В библиотеке

Книги2 383
Статьи2 537
Новые поступления0
Весь каталог4 920

Рекомендуем прочитать

Аверьянов Л. Я.В поисках своей идеи. Часть первая
Автор рассматривает социологические проблемы вопроса, делится размышлениями о предмете социологии, анализирует факт как философское понятие и его интерпретацию, исследует процесс социализации. Надеюсь особый интерес вызовет статься «Как выйти замуж». Рассчитана на массового читателя и специалистов.

Полезный совет

Поиск в библиотеке можно осуществлять по слову (словосочетанию), имеющемуся в названии, тексте работы; по автору или по полному названию произведения.

Алфавитный каталог
по названию произведения
по фамилии автора
 

АвторМазур М.
НазваниеКачественная теория информации
Год издания1974
РазделКниги
Рейтинг0.21 из 10.00
Zip архивскачать (869 Кб)
  Поиск по произведению

Глава 2
Управление

В соответствии с постулатом, выдвинутым в гл. 1, следовало бы начать обсуждение с анализа самого явления и лишь после уяснения основных понятий присвоить им наименования, причем, если бы одно из понятий было названо «информацией», это следовало бы понимать как некоторое терминологическое соглашение, подобно тому как это было с термином «количество информации».

Однако до этого необходимо очертить границы подлежащих анализу явлений, т. е., иначе говоря, определить предмет исследования.

Было бы нелогично считать предметом исследований явления, в которых определенную роль играет информация, ибо это означало бы, что уже в начале исследования выражению «информация» приписывается какое-тр значение, хотя целью самого исследования является как раз определение этого термина в духе принятого терминологического соглашения и в соответствии с результатами проведенного анализа.

Теоретически можно было бы избежать этих трудностей, занявшись изучением всей совокупности явлений. Практически, однако, удобнее ограничиться охватом достаточно большого их круга, о котором известно, что он среди прочего включает в себя все то, что различными людьми называется «информацией». Нетрудно заметить, что при этом речь всегда идет о ситуации, в которой задача состоит в достижении какой-то определенной цели, т. е. в общем случае о ситуации управления; следовательно, мы имеем здесь дело с кибернетической проблематикой.

Итак, не интересуясь значениями, в которых обычно употребляется выражение «информация», мы предлагаем считать за предмет нашего исследования явления, на которых основывается управление, и рассмотреть их с .кибернетической точки зрения.

Чтобы рассуждения на столь общую тему приобрели теоретический характер, надо абстрагироваться в них от любых конкретных областей, даже таких, для которых понятие «информация» является одним из основных, как, например, телекоммуникация, психология, языкознание и т. п.

Такой подход мы намерены применить ко всем понятиям, анализируемым в последующих главах книги. Ссылки на конкретные случаи будут носить скорее характер иллюстративных примеров, поясняющих изучаемые понятия, а не доказательств излагаемой ниже теории.

Для обсуждения проблем управления важное значение имеют следующие понятия.

Определение 2.1 тема, в которой желаемые действием другой системы.

Определение 2. 2. Управляющая система — система, воздействие которой приводит к желаемому изменению в другой системе.

Определение 2[. 3. Цепь управления — система, через которую одна система воздействует на другую.

Определение 2. 4. Контур управления — контур с обратной связью, состоящий из управляющей системы, управляемой системы и цепей управления.

Определение 2. 5. Процесс управления — процесс, складывающийся из явлений в контуре управления.

Мы привели здесь указанные определения лишь для того, чтобы напомнить читателям основные кибернетические понятия, которые потребуются нам в последующих разделах. Поскольку предметом данной книги не является изложение основ кибернетики, такие понятия, как система, вход, выход, воздействие и т. д., мы здесь определять не будем, предполагая, что они известны читателям.

В контуре управления (фиг. 2.1) нельзя без дополнительных определений указать, какая система является управляемой, а какая управляющей, и даже то, какие системы являются цепями управления. Эта неопределенность исчезает, когда контур управления, например система В —С— А — D , соединен с какой-либо внешней системой К (фиг. 2.2).

Если воздействие системы Е на систему B C A D основано на том, что система Е воздействует на систему А, а воздействие системы В—С—А D на систему Е состоит в воздействии системы В на Е, то в этом случае система А является управляющей системой, система В — управляемой, а системы С и Л цепями управления.

В качестве примера можно привести промышленную электрическую печь, снабженную двухуровневым регулятором температуры. Как известно, взаимодействие печи и регулятора основано на том, что, как только температура в печи превышает некоторый уровень, регулятор прерывает подачу электрической энергии к печи, а когда температура печи понижается до заданного уровня, регулятор возобновляет подачу электрической энергии к печи. В этом примере имеет место как воздействие регулятора напечь, так и воздействие печи на регулятор. Однако, кроме системы, состоящей из печи и регулятора, имеется также внешняя система в виде потребителя (пользователя), который настраивает регулятор так, чтобы в печи поддерживалась заданная температура.

С точки зрения потребителя регулятор является управляющей, а печь — управляемой системой. Очевидно, что их роли изменились бы, если потребитель воздействовал бы на печь с целью достижения заданного действия регулятора (например, как вибратора).

Мы видим, что благодаря свойствам внешней системы Е, соединенной с заданной системой в контур управления, включающий управляющую систему Л и управляемую сис- стему В, возникает различие между ожидаемыми (желаемыми, требуемыми) изменениями (в управляемой системе) и изменениями (в управляющей системе), служащими для достижения требуемых изменений (в управляемой системе).

В примере с печью это различие становится еще более ясным, если принять во внимание, что потребителя вполне удовлетворила бы печь сама по себе, если бы она могла выполнять свои функции без регулятора, но его не удовлетворил бы регулятор, даже если бы он мог работать без печи. Для потребителя желаемым является результат функционирования печи, а регулятор служит лишь для достижения того или иного результата работы печи,

Слово «желаемый» в определениях 2.1 и 2.2 применено -не в значении, позволяющем предположить, что управление неотделимо от психики, поскольку ведь по традиции считалось, что только человек является существом, способным иметь намерения, хотеть, ставить себе цели и т. п. С кибернетической точки зрения безразлично, что конкретно представляет собой система, вызывающая определенные изменения в другой системе. На тот аргумент, что установка регулятора все равно производится человеком и даже если регулятор настраивается вычислительной машиной, то для программирования машины опять-таки требуется человек, и т.д., и что, следовательно, даже в случае самых сложных систем в конце цепи все же можно обнаружить человека, — на все это можно ответить, что такая аргументация не имеет отношения к делу, поскольку она касается вопроса о замещении живых организмов машиной, а не теоретических проблем управления. Независимо от этого надо иметь в виду, что системой, вызывающей желаемые изменения, может быть не только человек или система, снабженная источником мотивации; такими системами могут быть не только люди, но и любые организмы, а также и машины [13, 14].

Если систему В —С— А D просто трактовать как систему, сопряженную с системой Е, то получится объединение двух систем, которое можно рассматривать как самостоятельную систему и искать ее сопряжение с некоторой внешней по отношению к ней системой и т. д.

Поскольку образованное на каждом новом шаге сопряжение данной системы с внешней системой не вносит ничего нового для исследования управления, можно ограничиться рассмотрением простейшего случая, когда имеется только один контур управления (фиг. 2.3), состоящий из управляющей системы А, управляемой системы В и цепей управления Си/). Можно утверждать, что цепь управления С начинается на выходе управляемой системы В и оканчивается на входе управляющей системы А, а цепь управления D начинается на выходе управляющей системы А и оканчивается на входе управляемой системы В.

При такой постановке вопроса процесс управления можно рассматривать как последовательность изменений: изменение на выходе управляемой системы В, изменение на входе управляющей системы А, изменение на выходе управляющей системы А, изменение на входе управляемой системы В, изменение на выходе управляемой системы В и т. д.

Проблема управления всегда сводится к поиску ответа на вопрос, какой процесс должен происходить между входом и выходом управляющей системы А, чтобы произошел заданный процесс между входом и выходом управляемой системы В.

В связи с этим поведение управляющей системы должно зависеть от изменений, происходящих на выходе управляемой системы. В действительности же, однако, оно зависит от изменений на входе управляющей системы. Различие между этими двумя поведениями управляющей системы обусловлено наличием цепи управления, через которую осуществляется воздействие управляемой системы на управляющую. То же относится к воздействию управляющей системы на управляемую.

Возникает вопрос, какое влияние оказывает цепь управления на процесс управления и от чего это влияние зависит. Выяснению этого вопроса посвящены следующие главы книги.

Глава 3
Сообщение

Обе цепи управления простейшего контура управления (фиг. 2.3) имеют ту характерную особенность, что в каждой из них осуществляется воздействие одного ее элемента на другой: в цепи управления С управляемая система воздействует на управляющую систему, в цепи управления D управляющая система воздействует на управляемую. Поэтому в общем случае можно ограничиться изучением только , одной цепи управления.

Определение 3.1. Источник воздействия — система, воздействующая на другую систему контура управления.

Определение 3. 2. Приемник воздействия — си стема, на которую воздействует другая система контура управления. *

Из этих определений следует, что цепь управления начинается на выходе источника воздействия и оканчивается на входе приемника воздействия (фиг 3.1).

В контуре управления (см. фиг. 2.3) для цепи управления С источником воздействия является управляемая система В, а приемником воздействия — управляющая система Л, в то время как для цепи управления D источником воздействия является управляющая система Л, а приемником — управляемая система В.

Чтобы изменения на выходе источника воздействия привели к изменениям на входе приемника воздействия, некоторый физический процесс должен начинаться на выходе источника воздействия к оканчиваться на входе приемника воздействия. Кроме того, нужно иметь в виду, что физический процесс в цепи управления складывается из определенного числа физических состояний.

Всякое физическое состояние можно рассматривать с чвух точек зрения: с энергоматериальной, т. е. как состояние, описываемое количеством энергии и массы (количеством вещества), и со структурной, т. е. как состояние, описываемое распределением энергии и вещества в пространстве и времени.

Если система управления должна выполнять определенную работу, требуемый для этого физический процесс должен быть основан на использовании определенного количества энергии и вещества, или на энергоматериальных изменениях.

Однако в процессе управления, помимо этого, всегда происходят структурные изменения в управляющей системе, обеспечивающие требуемые изменения в управляемой системе. Благодаря этим изменениям и осуществляется рабочий процесс.

Например, рабочий процесс промышленной печи основывается на потреблении заданного количества энергии, в то время как работа регулятора температуры основана на изменениях структуры, обеспечивающих протекание указанного рабочего процесса.

В рабочем процессе, основанном на энергоматериальных изменениях, существенным является наличие сил, изме- I няющих определенное физическое состояние. В процессе I же управления, основанном на-структурных изменениях, важно существование различий между определенными физическими состояниями.

Определение 3. 3. Сообщение (коммуникат) — физическое состояние, определенным образом отличающееся ->т других физических состояний в цепи управления.

Теперь можно сказать, что воздействие в цепи управления состоит из определенного числа сообщений. При рассмотрении воздействий в определенной цепи управления это число зависит от детальности различения физических состояний, представленных сообщениями; в общем же случае оно зависит от того, сколько таких состояний разли

чается в каждом месте цепи управления и сколько таких мест учитывается.

Определение 3. 4. Поперечное множество сообщений — множество сообщений в произвольном месте цепи управления.

Определение 3. 5. Продольное множество сообщений — множество сообщений, возникших из других сообщений либо из которых возникли другие сообщения, причем каждое из сообщений этого множества принадлежит различным поперечным множествам сообщений,

Что следует считать выходом источника воздействия, а что входом приемника воздействия, зависит от договоренности.

Определение 3. 6. Оригинал — сообщение из поперечного множества сообщений на выходе источника воздействия.

Определение 3. 7. Образ — сообщение из поперечного множества сообщений на входе приемника воздействия.

Определение 3. 8. Промежуточное сообщение (ин- теркоммуни.кат) — сообщение из поперечного множества сообщений, находящееся между выходом источника и входом приемника воздействия.

На фиг. 3.2. представлен канал управления с тремя поперечными множествами сообщений X , У, Z (фиг. 3.1), причем каждое множество состоит из трех сообщений;

Множество Множество промежу- ., л

ориф.алов точных сообцений Множество образов

'1 У\ г 1

Hi г 2

-^з Уз г з

В том же канале управления легко выделить и три продольных множества сообщений, каждое из которых состоит из трех сообщений:

1-е продольное множество сообщений ...................... ................ x t , y lt г^,

2-е » » » х 2 , у?, г 2 ;

3-е » » » х 3 , уз, г я .

Используя введенную терминологию, можно определить воздействие в цепи управления как преобразование оригиналов в образы с помощью промежуточных сообщений (если возникает необходимость в использовании промежуточных сообщений).

Например, каждое измерение является процессом, в котором значение измеряемой величины — оригинал, а результат измерения — образ. Иллюстрацией преобразования оригиналов в образы могут служить также следующие примеры.

Паровой двигатель (управляемая система), снабженный центробежным регулятором (управляющая система), вращает трансмиссионный вал (выход) с требуемой скоростью ^вращения (оригинал). Работа двигателя приводит к тому, | ito ось (вход) регулятора вращается с необходимой ско-" )остью (образ). Под действием центробежных сил рычаг (выход) регулятора занимает определенное положение (оригинал), в результате чего на вход двигателя поступает шределенное количество пара (образ).

Водитель (управляющая система) выполняет руками [выход) определенные движения (оригинал) для изменения юложения (образ) руля (вход) автомобиля (управляемая система). Колеса (выход) автомобиля принимают определенное положение (оригинал) относительно дороги. Наблюдение (образ) этого положения с помощью органа зрения (вход) оказывает воздействие на дальнейшее движение рук водителя и т. д.

Поданный текст телеграммы (оригинал) последовательно превращается в механические импульсы (промежуточные сообщения) передающего телеграфного аппарата, электрические импульсы (промежуточные сообщения) телеграфной линии, механические импульсы (промежуточные сообщения) приемного телеграфного аппарата и, наконец, в принятый текст телеграммы (образ).

Французско-английский словарь содержит французские слова (оригиналы) и соответствующие им английские слова (образы). Англо-французский словарь содержит английские слова (оригиналы) и соответствующие им французские слова (образы).

По донесениям разведчика (оригиналы) составляются шифрованные тексты (промежуточные сообщения), которые пересылаются в центр, где после дешифровки снова превращаются в словесные тексты (образы).

Географическая карта (множество образов) является отображением местности (множество оригиналов).

В некоторых случаях, когда выход одной системы является входом другой, одно и то же множество сообщений является одновременно как множеством оригиналов, так и множеством образов.

Например, отданный начальником приказ (оригинал) у исполнителя становится полученным приказом (образ). Рапорт, посланный исполнителем (оригинал), становится у начальника принятым рапортом (образ).

Сообщения такого рода могут поступать либо одновременно, либо последовательно.

Если сообщениями являются значения какой-либо физической величины, то множеством сообщений могут быть как значения этой величины в разных местах в один и тот же момент времени (например, значения температуры), так и значения этой величины в разные моменты времени в одном и том же месте (например, изменения температуры).

Привычка трактовать физические процессы как причинно-следственные зависимости может привести к мнению, что в процессах управления физическое состояние на выходе управляемой системы должно предшествовать по времени состоянию на входе управляющей системы, т. е. что образ может быть получен только после оригинала. Такая последовательность не является обязательной для процессов управления. С таким же успехом оригиналы и образы могут получаться и одновременно, а иногда образы могут быть получены раньше оригиналов. Это становится понятным, если учесть, что приемник воздействий реагирует на оригиналы опосредованно — через образы, в результате чего при определенных образах эта реакция не зависит от того, какие оригиналы и когда получены: до образов, одновременно с образами или даже позже образов.

В связи с этим может быть три случая.

Управление может осуществляться на основе прошлых событий — случай, когда оригиналы предшествуют образам.

Иллюстрацией этого случая может служить получение письма (образ), содержащего описание какого-либо события (оригинал), появление сигнала (образ) о происшедшем повреждении (оригинал) и т. п.

Здесь же можно привести примеры, в которых оригиналы существовали задолго до появления образов; старинные постройки (оригиналы) и их нынешние развалины (образы), вымершие экземпляры животных и растений (оригиналы) и их современные окаменелые останки (образы).

Управление может также осуществляться на основе диагноза — случай, когда оригиналы получаются одновременно с образами.

Примерами такой одновременности могут служить температура пламени (оригинал) и его яркость (образ), местность (множество оригиналов) и карта этой местности (множество образов), книга на определенном языке (множество оригиналов) и ее перевод на другой язык (множество образов) и т. п.

Наконец, управление" может осуществляться и на основе прогноза — случай, когда оригиналы появляются позже образов.

В качестве примеров случая, когда оригиналы получаются после образов, можно привести предсказание затмения Солнца (оригинал) и расположение небесных тел в момент предсказания (образ), температуру остывающего тела в будущем (оригинал) и его температуру в данный момент (образ) и т. п.

В свете изложенного выше становится ясным, что в цепях управления воздействие не всегда направлено от ранее полученных к позже полученным множествам сообщений, но всегда от множеств сообщений, менее доступных для системы, на которую воздействует другая система, к более доступным для нее множествам сообщений.

Сообщением может быть все, что в какой-то мере можно отличить от чего-то другого в процессе управления.Например, сообщением могут служить: значение измеряемой величины, отличающееся от других значений этой же величины; 11вет, отличающийся от других цветов; положение какой-либо точки, отличающееся от положений других точек; буква, отличающаяся от других букв; слово, отличающееся от других слов; звук, отличающийся от других звуков; нота, отличающаяся от других нот; дорожный знак, отличающийся от других дорожных знаков.

При этом, конечно, не обязательно, чтобы сообщения, принадлежащие одному и тому же множеству, были одного и того же рода.

Например, сообщением могут служить: зеленый цвет в отличие от числа 517; лимон в отличие от слова «окно»; запах фиалки в отличие от часов и т. п.

Читателю может показаться, что такого рода множества сообщений редко используются на практике. Однако они встречаются довольно часто в разведывательной практике; так, например, газета в руке может означать «не подходи ко мне, за мной следят», а снятая шляпа — «все в порядке, можем разговаривать».

С практической точки зрения следует различать «активные сообщения» (явления), которые существуют до тех пор, пока поступает энергия, и могут создавать в цепи управления последующие сообщения, и «пассивные сообщения» (следы явлений), которые существуют без притока энергии, но сами не могут создавать новые сообщения.

Если в процессе управления благодаря энергии, поступающей от источника воздействий, получилась последовательность множеств активных промежуточных сообщений, которая после прекращения поступления энергии от источника воздействий заканчивается множеством пассивных промежуточных сообщений, то это множество для получения множества образов должно быть преобразовано в множество-активных промежуточных сообщений. Для этого, кроме поступления энергии от источника воздействий, необходим также приток энергии от приемника воздействий

При этом, однако, следует иметь в виду, что если параметры энергии приемника воздействий отличаются от параметров энергии, поступающей от источника воздействий, то при преобразовании пассивных сообщений в активные может произойти искажение сообщений.

Искажение сообщений может получиться также и в процессе управления, основанном исключительно на преобразованиях активных сообщений, если какое-то множество активных промежуточных сообщений претерпело усиление от притока энергии из приемника воздействий.

В свете сказанного процессы управления можно разделить на два вида.

Первый вид процессов управления основан на том, что все множества сообщений (множества оригиналов, промежуточных сообщений и образов) являются множествами активны:; сообщений.

В качестве примера можно привести процессы управления, в которых измерения основываются на показаниях обычных стрелочных приборов. Положения стрелки измерительного прибора образуют множество активных промежуточных сообщений, полученных из активных оригиналов, каковыми являются значения измеряемой величины. Движение стрелки измерительного прибора происходит благодаря энергии источника воздействий и может быть использовано в процессе дальнейшего управления, например для включения реле, но только пока производятся измерения.

Другой вид процессов управления основан па том, что по меньшей мере одно множество сообщений является множеством пассивных сообщений. Дальнейший процесс управления возможен только если под влиянием дополнительной энергии от приемника воздействий пассивные сообщения будут преобразованы в активные.

В качестве примера можно привести процессы управления, в которых измерения осуществляются с помощью регистрирующих измерительных приборов. Полученные при этом показания измерительных приборов образуют множество пассивных сообщений, сохраняющихся даже после окончания измерений. Эти результаты измерений могут быть использованы в дальнейшем процессе управления, но для превращения их в активные сообщения необходим приток дополнительной энергии от приемника воздействий.

Точно так же звуки, записываемые на магнитную ленту, являются активными сообщениями. В результате их преобразования в магнитофоне они становятся пассивными сообщениями и могут продолжать существовать даже после окончания звучания. Для преобразования этих пассивных сообщений в активные (звуки) необходима энергия, чтобы привести в движение магнитную ленту. Если скорость протяжки при записи была равномерной, а при воспроизведении неравномерна, то звуки, полученные при воспроизведении, будут отличаться от звуков в момент записи.

Примерами такого рода управления могут служить также процессы, в которых используется запись на телеграфной ленте, граммофонных пластинках, фототелеграммах и т.п.

Важно заметить, что до недавнего времени использовать пассивные сообщения было возможно только в процессах управления, предполагающих участие человека как единственного звена, способного читать разного рода записи, т. е. преобразовывать пассивные сообщения в активные. Поэтому первоначально в автоматических системах управления использовались исключительно активные сообщения, и лишь с развитием элементов памяти, особенно в связи с использованием электронных вычислительных машин, удалось избавиться от этого ограничения.

Глава 4
Преобразование

Рассматривая произвольное множество элементов, можно выделить две группы понятий: 1) элементы множества и 2) связи между элементами множества. Такая классификация является полной в том смысле, что, кроме названных двух групп понятий, возможны только понятия, производные от них.

В соответствии с этим, интерпретируя процесс управления как множество физических состояний или, согласно определению 3.3, как множество сообщений, можно выделить две группы понятий: 1) сообщения и 2) связи между сообщениями.

О сообщениях мы уже говорили в гл. 3. Теперь остается обсудить связи между сообщениями.

При первом подходе к этой теме возникает мысль использовать аппарат и понятия теории отношений. Однако в связи со спецификой проблематики настоящей работы такой подход потребовал бы введения известных ограничений, изменений и дополнений, что в свою очередь вызвало бы необходимость в обширных разъяснениях и предостережениях. Поэтому мы постараемся обойтись без ссылок на теорию отношений и вообще не будем пользоваться термином «отношение». Для изучения последующих разделов читателю будет достаточно уже приведенных сведений.

При дальнейшем обсуждении мы будем опираться на следующие понятия.

Определение 4. 1. Ассоциация сообщений — неупорядоченная пара сообщений, взятых из продольного или поперечного множества сообщений в процессе управления.

Определение" 4. 2. Преобразование (трансформация) ¦— процесс, в результате которого одно из сообщений ассоциации превращается в другое сообщение той же ассоциации.

Преобразование описывает связь между сообщениями в ассоциации.

Например, в формулировках «умножение а на k дает в результате Ъъ или «Ь в k раз больше а» речь идет об одном и том же преобразовании.

Преобразование мы будем обозначать буквой Т.

Для каждой ассоциации существуют две пары упорядоченных сообщений, в связи с чем возникает проблема различения преобразований для каждой из этих пар сообщений.

Определение 4.3. Первичное сообщение — сообщение, подвергаемое преобразованию.

Определение 4. 4. Вторичное сообщение — сообщение, полученное в результате преобразования.

Например, если в ассоциации имеются сообщения а и Ь, то следует различать преобразование а в Ь от преобразо вания b в а, В преобразовании Т это будет учтено при по мощи индексов, первый из которых будет относиться к первичному, а второй ко вторичному сообщению. В соответ ствии с этим преобразование сообщения а в сообщение Ь запишется в виде Т аЬ , в то время как преобразование со общения Ь в сообщение а в виде T ba . fc

В случае когда возникает необходимость отметить и сами сообщения данной ассоциации, символ преобразования будет помещаться между символами сообщений, причем на первом месте будет указываться первичное сообщение, затем преобразование и наконец вторичное сообщение. Например:

. аТ вЬ Ь, ЬТ Ьа а, что читается так: «преобразование Т аЬ сообщения а в сообщение 6» или «преобразование Т аЬ сообщения а дает в результате сообщение 6» и т. п.

В качестве эквивалентной записи будет использоваться также выражение преобразования с помощью равенства (уравнение преобразования), в котором с одной стороны помещается первичное сообщение и преобразование, а с другой — вторичное сообщение, например:

Т оЬ а = Ь,

Преобразование можно также представить графически с помощью линии со стрелкой, направленной от первичного сообщения ко вторичному (фиг. 4.1).

С формальной точки зрения безразлично, перестает ли первичное сообщение существовать в результате преобра зования, уступая место вторичному сообщению (например, при преобразовании одного положения стрелки прибора в другое), или же после поя вления вторичного сообщения первичное сообщение продолжает существовать (например, при преобразовании реального участка местности в топографическую карту), или даже ф и г. 4.1. Графическое обозначение преобразования.

Вторичное сообщение появляется раньше первичного (например, при преобразовании карты в местность). Всякое преобразование мы будем считать однозначным: преобразование одного сообщения дает в результате также одно сообщение.

Можно также различать преобразования по тому, отличаются ли между собой первичное и вторичное сообщения. Определение 4. 5. Нетривиальное преобразование — преобразование, в результате которого из первичного сообщения получается отличное от него вторичное сообщение.

Определение 4. 6. Тривиальное преобразование — преобразование, в результате которого первичное сообщение не отличается от вторичного.

Определение 4. 7. Тождественное преобразование — такое тривиальное преобразование в ассоциации сообщений, при котором первичное и вторичное сообщения являются одним и тем же сообщением.

Определение 4. 8. Равнозначное преобразование — такое тривиальное преобразование в ассоциации сообщений, при котором первичное и вторичное сообщения являются отдельными, но одинаковыми сообщениями.

Для обозначения тривиального преобразования мы будем применять обозначение Т° либо же вовсе опускать символ преобразования.

4. 9. Обратное преобразование к преобразованию первичного сообщения во вторичное — такое преобразование, которое преобразует вторичное сообщение в первичное. Например, обратное преобразование к преобразованию аТ аЬ Ь есть преобразование ЬТ Ьа а,

На основе введенных определений можно подумать, что из трех элементов уравнения преобразования: первичного сообщения, преобразования и вторичного сообщения — необходимо знать только два, а третий получается из уравнения.

Это очевидно, когда заданы одно из сообщений и преобразование. Например, когда известно сообщение а и преобразование Т аЬ , можно определить сообщение Ь.

Иная ситуация складывается, однако, когда даны оба сообщения, а ищется преобразование. В этом случае знание двух элементов (двух сообщений) не приводит к однозначному определению третьего (преобразования).

Это легко показать на простом вычислительном примере. Если заданы два сообщения: а = 2 и Ъ = 8, то существует множество преобразований, которые, будучи применены к сообщению а, дают в результате сообщение Ь; например:

а -\- 6 = 6,

= Ь,

а* = Ь,

Ъа ~ 2 = 6,

5а — 2-6.

Отсюда ясно, что преобразование является сложным понятием. В связи с этим возникает необходимость выяснить его основные элементы.

Определение. 4. 10. Операция — один из элементарных процессов, на которых основывается преобразование.

Определение 4.11. Род операции — качественная характеристика операции.

Определение 4. 12. Параметр операции — количественная характеристика операции.

Определение 4. 13. Операционное преобразование — преобразование, описываемое операциями, которым подвергается первичное сообщение ассоциации сообщений.

Например, преобразование с + 6 = Ь является операционным преобразованием, в котором родом операции является сложение, параметром — б, операцией — прибавление 6. В операционном преобразовании Аа = b род операции — умножение, параметр операции — 4, сама операция — умножение на 4. В операционном преобразовании За + 2 = 6 две операции: умножение на 3 (в которой род операции — умножение, параметр — 3) и прибавление 2 (в которой род операции — сложение, параметр операции 2).

В простейшем случае операционное преобразование может основываться только на одной операции (одноопера- цнонное преобразование), и тогда для его описания достаточно двух данных (род операции и параметр операции). Для описания преобразования, состоящего из п операций, необходимо 2п данных (п родов операции и п параметров операции).

Необходимо различать род операции и параметры операции, так как эти элементы операции независимы: при одном и том же роде операции параметры операции могут быть различными.

Теперь становится понятным, почему знания одного сообщения и преобразования достаточно для определения другого сообщения, в то время как знание обоих сообщений не позволяет определить преобразование. Даже при одно- операционном преобразовании необходимо знать четыре элемента: первичное сообщение, род операции, параметр операции и вторичное сообщение. В случае когда заданы сообщение и преобразование, оказываются известными три элемента из четырех; этого достаточно для определения четвертого элемента из уравнения преобразования. Когда же заданы оба сообщения и требуется определить преобразование, то фактически известны лишь два элемента из четырех, так что нет ничего удивительного в том, что для определения оставшихся двух элементов наличие уравнения преобразования оказывается недостаточным. Для этого необходимо дополнительно знать один из них. Например, если для преобразования сообщения а = 2 в сообщение 6 = 8 известно, что род операции — умножение, то параметром операции должно быть число 4, если же известно, что параметр операции 4, то родом операции должно быть умножение. Если для той же самой пары сообщений известно, что родом операции является возведение в степень, то параметр операции — 3 и т. д.

Очевидно, что операционное преобразование, в котором не задан род операции или задан параметр операции, при котором операция не приводит к изменениям, является тривиальным.

Например, операционное преобразование является тривиальным, если род операции — сложение, а параметр — О или же если род операции — умножение или возведение в степень, а параметр операции — 1.

В общем случае, когда в игру вступает не одна ассоциация, а целое их множество, операционные преобразования, относящиеся к отдельным ассоциациям, могут отличаться друг от друга.

Определение 4. 14. Основное преобразование — операционное преобразование, применение которого к исходному сообщению произвольной ассоциации в произвольном множестве ассоциаций дает вторичное сообщение той же ассоциации.

Например, для множества из трех сообщений

а=1, Ь = '6 Л

с = 2, d ~ 6,

е = 3. / = 9

можно выделить, скажем, следующие операционные преобразования: для ассоциации а = 1, b = 3:

а + 2 = Ь,

4- 1 = Ь,

-За = Ь,

Аа~\ = Ь;

для ассоциации с = 2, d = 6:

с + 4 = d ,

^ + 2 = d ,

= d ,

4с —2 = tf ;

для ассоциации е = 3, f = 9:

е + 6 = /, 2<? + 3 = f ,

Основным преобразованием, общим для всех трех ассоциаций, является операционное преобразование

Зш = л

Определение 4. 15. Обратное основное преобразование — операционное преобразование, применение которого ко вторичному сообщению любой ассоциации, к которой относится данное основное преобразование, дает первичное сообщение той же ассоциации.

В приведенном выше примере обратным основным преобразованием является операционное преобразование так как только оно является общим для всех трех ассоциаций.

Определение 4. 16. Обратное операционное преобразование — операционное преобразование с. такими же операциями, какие присутствуют в основном преобразовании, обратном данному основному преобразованию, имеющему вид данного операционного преобразования.

Определение- 4. 17. Обратная операция — операция в одноо пер анионном преобразовании, обратном к однооперационному преобразованию, содержащему данную операцию.

Определение 4. 18. Обратный род операции — такой род операции, при замене которым рода данной операции возникает операция, обратная данной.

Определение 4. 19. Обратный параметр операции — такой параметр, при замене которым параметра данной операции возникает операция , обратная данной.

В определении 4.16 ссылка на основное преобразование устраняет многозначность, которая возникла бы, если бы понятие обратного операционного преобразования основывалось на общем определении 4.9.

Например, для операционного преобразования первичного сообщения а = 2 во вторичное сообщение b = 8

Aa = b

в соответствии с определением 4.9 обратным операционным преобразованием было бы не только преобразование,

4

но также и преобразования

Ь — 6 = а,

и т. д.,

поскольку применение каждого из них ко вторичному сообщению 6 = 8 дало бы в результате первичное сообщение а = 2. В то же время для множества ассоциаций с основным преобразованием 4я = Ь основным обратным преобразованием в соответствии с определением 4.16 является только преобразование 6/4 = а. Вследствие этого можно сказать, что и для единственной ассоциации обратным операционному преобразованию 4а = b является операционное преобразование 6/4 = а.

Благодаря принятой формулировке 4.16 из определения 4.18 следует, что вычитание — род операции, обратный сложению, деление — род операции, обратный умножению и т. д., а из определения 4.19 следует, что отрицательное число — параметр операции, обратный положительному числу, обратное число —параметр операции, обратный этому числу и т.. д.

Теорема 4. 1. Если в операции данного операционного преобразования изменить род и параметр операции на обратные, