движение. Но за время, необходимое преследователю для достижения этой точки, преследуемый пройдет еще какое-то расстояние. Даже если это расстояние меньше расстояния, пройденного преследователем, поскольку преследуемый движется медленнее, все же он продвинется вперед, так как не стоит на месте... Таким образом, в течение каждого периода времени, за который преследователь покрывает расстояние, уже пройденное преследуемым, двигающимся с более медленной относительной скоростью, преследуемый пройдет еще дальше вперед на какое-то расстояние; и хотя это расстояние постепенно уменьшается в силу того, что преследующий имеет более высокую скорость, оно представляет собой продвижение вперед на какую-то положительную величину. Итак, беря эти уменьшающиеся в некоторой пропорции расстояния бесконечное число раз, мы приходим в силу бесконечной делимости величины к выводу о том, что Ахилл никогда не догонит не только Гектора, но даже черепаху» 1 .

  • 1 Аристотель, Физика, стр, 144.

Заслуживает внимания расхождение во взглядах при оценке этой апории. Пирс, например, говорит, что «эта весьма бесхитростная уловка вовсе не представляет трудностей для ума, надлежащим образом подготовленного и в логике и в математике» 2 . С другой стороны, Рассел оценивает четыре апории Зенона Элейского, связанные с проблемой движения, как «чрезвычайно тонкие и глубокие», несмотря на то, что «множество философов объявляли Зенона искусным обманщиком, а все без исключения его аргументы — софизмами» 3 . В 1953году один американский философ, опубликовавший свою статью в журнале « Analysis », писал об апории «Ахилл»: «Это очень старая и, на мой взгляд, глупая проблема» 4 , тогда как в том же самом году Абрахам Френкель сделал множество ссылок в своем блестящем трактате по теории множеств на «эту знаменитую апорию, которая оказала громадное влияние на развитие науки» 5 . В свете того факта, что эта неиссякаемая по своей глубине проблема привлекает внимание многих блестящих умов ', в отличие от столь же древней проблемы «квадратуры круга», которая в своей оригинальной форме привлекает в настоящее время только чудаков, можно предположить, что те, кто игнорирует ее, упускают из виду один весьма существенный момент.

  • 1 А. Маковельский, Досократики, ч. II , стр. 8.
  • 3 С . S. Ре i r се , Collected Papers, Vol. 6, p. 177.
  • 1 B. R u s s e l 1, The Principles of Mathematics, p. 347.
  • 4 R. Т а у 1 o r, «Analysis», 13, 1953, 17.
  • A. Fraenkel, Abstract Set Theory, Amsterdam , 1953, p. 11.

Многие утверждают (например, Кэджори 2 ), что эта апория затрагивает вопрос о пределе функции, при «стремлении» ее аргумента к некоторому фиксированному значению. Аргументом в данном случае является расстояние, покрываемое Ахиллом, а функцией — время. Чисто арифметически мы вычисляем, где и когда Ахилл должен догнать черепаху, и затем спрашиваем, «достигла» ли функция предела в том смысле, который подразумевается Зеноном, то есть вычисляем соответствующее значение функции. Как мы уже отмечали, Ньютон в отделе I книги I своих «Начал», по-видимому, утверждает, что пределы функций всегда «достижимы». Тонкости, связанные с этим вопросом, оставались для него не совсем ясными. Как мы уже видели, более глубокое исследование этой проблемы в XIX веке лишило смысла математический вопрос о том, «достигает» ли переменная своего предела. Временные понятия, которые неизбежно связывались с такими терминами, как «стремиться» и «достигать», в настоящее время совершенно исключены из чистой математики. Поэтому возникает вопрос об отношении математической формулировки проблемы к действительной проблеме времени и движения, которая рассматривалась Зеноном.

Это осознавал Георг Кантор, но не до конца. Во вся-ком случае, вначале Кантор рассматривал чисто мате« матическое понятие континуума, а не проблемы, связанные с временем и движением. В течение столетий мыслители пытались объяснить идею линейного континуума, но до Кантора никому из них не удалось определить его как линейное множество, обладающее специфической структурой. Действительно, это понятие должно, по-видимому, мыслиться либо как исходное понятие, не подлежащее дальнейшему логическому и математическому анализу, либо как такое понятие, которое основано на внелогическом и «нематематическом» понятии времени 1 .

  • 1 Неожиданное и весьма интересное обсуждение апории «Ахилл» можно найти в начале гл. XXII книги второй романа Толстого «Война и мир».
  • 2 F. С a j o r i, «American Mathematical Monthly», 22, 1915,3 и далее .

При обсуждении смысла понятия континуума Кантор пришел к выводу, что это понятие следует рассматривать как более фундаментальное, чем понятие времени или пространства или каких-либо других независимых переменных. Кантор утверждает, что мы не можем начинать с пространства или времени, ибо сами эти понятия могут быть объяснены только с помощью понятия непрерывности, которое не должно от них зависеть 2 . Принятие этой точки зрения не обязывает нас, -однако, соглашаться с Кантором, когда он утверждает, что специальное рассмотрение времени вовсе не является необходимым в таких критических случаях, когда речь идет о способности Ахилла догнать черепаху. Если для простоты изложения принять, что скорость Ахилла в десять раз больше скорости черепахи, то сумма последовательных расстояний, которые Ахилл покрывает, достигая по истечении каждого рассматриваемого интервала времени места, где находилась черепаха в начале этого интервала, выражается бесконечным рядом следующего вида.

Кантор утверждает, что если ряд А сходится к конечному пределу, то так же сходится и ряд Т. Сходимость ряда А не зависит от временных соображений. Он сходится, и, следовательно, Ахилл догонит черепаху.

С этой аргументацией были согласны Рассел, Уайт-хед и Броуд, если ограничиться только тремя наиболее известными учеными. Однако в то время как Рассел отдает должное Зенону, Уайтхед отклоняет апорию с ироническим замечанием о том, что Зенон совершил математическую ошибку, обусловленную его незнанием бесконечных числовых рядов '. Броуд, признавая решение Рассела, как оно изложено в книге «Принципы математики» (« Principia Mathematica , 1903), отмечает, что в этом решении обходятся отдельные трудности, «которые чувствуют многие умные люди», ибо это построение не дает нам точки, в которой Ахилл догонит черепаху. В краткой заметке, опубликованной в 1913 году, Броуд отмечал, что, хотя число точек, данное в построении, является бесконечным, они не исчерпывают все точки линии, а из аргументации Зенона никак не следует, что Ахилл и черепаха не встретятся в какой-нибудь точке, которая не задается данным построением. "Такой точке соответствует сумма ряда А 2 .

  • 1 A. F r a e n k e 1, op. cit., p. 227.
  • 2 Г. Кантор, Учение о множествах, в сб. «Новые идеи в математике», вып. 6.

Хотя Броуд надеялся, что этот аргумент позволит окончательно решить спор, а это было, по его мнению, весьма актуальной задачей, «потому что эта и другие апории Зенона превратились в «охотничьи угодья» берг-сонианцев и подобных им философов, презирающих человеческий разум». Этой надежде, однако, не суждено 'было осуществиться. И не удивительно, потому что из предпосылки о непрерывности пространства и времени, которая является предметом спора, следует, что Ахилл должен пройти через все точки построения, прежде чем он сможет догнать черепаху, а в этом и состоит корень всех трудностей. Если Ахилл проходит через все точки того пути, который ему предписан, то он выполняет бесконечную последовательность действий. Из того факта, что весь интервал времени, который отпущен ему для этого деяния, имеет конечную меру, еще не следует автоматически вывод о том, что он в самом деле может исчерпать эту последовательность. Как правильно в 1909 году отметил Уильям Джемс, аргументация (спустя двадцать лет она все еще признавалась Уайтхе-дом), гласящая, что если бесконечный ряд, составленный из интервалов времени, имеет конечную сумму, то, следовательно, Ахилл должен догнать черепаху, и «критика Зеноновых соображений совершенно не попадает в цель. Зенон полне охотно согласился бы с тем, что если черепаху вообще можно догнать, то ее можно догнать, например, в двадцать секунд; но тем не менее он настаивал бы, что ее нельзя догнать вообще»'.

  • 1 А . N. Whit ehe ad, Process and Reality, Cambridge , 1929, p. 95.
  • C. D. Broad, «Mind», 22, 1913, 318.

Современный спор идет вокруг вопроса о противоречивости предположения о возможности выполнить бесконечное число операций. Поскольку бесконечный ряд не имеет последнего члена, Макс Блэк говорит, что такая последовательность операций невыполнима 2 . С другой стороны, Ричард Тэйлор и Дж. Уотлинг утверждают, что Блэк не проводит различия между завершением последовательности в смысле достижения последней операции и завершением последовательности в смысле осуществления всех операций. Оба смысла одинаковы в случае конечного ряда, но в случае бесконечного ряда только последний имеет значение. Уотлинг категорически утверждает, что «совокупность операций является завершенной, если, и только если, была осуществлена каждая из них. Когда совокупность является бесконечной, то осуществление каждой операции предполагает выполнение всех операций, вплоть до конечной и плюс еще одной, однако в этом нет ничего противоречивого» 3 . Тем не менее он завершает свое обсуждение, ставя следующий коренной вопрос: «Однако не является ли парадоксальным скорее то, что мы не можем понять, как человек, который совершает какую-то последовательность операций и ничего более и который намеревался осуществить все эти операции, может внезапно обнаружить, что он уже проделал все операции?»

То, что Рассела, например, не очень смущали такие неясные идеи, было, по-видимому, обусловлено тем, что на него громадное впечатление произвели блестящие идеи Кантора об актуальной бесконечности. Хотя идея о бесконечности как о постоянной величине ясно осознавалась некоторыми философами 4 прошлого, особенно св. Августином 5 , против нее решительно выступил величайший из математиков нового времени Гаусс, который утверждал, что представление о бесконечности «как о чем-то законченном» недопустимо с математической точки зрения '. Кантор открыто и мужественно выступил против подобного запрета.

  • 1 У. Джемс, Вселенная с плюралистической точки зрения, М, 1911, стр. 125.
  • 2 M. B l а с k , « Analysis », И, 1950, 92.
  • 3J. W a t H n g, «Analysis», 13, 1953, 39.
  • 4 Правда, другими она отвергалась, например Джоном Локком, который утверждал, что мы не можем «установить постоянную меру для возрастающего объема» («Опыт о человеческом разумении», книга II , глава 17, § 7).
  • 5 St. Augustine , De Civitate Dei, liber XII, cap. XVIII .

В 1883 году водной из своих ранних публикаций, посвященных проблеме актуальной бесконечности, Кантор писал: «По традиции бесконечность рассматривают как неопределенно возрастающую величину или как нечто очень близкое сходящейся последовательности, как это было принято в XVII веке. Напротив, я представляю себе бесконечное в определенной форме как нечто законченное, допускающее не только математические формулировки, но и определение с помощью числа. Эта концепция бесконечности находится в противоречии с традиционной, которую я очень ценю, и я против своей воли вынужден принять эту точку зрения. Но многие годы теоретических размышлений и проверок указывают, что этот вывод логически необходим, и поэтому я уверен, что не существует таких веских возражений, на которые я не был бы в состоянии дать ответ». Выступая в защиту канторов-ской теории бесконечных множеств как теории о вполне законных объектах, подлежащих исследованию, мы, однако, не должны упускать из виду тот факт, что, строго говоря, они являются лишь творениями нашего мышления. Даже если мы полностью признаем корректность канторовского анализа континуума, несмотря на аргументы интуиционистов, согласно которым это понятие нельзя рассматривать как замкнутую полную совокупность, мы не должны считать, что в действительности, то есть во времени, любая бесконечная последовательность операций может быть выполнена, так как, используя удачное высказывание Френкеля, «неописуемая бездна разделяет конечное и бесконечное». Теперь, если бы Ахилл проходил через всю последовательность положений, в которых находилась черепаха, как и рассматривал эту проблему Зенон, и при этом пересчитывал бы их, то этим самым он исчерпал бы бесконечную группу положительных целых чисел, пересчитав ее. Однако сколь быстро бы он ни считал, это деяние неосуществимо, потому что ни одно бесконечное множество не может быть полностью перечислено при помощи счета, даже когда мы имеем дело с так называемым счетным множеством, как в данном случае, хотя можно назвать любой из его членов, но нельзя пересчитать их все. По сути дела, это различение имеет временной характер: мы можем сказать, что эту операцию нельзя завершить ни за какое время.

  • 1 Т . D a n t z i g, Number, the Language of Science, 3rd ed., London , 1947, p. 211.

Поэтому согласие с канторовской теорией бесконечного обязывает нас точно различать бесконечное множество положений (которое Зенон рассматривает, анализируя движение черепахи, и которое обязан пройти Ахилл) и последовательность актов их прохождения. Допуская возможным рассмотрение первого как совокупности, мы не можем делать вывод о законности такого рассмотрения последней, поскольку, хотя первое может мыслиться как статическая или завершенная бесконечность, последняя именно по своей природе должна рассматриваться только как бесконечно возрастающая, динамическая или незавершенная бесконечность.

Тенденция навязать геометрическое понимание времени привела к распространению канторовской бесконечности на временную сферу, где она неприменима. Это видно из нового очень тщательного рассмотрения Расселом апории «Ахилл». В ходе своего изложения ' Рассел сформулировал другой парадокс, который рассматривал как «строго коррелятивный». У Стерна в его известном одноименном романе Тристрам Шэнди, обнаружив, что для описания двух первых дней своей жизни ему потребуется два года, сокрушался по поводу того, что, таким образом, материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, — говорил Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной». Рассел называет этот вывод «парадоксом Тристрама Шэнди», но четко не разъясняет, в чем же заключается этот парадокс, если он существует. Рассел отмечает, что, поскольку Тристрам Шэнди успевает описывать за год событие только одного дня, события rt -ного дня будут описаны в я-ом году и что поскольку любой день является л-ным днем, то он в конечном счете будет описан.

В этом выводе, по-видимому, нет ничего парадоксального или даже дискуссионного. Парадокс возникает только в том случае, если мы предположим, что поскольку события любого дня будут описаны в биографии, то будут описаны и события всех дней. Действительно, автор никогда не опишет события всех дней, и вообще незаконно рассматривать события его жизни как законченное бесконечное множество. Следовательно, неправильно представлять себе ситуацию таким образом, что число прожитых и описанных дней будет одним и тем же. Но именно так поступает Рассел, когда утверждает: «Поскольку между временами событий и временами их описания существует одно-однозначное соответствие и первые составляют часть последних, целое и часть имеют одно и то же число членов». Это утвержде-, ние предполагает, что данная последовательность событий, которая не может быть завершена, может рассматриваться как целое. Этот безвременной способ рассмотрения приводит Рассела, когда он излагает апорию «Ахилл» и «парадокс Тристрама Шэнди» «в строго логической форме», даже к тому, что он говорит о положениях в одном случае и событиях в другом так, как будто бы соображения, применимые к первым, автома* тически применимы и к последним.

В апории «Ахилл», в отличие от «парадокса Тристрама Шэнди», время, которое необходимо для совершения деяния, обычно предполагается как конечное, поскольку считают, что как Ахилл, так и черепаха движутся равномерно. Не существует, однако, никаких возражений против градуировки шкалы времени так, чтобы каждый интервал времени, в течение которого Ахилл продвигается от положения, в котором он находился в начале интервала, к Положению, где находилась черепаха в тот же момент, был равен каждому другому такому интервалу времени. Это новое измерение времени должно идеально удовлетворять всем условиям проблемы, поставленной Аристотелем и Симплицием, а также и добавочному конкретному условию, которое мы наложили из-за того, что скорость Ахилла всегда в 10 раз больше скорости черепахи. В этом случае сумма временных интервалов, о которых шла речь, будет уже представляться не сходящимся рядом вида.

Но должно ли из этого следовать, что Ахилл никогда не сможет догнать черепаху?

Мы видим: если не предполагается, что., шкала времени выбрана так, что Ахилл и черепаха движутся равномерно, условия проблемы не позволяют нам различать возможную сходимость или расходимость ряда рассматриваемых интервалов времени, в частности (Т) и ( D ). Конечному моменту, изображаемому числом 10/9 в шкале Т, будет соответствовать бесконечный момент на шкале Ь. Следовательно, если этот момент соответствует какому-либо действительному или достижимому состоянию мира, то из этого следует, что ни это состояние, ни любое более позднее не могут быть отмечены на шкале D . Однако мы не можем сделать из этого вывод, что состояние практически достижимо только потому, что оно приписывается конечному моменту на той или иной шкале времени, точно так же, как мы не можем утверждать, что оно недостижимо только потому, что ему не может быть приписан ни один такой момент. Первую ошибку, по-видимому, совершало большинство из критиков Зенона. Последняя может быть проиллюстрирована с помощью аналогии. Если у нас имеется растяжимый измерительный шнур, состоящий из бесконечного числа отрезков, каждый из которых имеет длину один дюйм, автоматически сжимающихся при растяжении шнура так, что им нельзя измерить отрезок, больший данного интервала AB, то было бы неправильно только из этого делать вывод, что большая длина существовать не может.

Поэтому апорию «Ахилл» нельзя окончательно ре* шить только с помощью вычислений, относящихся к той или иной шкале времени. Напротив, мы должны ясно представить себе, что проблема касается физических событий и что они существуют независимо от наших концепций, хотя наш анализ этих событий будет необходимым образом подчиняться нашему способу мышления, в частности каким-то частным гипотезам, которые нам следует выдвинуть для того, чтобы сделать этот анализ не только возможным, но и плодотворным. Что Ахилл не догонит черепаху — это Зенон может утверждать, пока не посинеет, но ему никогда не удастся доказать это свое утверждение. Аргументы Зенона говорят скорее о том, что его метод (и в сущности любой метод) анализа пространства, времени и движения выдвигает новую проблему, связанную с его применимостью. Таким образом, апория Зенона связана не с вопросом о том, догонит Ахилл черепаху или нет, а с вопросом о применимости к изучению движения гипотезы о бесконечной делимости пространства и времени. Эту гипотезу можно примирить с возможностью того, что Ахилл догонит черепаху в том случае, если мы выдвинем новую гипотезу, согласно которой как только он бесконечно близко подходит к своей цели, то совершает в пределе бесконечное число последовательных действий с бесконечной скоростью. Но бесконечная скорость (в пределе) означает, что (в пределе) эти действия, в противоречие с их определением как последовательных, одновременны. Таким образом, мы видим, что, если этот метод изучения движения должен быть универсально справедлив во всех приложениях, мы должны ввести логическую фикцию (внутреннее противоречие) в виде бесконечно быстрого следования .действий с целью компенсации логической фикции, заключающейся в возможности рассмотрения законченной бесконечности последовательности действий.

Остроумная идея о компенсации ошибок была впервые предложена Беркли в 1734 году в его сочине* нии «Аналитик», где он критиковал Ньютонов метод флюксий. С помощью этой идеи Беркли пытался примирить свое утверждение об ошибочности оснований этого метода с тем фактом, что он дает правильные результаты. Хотя мы теперь ясно понимаем, что схема Беркли вовсе не нужна для оправдания математического анализа, сходный метод компенсирующих фикций, например координат и общей ковариантности, рассматривается теперь как неотъемлемая часть научного метода. В частности, этот подход нужен нам для плодотворного применения понятия бесконечной делимости к представлениям о времени и движении. Поскольку эти представления уже не считаются имеющими отношение к пониманию математического анализа, то отсюда" следует, что, хотя математический «анализ можно применять для их рассмотрения, он не содержит их в себе. Следовательно, аргументы, относящиеся к основаниям математического анализа, не обязательно применимы к вопросам, связанным с временем и движением.

Не удивительно, что применение принципа бесконеч« ной делимости времени оказывается связанным с логическими фикциями, построенными, строго говоря.,, в нарушение закона противоречия, ибо сам этот принцип содержит именно такую логическую фикцию, что становится очевидным, когда апория Зенона «Дихотомия», которую он, по-видимому, формулировал для движущегося тела, применяется к самому времени, то есть к любым часам. В этом случае Зенон должен утверждать, что до истечения любого интервала времени (как бы он ни был мал) должна истечь половина этого интервала, равно как для того, чтобы могла истечь половина, должна истечь ее половина и т. д. до бесконечности. Следовательно, до того как сможет истечь любой интервал времени, должна истечь завершенная бесконечность перекрывающих друг друга подынтервалов. Таким образом, можно либо сделать вывод о необходимости отбросить идею бесконечной делимости времени, либо, если желательно использовать эту схему, нужно учитывать, что это, строго говоря, логическая фикция'.

В итоге этого довольно пространного обсуждения апорий Зенона, касающихся времени и движения, нам представляется, что две из них, основанные на понятии неделимости временных промежутков, покоятся на иных основаниях, нежели две другие, которые связаны с предположением о бесконечной делимости времени. При правильном анализе оказывается, что первые не содержат никаких логических антиномий; хотя они, по-видимому, противоречат здравому смыслу. Однако последние являются истинными парадоксами, содержащими логические антиномии. Итак, мы можем сделать заключение, что гипотеза о существовании временных промежутков, то есть о существовании какого-то определенного предела делимости времени, с логической точки зрения является предпочтительной по сравнению с альтернативной гипотезой, согласно которой время действительно непрерывно, то есть бесконечно делимо. Тем не менее последняя гипотеза оказывается более доступной для математического рассмотрения и при помощи метода компенсирующих фикций ее можно использовать для получения последовательных и правильных результатов.

  • 1 Интересно сравнить и противопоставить друг другу апории Зенона «Дихотомия» и «Ахилл» с аргументацией Канта, согласно которой до настоящего момента не могло существовать бесконечного числа состояний вещей, потому что такой бесконечный ряд никогда не может быть завершен путем последующего синтеза (см. стр. 44—46). В случае, рассматриваемом Зеноном, бесконечный ряд последовательных действий является чисто мысленным рядом, вытекаюшим из нашего метода анализа, тогда как у Канта бесконечные ряды предполагаются ex hypothesi действительно имеющими место.

6. Атомарность времени

В наши дни большинству из нас трудно вообразить понятие временной атомарности в силу естественного стремления верить в непрерывность нашего собственного существования. С другой стороны, понятие об атомном строении материи, согласно которому существуют абсолютно минимальные частицы материи, сейчас является общепризнанным. Точно так же с возникновением квантовой теории стало банальным утверждение, что энергия в конечном счете имеет атомарный характер. Пока не ясно, можно ли говорить о пределе физической длины, хотя, видимо, в общем это должно было бы согласовываться с современными тенденциями постулировать наличие нижнего предела, пространственной протяженности в природе. С этим понятием тесно связана гипотеза о минимальных естественных процессах и изменениях, согласно которой ни один процесс не может произойти за время, меньшее некоторой атомарной единицы времени — хронона. Конечно, принятие представлений о пространственной и временной атомарности в физике не запрещает нам применять в наших вычислениях математические понятия пространства и времени, требующие использования при расчетах числового континуума, однако в таком случае бесконечная делимость, связанная с этими понятиями, будет чисто математической и ей не будет соответствовать ничего физического.

Нелегко последовательно рассматривать эти вопросы. Как мы уже видели, даже Зенон при обсуждении апории «Стадий» молчаливо обращался к представлению о непрерывности, хотя данная апория основана на предположении об атомарном характере пространства и времени. Логически непротиворечивое решение этой проблемы должно опираться на представление о последовательных дискретных состояниях, между которыми нельзя вставить никакие другие состояния. И обратно, во временном континууме не должно быть таких лосле-довательных состояний, так как между любой парой событий мы можем вставить бесконечное число промежуточных состояний. Поэтому понятия физической дискретности и математической непрерывности, когда обсуждаются все тонкости, связанные с проблемами, поставленными Зеноном, следует строго различать. Не надо думать, что в некотором смысле второе понятие является основанием первого, как, например, полагает такой острый мыслитель, как профессор Грюнбаум, когда утверждает, что поскольку пространство и время являются «экстенсивными величинами, значения которых задаются вещественными числами», а множество вещественных чисел в чистой математике составляет континуум, то, следовательно, «атомы» пространства и времени логически предполагают целое, составными частями которого они могут рассматриваться и которое является их суммой» '. Когда он, развивая свою аргументацию, утверждает, что в каждом из конечных неделимых далее элементов пространства движущееся тело пересекает континуум, а следовательно, плотную бесконечность точек и мгновений, то он, по-видимому, попадает в ту же самую западню, что и Зенон. Напротив, согласно гипотезе об атомарном характере времени, Ахилл не пройдет никакого расстояния за неделимый элемент времени, в каждый момент времени он будет находиться в определенном месте, в один момент он будет находиться здесь, в следующий — там, и это все, «то он может сделать.

  • 1 A. Grunbaum, «The Scientific Monthly», 81, 1955, 238,

После трехсотлетнего господства в математической физике непрерывного геометрического времени Галилея, Барроу и Ньютона недавно в связи с открытиями в атомной физике и физике элементарных частиц как смелая и несколько искусственная сопутствующая им гипотеза была выдвинута идея об атомарном строении времени, или конечной его делимости. Однако в средние века i об атомарном характере времени говорили различные мыслители, особенно еврейский филороф Маймоиид, который жил в XII столетии и писал свои труды на арабском языке. В наиболее известной из своих работ «Путеводитель колеблющихся» он писал, что время состоит из атомов времени, то есть из множества частей, которые по причине их малой длительности не могут быть подвергнуты дальнейшему делению. Один час, приводит он пример, делится на шестьдесят минут, минута — • на шестьдесят секунд, секунда — на шестьде-сят частей и т. д.; наконец, после десяти или более последующих делений на шестьдесят получаются элемен-ты времени, которые не подвержены более делению и действительно, неделимы 2 .

Предполагают, что арабские писатели средневековья опирались не только на античную греческую и эллинистическую науку и философию, но также и на теории индийских философов. Саутранкитас, принадлежавший к буддийской секте, которая возникла во II или I столетии до н. э., выдвинул метафизическую теорию о мгновенности всех вещей. Согласно этой теории, все существует только мгновение и в следующее мгновение заменяется точной копией самого себя, так сказать, кинематографически. Эта теория предполагает разложение времени на «атомы». Она была, по-видимому, приду« мана с целью объяснить вечные изменения, которые имеют место в физическом мире 3 . Восходит или нет к столь глубокой древности происхождение маймонидов-ского понятия времени, но почти наверняка можно сказать, что он цитирует своих предшественников, поскольку та же идея появилась в «Этимологии» (« Etymo - logiae ») Исидора Севильского, который умер в 636 году н. э., а также примерно около ста лет спустя в сочинении «О разделении времени» («De Divisionibus Temporo-rum») Беда Достопочтенного, который умер в Джарроу в 735 году. Согласно Таннери ', мысль о том, что время состоит из отдельных мгновений, была перенесена в средневековье Марцианом Капеллой, римским автором энциклопедического труда, который он написал в Карфагене около 470 года н. э. Та же идея вновь появляется в девятой книге популярной энциклопедии «О свойствах вещей» («De Proprietatibus Rerum ») Варфоломея Англичанина (францисканский монах из французской епархии, который, возможно, был учеником Гроссетесте в Оксфорде), написанной приблизительно между 1230 и 1240 годами. В этой работе, хотя как с точки зрения методической, так и с точки зрения содержания она была устаревшей, астрономия представлена взглядами Макробиуса и Марциана Капеллы. Мы узнаем, что Варфоломей дедил день на 24 часа, каждый час на четыре пункта, или 40 моментов, момент — на 12 унций и каждую унцию — на 47 атомов 2 . Таким образом, получалось, что час состоит только из 22 560 атомов, а Маймонид насчитывал их 60'° или больше! Таннери обозначил этот современный филологический пережиток античного понятия атомарности времени итальянским словом attimo , означающим мгновение.

  • 1 В древности идея о неделимых атомах времени защищалась, по-видимому, Ксенократом, учеником Платона (см. S. S а га b u r s-ky, Physics of the Stoics, London, 1959, p. 103).
  • 2 M . Ma и m он и д, Путеводитель колеблющихся, в: С. H. Григорян, Из истории философии Средней Азии и Ирана VII — XII вв., Изд-во АН СССР, М., 1960, стр. 288—289.
  • 3 Н . Jacobi, Atomic Theory (Indian), «The Encyclopedia of Religion and Ethics» (ed. Hastings ), Edinburgh , vol. 2, 1909, p. 202.

Теория Маймонида, согласно которой время состоит из атомов времени, а вселенная должна была существовать только в течение одного из них, если бы не было непрерывного вмешательства бога, разделялась также и Декартом. Согласно точке зрения Декарта, поскольку самосохраняющееся бытие не требует для своего существования ничего, кроме самого себя, самосохранение должно быть прерогативой только бога. Следовательно, материальное тело обладает только одним свойством пространственной протяженности и не имеет никакой врожденной способности к длительности, и бог с помощью непрерывного действия вновь порождает тело в каждое последующее мгновение, поскольку, «для того чтобы сохранять субстанцию во все моменты ее существования, нужна сила, необходимая для создания ее вновь, если бы она не существовала, то сохранение и создание были бы только различным выражением одного и того же fac.on de penser» '. Следовательно, Декарт был вынужден постулировать, что моменты, в которые существуют сотворенные сущности, должны быть прерывными, или атомарными. Существование во времени должно, следовательно, быть подобно линии, составленной из отдельных точек — повторяющихся перемен состояний бытия и состояний небытия.

  • 1 P. Tannery, Memoires Scientifiques (ed. J. Heiberg), Paris , 1922, vol. 5, p. 346—347.
  • * Введение странного множителя 47, по-видимому, связано с Me -тоновым циклом, названным по имени астронома Метона, деятельность которого достигла расцвета в Афинах во времена Перикла около 432 года до н. э. В основе этого цикла лежало открытие почти полного равенства 19 солнечных лет 235 (то есть 5 X 47) лунным месяцам. Для того чтобы выразить месяц как сумму временных атомов, был введен множитель 47.

В последние годы, после открытия того, что эффек» тивный диаметр электрона и протона равен 10~ 13 см, вновь воскресли гипотезы о минимальном интервале времени. Высказывались предположения, что эта величина является, возможно, наименьшей длиной, которая может быть определена 2 . Соответственно наименьший интервал времени можно получить, разделив эту длину на наибольшую возможную скорость, на скорость света в вакууме (3 X Ю 10 см/сек). Отсюда следует, что величина хронона будет примерно равна 10~ 24 сек 3 .

Однако большинство физиков пока еще не чувствуют никакой необходимости вводить представление об атомарности времени, поскольку квантовое понятие стационарного состояния квантовой механикой согласовано с непрерывной временной переменной. Если не вводить атомарность времени, то другой альтернативой гипотезы о бесконечной делимости времени является предпо* ложение, что оно вообще неделимо. Эта точка зрения энергично защищалась Бергсоном, который видел в ней средство для того, чтобы, не отказываясь от веры в реальность времени, избежать трудностей, связанных как с проблемой непрерывности, так и с атомарностью времени, которые были подняты Зеноном.

  • 1 Р. Декарт, Размышления о первой философии, СПб., 1903, стр. 28.
  • 2 Однако с чисто теоретической точки зрения единицу длины, которая меньше чем Ю" 13 см, можно вывести из трех фундаментальных констант G, h и с (гравитационная постоянная, постоянная Планка и скорость света). Эта постоянная I^Gh/c 3 имеет порядок Ю~ 32 см. Длины короче чем Ю" 13 см в нашем изложении, по-видимому, не имеет смысла рассматривать.
  • 3 Примерно такое время характерно для процессов нормального распада нуклонов, то есть процессов, относящихся к так называемым «сильным взаимодействиям» между протонами и нейтронами. Однако время жизни наиболее нестабильной из извест-цых элементарных частиц примерно в Ю 4 раз больше. Дальнейшее рассмотрение хронона на основе принципа неопределенности Гейзенберга см. на стр. 304.

Философская заслуга Бергсона состоит не столько в формулировке отдельных идей, сколько в оригинальности его указаний на те свойства времени, которые носят истинно временной характер, а не квазипространственный. К сожалению, в своих нападках на геометризацию (или опространствление) времени он зашел слишком далеко и утверждал, что поскольку время существенным образом отличается от" пространства, то оно фундаментально несводимо к математическим терминам. Его учению не повезло, оно привело к антиинтеллектуа-листской философии и является совершенно необоснованным. Из того, что время непространственно, еще не следует, что оно совершенно неделимо и неизмеримо, точно так же как этого нельзя сказать в отношении температуры или твердости. До тех пор пока не достигнуто общее согласие относительно хронона, понятие математического времени, лежащее в основе физической науки, включая и микрофизику, будет продолжать базироваться на гипотезе о непрерывности или бесконечной делимости.

Любопытное и пока еще не объясненное наличие единицы времени около ICH 3 сек вытекает из проведенного Филпоттом анализа своих экспериментов по периодичности флуктуации умственной деятельности при выполнении повседневных заданий. Подвергнутые эксперименту люди получали на бумажной ленте ряды чисел, которые нужно было сложить и прочитать. Их ответы регистрировались. Задания выдавались порциями в течение следующих друг за другом пятисекундных интервалов времени. Филпотт разложил кривую флуктуации производительности, построенную по данным 700 результатов, на сложную систему волн и утверждал, что им обнаружена основная единица времени, равная примерно 4,076-Ю- 23 сек (« Brit . J . Psychob , 1949, 39, 123; 1950, 40, 137). Детальную критику выводов Филпотта и его попытки связать свое открытие с действием атомных процессов см. L. F. Richardson , ibid., 1953, 43, 169, и в последующей дискуссии между Филпоттом и Ричардсоном,

7. Математическое время как тип последовательного порядка

Поскольку математическое мгновение нулевой дли-тельности в точности аналогично геометрической точке, оно не может рассматриваться как теоретический коррелят «теперь» нашего чувственного сознания, которое, как мы уже видели, явно обладает некоторой длительностью. Более того, наше исследование апорий Зенона привело нас к заключению: для того чтобы движение было возможно, точечные мгновения должны рассматриваться как логические фикции. Отсюда следует, что мы можем принять это понятие только как математический инструмент, который используется просто для облегчения расчета '.

В этой процедуре нет ничего необычного. В самом деле, математическая физика изобилует примерами, где логически фиктивный характер используемых средств является гораздо более очевидным. Величины, которые По своей собственной природе должны быть дискретными, продолжают обозначать с помощью дифференциалов, несмотря на тот факт, что дифференцируемость предполагает непрерывность. Например, в статистической механике символ dN обозначает число частиц и поэтому, строго говоря, должен быть целым. Кроме того, в задачах по электричеству dq означает элемент заряда, несмотря на наше знание, что природа электричества дискретна. Какими бы спорными ни показались эти явно внутренне противоречивые процессы для человека, стремящегося к логической строгости, они никогда не волнуют физика, который, если бы его спросили об этом, ответил бы, что они обоснованы в силу малости dN по сравнению с общим числом рассматриваемых частиц, а dq — по сравнению со всем рассматриваемым зарядом. Конечно, имеются необходимые условия практической применимости данных инструментов, но их обоснование— дело математики. Подобным же образом в случае ,времени (а также и пространства) физики придержибаются гипотезы непрерывности, поскольку дифференциальные уравнения являются более удобными, нежели уравнения в конечных разностях (по крайней мере с аналитической точки зрения; все возрастающее использование вычислительной техники и машин, которые основаны на дискретных числовых процессах, приведет, возможно, к некоторым изменениям этой точки зрения). Таким образом, основной причиной, почему физики придерживаются этой гипотезы, является ее математическое удобство.

  • 1 «Нет природы без перехода, и нет перехода без временной длительности. Поэтому момент времени, понимаемый как первичный простой факт, является бессмыслицей» (А. N. Whitehead , Modes of Thought , Cambridge , 1938, p . 207).

Однако примерно за последние пятьдесят лет некоторые выдающиеся философы и чистые математики выражали неудовлетворенность существующим положением дел. Как Дедекинд и другие во второй половине прошлого столетия чувствовали неудовлетворение из-за отсутствия какого-либо логического определения иррациональных чисел, например У"2, хотя математики уже давно успешно оперировали ими без каких-либо определений, так и Уайтхед, Рассел и другие пришли к выводу, что безразмерные точки и мгновения должны быть «построены», а не просто постулированы. Дедекинд определил иррациональные числа с помощью рациональных, которые в свою очередь состоят из положительных целых чисел. Уайтхед, а также его коллеги и последователи пытались определить безразмерные мгновения математического времени с помощью воспринимаемых событий конечной длительности и воспринимаемых временных отношений между ними. Метод экстенсивной абстракции Уайтхеда, как он сам называл его, первоначально предназначался для определения точек с помощью воспринимаемых объектов. Применение этого метода к определению моментальных мгновений впервые было исследовано Норбертом Винером в одной из его ранних статей, опубликованной в 1914 году 1 .

Метод Уайтхеда связан с тонким приемом, который после многочисленных и весьма плодотворных приме« нений в различных областях нужно рассматривать как одно из наиболее мощных методологических нововведений нашего времени. Первым примером применения его в чистой математике было отождествление предела бесконечной последовательности с самой последовательностью.

  • 1 N. Wiener, «Proc, Camb. Phil. Soc.», 17, 1914, 441—449.

Таким образом, иррациональное число У 2, например, было отождествлено со множеством всех рациональных чисел, квадраты которых не превосходят 2. Оказалось, что это определение удовлетворяет всем формальным требованиям, предъявляемым к\^2, и, таким образом, несмотря на свою первоначальную непривычность, оно получило всеобщее признание. Затем Фре-ге в Германии (в 1883 году) и Рассел в Англии (в 1901 году) пришли к определению кардинального числа, в котором содержится все та же основная идея, например число 2 определялось как класс, или множество' всех пар, и т. д. Подобным образом Уайтхед определял точку по аналогии с китайскими коробочками, как множество всех объемов, окружающих точку 1 . Сделать эту идею полностью удовлетворительной и логически строгой было отнюдь не легко, однако лежащий в ее основе всеобщий принцип -не является более трудным для понимания, чем в предыдущих случаях. Следует упомянуть одно частное требование этого метода. Нужно доказать, что он не содержит в себе логического круга и что, определяя таким образом точку, мы не используем мол« чаливо представление в точке, на которую опираются при построении данного множества объемов, а именно всех тех объемов, которые действительно окружают точку. К счастью, можно показать, что множество объемов, сходящихся к точке, может быть определено с помощью некоторых отношений, имеющих место между членами множества, без каких-либо ссылок на понятие точки. Тем не менее с помощью этого метода нельзя построить непрерывное пространство точек только на основании чувственных данных, поскольку необходимо предположить, что для размеров рассматриваемых объемов нижнего предела не существует, тогда как чувственные данные не могут быть сколь угодно малы.

На первый взгляд мо'жно было ожидать, что определение бездлительных мгновений (которые мы отныне бу-| дем именовать просто «мгновениями») является более простой проблемой, чем определение пространственных точек, поскольку время имеет только одно измерение, тогда как пространство — три. Тем не менее дело двигалось медленно.

  • 1 Любое такое множество он называет «абстрактивное множество». Отсюда происходит термин «экстенсивная абстракция».

Конечная цель состояла в том, чтобы из недлящихся событий вывести континуум мгновений, который постулируется математической физикой, и таким образом обосновать эту гипотезу, поскольку не очевидно, что временной порядок физики должен неизбежно быть порядком этого типа. Данный континуум является ординально линейным или подобен континууму вещественных чисел, но известно, что в чистой математике существуют упорядоченные множества более сложного типа. Следовательно, выведение этого линейного континуума времени из приемлемой системы аксиом, имеющих отношение к воспринимаемым событиям, является не просто каким-то абстрактным логическим упражнением учебного характера. В своих лоуэлловских лекциях 1914 года Рассел указывает два различных пути подхода к этой проблеме 1 . Мгновения могут быть построены из событий (ненулевой длительности) либо с помощью временного окружения, подобного уайтхедовскому определению точки через пространственное окружение, либо путем рассмотрения временного перекрытия. Однако для того, чтобы с помощью первого метода построить непрерывный ряд мгновений, необходимо использовать события произвольно малой длительности (точно так же как в случае пространства должны быть введены сколь угодно малые объемы), хотя нет никаких оснований предполагать, что такие события действительно существуют. Поскольку это гораздо больше соответствует нашему опыту — см. высказывания Уильяма Джемса, цитированные на стр. 103, о том, что в каждый момент в нашем мозгу происходят процессы, перекрывающие друг друга, — мы ограничимся рассмотрением метода перекрытия 2 .

Наш действительный опыт времени можно проанализировать с помощью двух фундаментальных отношений: одновременности и временного порядка (или предшествования). В этой связи любое событие обязано быть либо одновременным, либо более ранним, либо более поздним по отношению к любому другому событию. Два события, сосуществующие в течение некоторого времени, которое, однако, мало по сравнению с соответствующими им длительностями, называются одновременными, или перекрывающими друг друга. Следовательно, из двух событий, которые не перекрываются, одно должно быть раньше другого или одно должно предшествовать другому; и это отношение является транзитивным, а именно если одно событие предшествует другому, а это в свою очередь предшествует третьему, то первое событие предшествует третьему. Если мы начинаем с рассмотрения двух одновременных событий, то любое третье событие, которое одновременно с двумя первыми, должно суще-, ствовать в течение (но не обязательно только в течение) того времени, когда они все три перекрываются. Поэтому Рассел определяет мгновение как такое множество событий, любые два события из которого одновременны, и не существует другого события (то есть события, не содержащегося в множестве), одновременного со всеми этими событиями. Предполагается, что мгновения, определенные таким образом, существуют.

  • 1 В . Russe 11, Our Knowledge of the External World, London , 1914, Led . IV .
  • * Используя этот метод, мы предполагаем, что получающееся множество мгновений везде плотно, 206

Говорят, что событие происходит «в» данное мгновение, когда оно является элементом множества, определяющего это мгновение. Временной порядок мгновений определяется тогда следующим условием: одно из них раньше другого, если в первом некоторое событие произошло раньше, чем во втором. Если ни одно из мгновений не является более ранним, то они одновременны (тождественны).

Определив мгновения с помощью этого метода, мы сталкиваемся со следующим фундаментальным вопросом: позволяет ли это определение вывести временной континуум мгновений, постулируемый физиками? Этот континуум, который мы будем обозначать символом Т, обладает 'следующими формальными свойствами'.

  • (1) Т есть упорядоченное множество. Под этим мы разумеем следующее: если p и g являются любыми двумя мгновениями, то тогда либо p одновременно с q, либо p предшествует q, либо q предшествует p и все эти три отношения взаимно исключают друг друга. Более того, если p предшествует q, a q предшествует другому мгно< вению г, тогда p предшествует г, а про q говорят, что оно произошло между риг.
  • (2) Т есть плотное множество. Это означает, что если p предшествует г, то между риг существует по крайней мере одно мгновение q.
  • (3) Т удовлетворяет постулату Дедекинда, а именно если t! и Т 2 являются двумя непустыми частями Г, так что каждое мгновение Т принадлежит либо к T lt либо к Tz и каждое мгновение ti предшествует каждому мгновению tz, то имеется по крайней мере одно такое мгновение t, что любое мгновение, более раннее чем t, принадлежит к ti, а любое мгновение, более позднее чем t, принадлежит к T z .
  • (4) Т содержит линейную систему F, которая представляет собой счетное подмножество, так что между любыми двумя мгновениями Т имеется по крайней мере одно мгновение, которое принадлежит к F.

1 Подобные свойства характеризуют линейный континуум вещественных чисел, а в геометрии — континуум точек на непрерывной Линии.

В своей статье 1914 года Винер получил необходимые условия, при которых удовлетворяется требование (1), а также рассмотрел условия, которым удовлетворяет требование (2). Несколько позже Рассел сформулировал условия, при которых одно событие происходит по крайней мере «в» одно мгновение, в частности в начальное мгновение. В более поздней статье', опубликованной в 1936 году, Рассел показал, что, для того чтобы было выполнено требование (2), достаточно, чтобы: (а) ни одно событие не длилось только одно мгновение и (Ь) любые два перекрывающиеся события имели по крайней мере одно общее мгновение.

В этой последней статье Рассела преимущественно интересовала проблема существования мгновений. Рассел показал, что это существование можно вывести дедуктивным путем, если сделать специальные предположения относительно событий. Однако, как отмечал он, не существует «никаких оснований, ни логических, ни эмпирических, для предположения о том, что эти предпо-сылки являются истинными». Так, например, одна из этих предпосылок состоит в том, что целое множество событий может быть «вполне упорядоченным», то есть каждое подмножество обладает начальным членом. Другие предпосылки касаются существования определенных видов вполне упорядоченных рядов событий. «Но при отсутствии таких возможностей, когда может случиться так, что все события, существующие в начале какого-либо события (или в конце его), продолжаются в течение какого-то периода, когда другие начинаются и прекращаются (или уже существовали в течение этого периода), я не знаю, как доказать, что такие мгновения где-то существуют»,' — говорит Рассел. И он приходит к выводу, что если начальные предположения были ошибочны, то «мгновения являются только логическими идеалами», к которым можно бесконечно приближаться, но которых нельзя достигнуть.

  • 1 В . Russell, «Proc. Camb. Phil. Soc.», 32, 1936, 216—228, статья вошла в сборник : «Logic and Knowledge» (ed. R. C, Marsh), London , 1956, p. 347—363.

Десятью годами позднее проблема определения мгновений с помощью длительностей была вновь подвергнута рассмотрению Уокером 2 . Уокер сначала занимался логическим анализом континуума фундаментальных частиц, который составляет основу теоретической модели мира, но был вынужден перейти к разработке теории временного порядка, независимой от этого практического приложения. Уокер показал, как можно, опираясь на идею сечения частично упорядоченного множества, определить временное мгновение. Свойства таких множеств ранее были изучены Макнейлом 3 . С точки зрения Уокера, понятие предшествования, имеющее Ёажное значение для установления порядка и связанное с множеством событий или длительностей, должно рассматриваться как частичное, поскольку для любых двух членов группы может случиться так, что один предшествует другому, а может быть, и нет. Если ни один из этих членов не предшествует другому, тогда о каждом из них говорят, что он перекрывает другой. Уокер предположил, что, если а, Ь, с и а есть четыре любые длительности, такие, что а предшествует b, b перекрывает с, а с предшествует d, тогда а предшествует d. Это положение мы назовем постулатом Уокера. В нем подразу* мевается, что существует следующее отношение. Если а предшествует b и b предшествует d, то а предшествует ' d. Тогда мгновение определяется как упорядоченная 1 группа трех классов длительностей (А, В, С), построенных следующим образом. А есть класс всех длительностей а, и В есть класс всех длительностей Ь, так что каждое а предшествует каждому Ь. Класс С есть множество всех длительностей, которые не принадлежат ни к А, ни к В. Эти три класса определяют мгновение, если любой член класса С перекрывается некоторым членом класса А и некоторым членом класса В. Говорят, что мгновение (А, В, С), определенное таким образом, предшествует мгновению (А 1 , В', С'), если класс А' включает класс А, где термин включает означает, что каждый член класса А принадлежит также и к классу А', «о существуют такие члены класса А', которые не являются членами класса А. Если классы Л и Л' являются тождественными, то из этого следует, что В' совпадает с В, а С" с С. В этом случае мы говорим, что мгновение (Л', В', С') одновременно с мгновением (А, В, С).

  • 1 В . R u s s e 11, op cit., p. 363.
  • 2 A. G. Walker, «La Revue Scientifique», № 3266, 1947, J31— 134.
  • 3 H. M. M a on e i 11 e, «Trans. Amer. Math. Soc.», 90, 1937, 416.

Можно доказать, что определенное таким образом множество мгновений упорядоченно, так что: (1) из любых двух мгновений p и q либо q предшествует р, либо p предшествует q, либо p и q одновременны; (2) из любых трех мгновений p, q и г, если p предшествует q, a q предшествует г, то p предшествует г. Для того чтобы прийти к такому выводу, мы должны предварительно доказать теорему, которая гласит: если каждая длительность а класса А предшествует любой длительности Ь класса В и если каждая длительность а' класса А' предшествует каждой длительности Ь' класса В', тогда либо Л и Л' тождественны, либо один включает другой.

Уокер вывел эту предварительную теорему с помощью доказательства абсурдности противоположного утверждения, поскольку если бы эта теорема была неверна, тогда отсюда должно было бы следовать, что существует какая-то длительность а' (принадлежащая к Л), которая не является членом А', а также длительность а' (принадлежащая к А'), которая не является членом Л. Мы покажем, что если бы это было так, то а необходимо перекрывало бы а'. Такой вывод следует из того (и это можно легко показать), что ни одно из них не может предшествовать другому, поскольку если а предшествует а', тогда, так как а' предшествует всякому Ь', отсюда следует основной постулат, согласно которому а должно предшествовать всякому Ь', следовательно, а будет членом А', что находится в противоречии с пред- положением, гласящим, что а не является членом А'. Точно так же мы можем доказать, что а' не может предшествовать а. Следовательно, а и а' должны перекрываться. Теперь мы докажем существование такого члена Ь' в классе В, что она' перекрываются, так как поскольку а' не находится в Л, то существует длительность Ь класса В, которая либо предшествует, либо перекрывается с а'. Однако первое невозможно; так как поскольку а предшествует Ь, то из нашего основного постулата следует, что а должно предшествовать a', a мы только что видели, что это невозможно. Следовательно Ь должно перекрываться а'. Точно так же мы можем дока* зать, что а должно перекрываться с Ь'. Таким образом, мы нашли, что а предшествует Ь, которое перекрывается а', в свою очередь предшествующее Ь'. Следовательно, согласно основному постулату, а должно предшествовать Ь'. Но это противоречит нашему начальному выводу, что а должно перекрываться Ь'. Следовательно, теорема, противоречащая предварительной, является неверной, и, таким образом, мы нашли, что или классы Л и Л' идентичны, или же один из них включает другой.

Сейчас мы можем доказать, что два мгновения p и q являются либо одновременными, либо одно из них предшествует другому, так как, если p = (Л, В, С), a q = — (А', В', С'), тогда из предварительной теоремы следует, что либо А тождественно Л' или же Л' включает А, либо Л включает А'. Следовательно, p либо одновременно с а, либо p предшествует q, либо q предшествует р. Наконец, если p предшествует q и q предшествует г, где г = (А", В", С"), тогда А' включает А, а А" включает Л', следовательно, Л" включает Л; поэтому p предшествует г.

Тот же самый метод можно использовать для доказательства, что множество мгновений, построенное таким образом, является замкнутым в том смысле, что каждая ограниченная монотонная последовательность из множества имеет предел, который является членом группы. Так, рассмотрим бесконечную последователь» ность мгновений.

Можно также показать, что первоначальные длительности соответствуют интервалам упорядоченного мно* жества мгновений, построенных из них. Интервал определяется как множество мгновений, которым либо предшествует данное мгновение р, либо они предшествуют данному мгновению q, либо и то и другое 1 . Говорят, что длительность с, которая принадлежит к классу С, содержит мгновение t, где t = (А, В, С) . Предположим, что длительности с предшествует длительность а, а ей самой — длительность Ъ. Тогда мы можем определить мгновения р и q так, что, если / содержится в с, тогда р предшествует t, a t предшествует q, и обратно, если р предшествует t, a t предшествует q, то отсюда следует, что с содержит в себе t. Эти мгновения определяются следующим образом: р= (Л 4 , bi, С1),где Л\ есть класс дли* тельностей, которые предшествуют с, а В 1 и gi являются классами, соответствующими В и С; q = (А 2 , В 2 , C 2 ) t где В 2 есть класс длительностей, которым предшествует с, а Л 2 и С 2 являются классами, соответствующими А и С. Теперь, если t содержится в с, то отсюда следует; что с является членом С и, следовательно, не является членом В. Однако с является членом о ь и поэтому В должно включать в себя B t , откуда следует, что р должно предшествовать t. Точно так же мы можем дока 1 * зать, что t должно предшествовать д.

  • 1 Это определение содержит в себе утверждение, согласно которому вообще интервалы являются открытыми множествами мгновений, и не содержит утверждения о том, что они все не равны нулю

Наоборот, если р предшествует t, a t предшествует <7, тогда А 2 включает в себя А, А включает в себя А ц bi включает В, a В включает В 2 . Для того чтобы дока' зать, что с содержит в себе t, мы должны показать, что с есть член С. Этот вывод следует в том случае, если мы сможем доказать, что с не принадлежит ни к Л, ни к В. Теперь, если бы с было членом А, тогда с предшествовало бы любой длительности х, входящей в В. Сле« довательно, х был бы членом В 2 , и поэтому B z включало бы В, что противоречит нашему предварительному уело« вию, что В включает В 2 . Поэтому с не может принадлежать к А. Точно так же мы можем доказать, что с не может принадлежать к В. Следовательно, с должно при« надлежать к С и, таким образом, с содержит t.

Хотя этот метод и позволяет нам получить упорядоченное множество мгновений из частично упорядоченного множества длительностей таким образом, что исходные длительности соответствуют интервалам множества мгновений, все же это еще не может дать нам времен" нбй континуум, постулируемый физиками. В самом деле, анализ показывает, что выполняются только условия (1) и (3), приведенные выше, и он совместим с гипотезой о существовании хронона, то есть с гипотезой, гласящей, что каждая конечная длительность содержит конечное целое число мгновений. Этот метод показывает, однако, что, если предполагается, что длительности подчиняются постулату Уокера, тогда можно считать, что они состоят из мгновений, которые образуют одномерную последовательность, удовлетворяющую постулату Деде-кинда.

Поэтому, для того чтобы построить временной конти« нуум, нужно на упорядоченное множество мгновений Т, полученных из ощущаемых на опыте длительностей, наложить дополнительные условия. Мы покажем', что если множество обладает отмеченным выше свойством (2), то есть везде, плотно, то оно также обладает и свойством (4) и, следовательно, изоморфно с континуумом вещественных чисел, что обеспечивается наложением еще одного условия относительно плотности множества часов.

Пусть t 0 будет любое данное мгновение множества Т, которое предшествует какому-то другому мгновению t t . Тогда, согласно условию (2), мы можем выбрать..мгновение tz , которое предшествует t . i и которому предшествует мгновение t 0 . Мы обозначим это следующей формулой: to < t 2 < t \. Точно так же мы можем выбрать мгновение t 3 так, что t u < t 3 < t 2 vi вообще любое мгновение t n , которое является таким, что t Q < t n < t n -\ для всех положительных чисел п. Ссылаясь на наши прежние выводы о замкнутости множества мгновений или, напротив, опираясь на условие (3), мы можем показать, что любая конечная последовательность этого типа должна стремиться к единственному пределу t в множестве Т, в том смысле, что любое мгновение, предшествующее t, также предшествует каждому т„, а любое мгновение, которому предшествует т, также имеет предшественника в виде какого-то t n . Поэтому мы можем подразделить Т на два непустых множества Т\ и Г 2 согласно следующему критерию: любое мгновение t множества Т является элементом T it если оно предшествует каждому t„, и оно является элементом Т 2 , если имеется какое-нибудь мгновение t n , которое предшествует ему. 'Ясно, что каждое мгновение принадлежит либо к ti, либо к T z и что ни одно из этих множеств не является пустым, ибо t 0 является элементом Т^ a ti элементом Tz- Более того, поскольку множество Т упорядочено, то отсюда непосредственно следует, что каждое мгновение множества ti предшествует каждому мгновению множества Т 2 . Поэтому, согласно постулату Дедекинда, существует по крайней мере одно мгновение t, такое, что любое мгновение более раннее, чем t, относится к 7\ и любое мгновение, более позднее, чем т, относится к Т 2 . Однако, поскольку множество Т везде плотно, то отсюда следует, что t должно быть единственным, поскольку если бы имелись два различных мгновения этого типа, то тогда существовало бы промежуточное мгновение, которое принадлежало бы как к Т\, так и к tz, а это невозможно.

  • 1 Нижеследующий анализ был подсказан автору более поздней работой Уокера (A. G. Walker, «Proc. Roy . Soc . Edin.», 62, 1948, 319—335) и работой Робба (A. A. Robb, Geometry of Time and Space, Cambridge, 1936, i>. 103—105).

Теперь мы введем понятие монотонно упорядоченного плотного множества «часов». Во-первых, под «часами» мы понимаем гипотетический «механизм», который, будучи «заведен» в любое данное мгновение х, пробьет в одно более позднее мгновение!/. Функциональное отношение этих двух мгновений мы обозначим у = 6(*). Мы поставим также следующее условие: если xi < х г , то tji < <Уа, и t/2 являются {/-мгновениями, соответствующими лг-мгновениям, x t и х% соответственно. Начиная с любого мгновения t, временная цепь мгновений может быть построена так, что если часы «заведены» в момент t, то они «пробьют» в момент 6(/), если они «заведены» в мгновение 8(/),то «пробьют» в мгновение S{6(0}, и вообще если он» «заведены» в Q p (t), то они «пробьют» в № +t (t), где бР +1 (/) = 6{6 p (/)} Д ля всех положительных целых чисел р. Эту цепь можно экстраполировать в обратном направлении: если часы «бьют» в мгновение t, то они были «заведены» в мгновение б' 1 (t) ; и вообще если они «бьют» в 8~' (t), го это означает, что они были «заведены» в 8~4~ l (t) = = 6~'{8~ 9 (0) для всех положительных целых чисел q. С помощью такого определения «часов» мы постулируем, что цепь мгновений «боя», построенная при помощи заданных часов, начиная с любого данного мгновения t, покрывает ! все мгновения множества Г, в том смысле, что любое другое мгновение t*, принадлежащее к множеству Т, будет либо мгновением этой цепи или же является таким, что может быть найдено любое целое число p (положительное, отрицательное или нуль), так что 1 (/)</*< о" 0).

  • 1 Этот постулат может рассматриваться как аналогия аксиомы Архимеда в геометрии (см. также Евклид, кн. V , опред. 4, а именно: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»). Однако в отличие от аксиомы Архимеда он не содержит никаких ссылок на измерение и конгруэнтность, а только утверждает, что рассматриваемые часы идут все время.

Мы говорим, что множество часов монотонно упорядочено, если порядок «боя» любой пары часов, «заведенных» в одно и то же мгновение х, не зависит от х, то есть если он всегда одинаков. Мы предположим, что имеется плотное множество таких часов, так что для двух любых данных мгновений аир, где а < ?, существует такой член этого множества, что, когда часы «заведены» в мгновение а, он отмечает мгновение, которое предшествует ?. Все вместе эти определения и постулаты определяют монотонно упорядоченное непрерывное множество часов, каждое из которых покрывает множество. Т. По идее, не требуется никаких предположений относительно применяемого «механизма», кроме гипотезы, гласящей, что существуют правила для выделения подмножеств мгновений, составляющих временные цепи с описанными выше свойствами.

Теперь покажем, что в множестве Т содержится линейная система F, которая представляет собой счетное подмножество мгновений — такое, что между любыми двумя мгновениями аир множества Т существует по крайней мере одно мгновение, которое принадлежит к F. Мы начнем с выбора определенной последовательности мгновений А, 4, ..-, t r ..., в которой t r+ i предшествует t r , для /•=1,2, ..., сходящегося к некоторому мгновению т. Мы также выберем из множества часов, введенного выше, подмножество, связанное с функцией в г , так что мгновение «боя» часов б г , которое «заведено» в мгнове* вне т, есть 8 r (t), где и часы бг+1 «бьют» раньше часов 6 Г , несмотря на то, что они были «заведены» в одно и то же мгновение. Мы также выберем другие часы, связанные с функцией 6, так что если они «заведены» в мгновение а, то они «пробьют» в 9 (а).

Подмножество мгновений 8« (t) является счетным, поскольку p и n оба являются целыми числами, a t фиксировано. Мы, следовательно, построили такую линейную систему моментов F, что между любыми двумя мгновениями множества Т существует по крайней мере один член множества F, и F является счетным подмножеством множества Т.

Абстрактный одномерный континуум мгновений математической физики, изоморфный математическому континууму вещественных чисел и, следовательно, геометрическому континууму точек на линии, рассматривается, таким образом, как логическая конструкция, выведенная на основе наблюдений над частично перекрывающимися длительностями. Для построения этого континуума были сделаны следующие предположения:

  • (1) если длительность a предшествует b , a b перекрывается с с, а с предшествует d , то a предшествует d ;
  • (2) множество мгновений Т, полученное путем подбора соответствующего класса длительностей, как это объяснялось ранее, везде плотно;
  • (3) подмножества мгновений могут быть выбраны таким образом, что строится монотонно упорядоченное плотное множество «часов», покрывающих множество Т.

При построении этого линейного континуума математического времени мы пользовались только определениями и постулатами, касающимися понятия порядка, и нам не было никакой необходимости обращаться к каким-либо метрическим понятиям. Хотя было введено понятие «временная цепь», с ним не было связано никакого метрического Понятия периодичности. Следовательно, связь конкретных мгновений с определенными вещественными числами оставалась произвольной.

Подводя итог,- можно сказать, что в нашу задачу входило не установление «реальности» мгновений, а только анализ принципов, лежащих в основе их теоретического построения на основе эмпирических данных сознания и, следовательно, ответ на вопрос, почему для математического времени мы получаем тот же самый арифметический континуум, что и для системы точек, составляющих геометрическую линию. В этом смысле мы стремились «подтвердить» галилеевскую геометризацию времени, хотя континуум не обладающих длительностью мгновений, полученный таким образом, по существу, представляет собой логическую абстракцию.

8. Измерение времени

Сведение перекрывающихся длительностей индивидуального времени к непрерывному ряду бездлительных моментов, изоморфному математическому континууму действительных чисел, не приводит непосредственно к какой-либо системе измерения времени. Поскольку число мгновений в любой конечной длительности бесконечно и здесь имеет мощность континуума, то не существует одной лишь числовой меры времени, выражаемой соответствующим числом мгновений в различных длительностях. По словам Уайтхеда ', длительность имеет «временную толщину» и «сохраняет внутри себя течение природы», тогда как мгновение лишено временной протяженности и представляется поэтому лишенным каких-либо внутренних переходов, временной же переход является следованием мгновений. Подобная проблема возникает при измерении длин вдоль непрерывной линии, составленной из непротяженных точек.

Проблема измерения подробно обсуждалась в средние века, особенно в Оксфордской школе натурфилософов, начиная с Гроссетесте. Эти натурфилософы полагали, что, поскольку попытки пифагорейцев разложить все длины на конечное число минимальных единиц потерпели крах ', любая линия должна рассматриваться как состоящая из бесконечного числа непротяженных точек, и, для того чтобы преодолеть вытекающую отсюда трудность измерения, необходимо ввести^ условные единицы.

  • 1 А . N. Whitehead, The Concept of Nature, Cambridge , 1920, p. 56.

Уолтер Бёрли заметил по этому .поводу следующее: «Относительно этого состояния неопределенности я говорю, что поскольку континуум делим до бесконеч-ности, то в континууме по самой природе, а не только по установлению людей нет никакой первичной и един-' ственной меры» 2 . Комментируя Аристотелево определение времени, согласно которому последнее есть «число движения по отношению к раньше и позже», Гроссетесте утверждает, что с любым измерением всегда связана неизбежная неточность, которая проистекает из природы вещей и делает все человеческие измерения условными 3 . Линейное упорядочение мгновений означает, что мы можем приписать конкретным мгновениям числа так, что отношения «до», «после» и «одновременно с» указываются числовыми отношениями «меньше чем», «больше чем» и «равно». Но даже в том случае, когда мы придерживаемся этих правил, приписывание конкретных чисел конкретным мгновениям является в некотором отношении произвольным. Так, если целые числа n, n + 1 приписываются мгновениям а и ?, где а предшествует ?, то в принципе любое число р, удовлетворяющее неравен-. ству n < p < n + l, может быть приписано любому ,определенному мгновению т, которое позднее а и предшествует ?. Точно так же любое число q, удовлетворяю* 1щее неравенству n < q < p, может быть приписано любо-1му мгновению, которое позже а. и раньше ? и т. д. Чис-|ленные обозначения, приписанные таким образом, только указывают относительное положение в линейно упорядоченных рядах.

  • 1 Как следствие несоизмеримости диагонали и стороны ква-рата.
  • * А . С . С r o m b i e, Robert Grosseteste and the Origins of Expe-nental Science, Oxford , 1953, p. 103.
  • 3 Измерения времени необходимым образом зависят от движе-Ий «приборов», например механических часов, планет и т. д., ^каждый физический объект и наши наблюдения над ним не толь-и несовершенны; даже в лучшем случае они подвержены случай-" статистическим флуктуациям. Гармонический анализ «простей-модели» статистических флуктуации времени недавно был пред-••" Н. Винером и А. Уинтнером (« Nature », 181, 1958, 561—562).

Хорошей иллюстрацией такого типа процедуры является шкала Мооеа, которой пользуются минерологи. «Тверже чем» есть, подобно временному предшествованию, транзитивное асимметричное отношение. Говорят, что один минерал тверже другого, если первым можно нанести царапину на втором. Шкала Мооса основывается на следующих предположениях: если А нанесет царапину на В, а В — на С, тогда А нанесет царапину на С; если А нанесет царапину на В, то В не нанесет царапину на А; любое тело, которое не нанесет царапину на А и на которое не нанесет царапину А, будет наносить царапины на все те тела, на которые они наносятся А 'и будет получать царапины от всех тех тел, которые наносят царапины на Л. В силу этих свойств конечное число минералов может быть расположено в порядке их твердости: наиболее мягкому может быть приписано число 1, следующему менее мягкому число 2 и т. д. Так, твердость алмаза представлена числом 10, а твердость рубина числом 9. Эта шкала является произвольной в том смысле, что, если А тверже В, а В представлено, скажем, числом 9, тогда А может быть равным образом представлено как числом 10, так и 11 и 100 или миллионом, и при этом сохраняется установленный относительный порядок нумерации всех минералов.

Следовательно, шкала Мооса является чисто порядковой шкалой, а не шкалой измерений. Никакие числовые операции над цифрами этой шкалы не имеют значения. Поэтому" различие между цифрами, приписываемыми алмазу и рубину, ничего не говорят нам о «степени», в которой первый тверже последнего. Точно так же описанный выше метод приписывания порядковых чисел мгновением ничего не говорит нам о длительностях, разделяющих различные мгновения, то есть о протяженности, на которую одно из них предшествует другой или следует за ней. Это метод только датирования, а не измерения времени, подобно шкале Мооса, он является качественным, а не количественным.

При переходе к проблеме измерения времени мы могли бы ожидать, что основным принципом измерения должен быть следующий: мера, приписываемая длительности, составленной из любых двух последовательных длительностей, должна быть равна арифметической сумме х + у соответствующих мер х и у обоих слагаемых длительностей. На практике этот принцип выпол* няется, однако его нельзя рассматривать как автоматически применимый ко всем формам измерения (эйнштейновский закон сложения параллельных скоростей в теории относительности является хорошо известным исключением). Отсюда следует, что в фундаментальном теоретическом анализе мы обязаны подойти к этому вопросу с более общей точки зрения.

Поэтому мы начнем с предположения, что если для измерения длительностей мы с успехом применяем числа, то сложение временных величин должно удовлетворять требованиям как коммутативности, так и ассоциативности. Иными словами, предположим, что «сумма» последовательных длительностей х и у является той же самой, что и сумма у и х, и что любая длительность, составленная из трех последовательных длительностей х, у и z, имеет одну и ту же меру, безотносительно к тому, «прибавляется» ли z к временной «сумме» х и у или же временная «сумма» у и z прибавляется к х. Обозначая временную «сумму» х и у однозначной функцией f(x, у), мы, следовательно, требуем, чтобы /{/(л;, у), z} была бы симметрична по отношению к х, у и г. Написав b v (x) для f(x, у) и Ъ$у(х)} для f[f(x, у), z}, мы получаем, что то есть функциональные операторы Ь у и 8 Z коммутативны. Поскольку х и у могут принимать все значения континуума, можно показать ', что если аддитивная функция является дифференцируемой, то ее следует записать в следующей форме:

f ( x , у) = 9 у (х) = <р~' {ср (х) -+- а (у)},

где Ф есть монотонный функциональный оператор, который не зависит от х и у.

  • 1 Относительно решения проблемы коммутативности функциональных операторов см. G. J. W h i t r o w, «Quart. J. Math.» (Oxford), Series l, 6, 1935, 249—260. В этом же журнале в 1946 году опубликованы статьи Уокера и других авторов на эту тему.

Следовательно, если w есть мера длительности, кото* рая представляет собой временную сумму двух длительностей, измеряемых с помощью х и у соответственно, то

M = <?(*) + ? (у)- 0)

Общие условия, согласно которым сложение временных отрезков должно удовлетворять требованиям как коммутативности, так и ассоциативности, означают, следовательно, что в некоторой монотонной функции Ф меры х и у двух последовательных длительностей, на которые может быть разложена длительность, обладающая мерой w , должны подчиняться уравнению (1). Отсюда следует очень важный вывод, что если первоначально выбранная шкала не является аддитивной с точки зрения арифметики, то она может быть «отображена» на другую шкалу, которая является таковой. Для этого требуется только новая шкала временных измерений, символически представленная х ->• X , где Х — <р(х). Тогда, если У и W обозначают новые меры, приписываемые длительностям у и w согласно первой шкале, то ясно, что W = X + Y. Следовательно, любой метод приписывания измерений длительностям, которые подчиняются коммутативному и ассоциативному законам сложения, может быть в принципе в конечном счете применен для получения величин, которые подчиняются обычному закону арифметического сложения. Более того, поскольку уравнению f ( X -f У) = f(X) + + f (У) удовлетворяет единственная непрерывная функция f(X) = КХ, где А, не зависит от X , то отсюда следует, что любая шкала измерений является единственной, с точностью до некоторой произвольной мультипликативной константы.

Эти результаты можно проиллюстрировать на следующем примере. Предположим, что мы хотим построить шкалу времени ab initio путем подсчета числа атомов радиоактивного элемента, распадающихся в различные интервалы времени. Предположим, что в некоторый момент мы знаем 1 общее число этих атомов в данном источнике, который не содержит никаких других радиоактивных элементов. Предположим также, что мы можем зафиксировать распад каждого из этих атомов и определить тем самым общее число атомов, остающихся в любое мгновение и число распадающихся атомов за любой интервал.

  • 1 Нас интересует здесь чисто теоретическая сторона, а не практическая осуществимость рассматриваемого метода.

Если в начале индивидуальной длительности общее число атомов исходного элемента есть п 0 , а число распадающихся в течение этой длительности есть 8ло. то мы можем принять долю распадающихся атомов Ъп 0 /п 0 за меру х этой длительности. Если в течение непосредственно следующей за ней длительности число распадающихся атомов есть 5я ь тогда мы на, основании того же правила установили бы меру этой длительности у — bni/ni, где п\ = п а — Ьп 0 . Однако для общей длительности, составленной из этих двух, следовало бы установить меру w = (8п 0 + ЬП[)/п 0 . Ясно, что w было бы меньше арифметической суммы х и у. В самом деле, непосредственно из простейших алгебраических соображений следует, что

w — x-\-y — ху . (2)

Это приводит к закону сложения, который удовлетворяет требованиям как коммутативности, так и ассоциативности, причем «сумма» трех длительностей х, у и г выражается следующей формулой:

x-\-y~{-z — ху — у z — zx-\- xyz

и т. д. Закон (2) легко можно свести к форме (1), учитывая, что 1 — w = (1 — л:)(1 — у) и, следовательно,

Если мы выберем новую шкалу мер, заданную следующей формулой '

X=\ ogr L-, (3)

то мы получим закон сложения W = X + Y.

Из формулы (3) мы видим, что X = log(ftoMi). Следовательно, если t обозначает новую шкалу времени и / берется равным нулю, когда п, число атомов исходного элемента, было равно п 0 , то отсюда следует, что л == пав-*. С более общей точки зрения.

  • 1 Мы выбираем величину, обратную 1 — х и т. Д., для того чтобы обеспечить монотонное возрастание X и т. д,

Это уравнение по своей форме тождественно с хорошо известным законом радиоактивного распада Резерфорда — Содди. Поэтому с эмпирической' точки зрения содержание этого закона сводится к следующим высказываниям:

  • (1) шкала t, определяемая им, совпадает в рамках пределов точности эксперимента с равномерным временем физики, определяемым другими способами, например с помощью астрономических наблюдений;
  • (2) с данным выбором единицы времени значение X является одним и тем же для всех количеств данного радиоактивного элемента и не зависит от температуры, давления и т. д.

Наше предпочтение закона простого арифметического сложения временных интервалов обусловлено следующим критерием. Вообще, как правило, физические законы формулируются так, чтобы они не зависели от индивидуальных времен совершения событий, к которым они применяются, хотя проведенный нами выше анализ преднамеренно строился на более общих соображениях. Поэтому считается, что значение имеют только различия между временами событий, а не сами времена как таковые. Измерение времени зависит от представления о стандартном интервале времени, или периода, подобно представлению о стандартной единице длины. На практике различные единицы выбираются в зависимости от величины рассматриваемых временных интервалов. Последние измеряются с помощью умножения на число единичных периодов и поэтому автоматически подчиняются закону арифметического сложения.

Завершая нашу оценку этих теоретических соображений, хотелось бы обратить внимание на их практическое значение. Это наглядно иллюстрируется той ролью, которую в истории измерения времени играют механические часы. Решающее значение этого изобретения состоит не столько в их точности, как бы в конечном счете ни было велико ее значение, сколько в том, что оно основано на периодических, а не на непрерывных процессах в противоположность солнечным, водяным и песочным часам древности. Эта зависимость от механического движения, которое повторяется вновь и вновь, приводит к более точному понятию единицы времени, аналогичной единице длины '. Современная хронометрия ведет свое начало от открытия Галилеем естественного периодического процесса — качания маятника, который было удобно соединить с часовым механизмом для механического регулирования числа колебаний. Маятниковые часы были первым удовлетворительным механизмом для равномерного деления физического времени.

История установления окончательного естественного стандарта времени во всех отношениях связана с астрономическими наблюдениями. Час, минута и секунда долгое время определялись как части периода одного оборота Земли вокруг своей оси. Однако несколько лет назад в связи с возрастанием требований к измерениям высокой степени- точности незначительные нерегулярности в скорости вращения Земли вынудили астрономов ввести более точную единицу времени, основанную на обращении Земли вокруг Солнца. Тем не менее все еще чувствуется потребность в естественной единице времени более фундаментальной, нежели любые из тех, которые могут быть выведены из астрономических наблюдений. Такая единица задается частотой конкретной линии атомного спектра. Оптические линии здесь непригодны, поскольку мы можем измерять только длины их волн. Однако открытие спектральных линий в радиоволновом диапазоне спектра излучения привело д-ра Л. Эссена из Национальной физической лаборатории .к изобретению в период между 1955 и 1957 годами нового метода измерения времени, отличающегося удивительной точностью. В его часах магнитное поле, порождаемое переменным электрическим током, синхронизировано с некоторыми конкретными колебаниями атомов цезия. Эти атомы имеют по одному электрону на своих внешних оболочках, и взаимодействие между этим электроном и ядром порождает точно определенную линию в радиоволновом диапазоне (около 9200 мегагерц), соответстбующую длине волны около трех сантиметров. Таким образом может быть получена фундаментальная шкала времени, которая совершенно не зависит от астрономического определения времени и является гораздо более точной. Ее точность составляет 1 : 10 10 , что соответствует точности механических часов, которые отставали бы или уходили бы вперед на 1 секунду за 300 лет'.

  • 1 Зависимость временных измерений от чисто естественной основы долго задерживала создание удовлетворительных часов. «Час времени» античности был одной двенадцатой частью дня от восхода до захода солнца и, таким образом, изменялся в течение всего года. Необходимость определить час времени повлекла за собою большую сложность античных водяных часов. Несмотря на все попытки астрономов древности ввести час, обладающий постоянной величиной, их предложения вообще не принимались до тех пор, пока в середине XIV столетия не появились механические часы с боем. Изобретение часового механизма, то есть принципа регулировки хода часов, как теперь полагают, было сделано китайцами (J. Nee rill a m, et. al, Heavenly Clockwork , Cambridge, 1960).
  • 1 Недавно Р. Л. Мёссбауэр («Z. Physik», _151, 1958, 124) показал, что в некоторых твердых телах процесс т-излучения происходит таким образом, что индивидуальные ядра не испытывают отдачи и импульс отдачи передается всей кристаллической решетке в целом. Исключительно четкая спектральная линия, полученная таким образом, открывает возможности для создания нового типа «ядерных часов>, более точных, чем какие-либо «атомные часы».
СодержаниеДальше

наверх страницынаверх страницы на верх страницы









Заказать работу



© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования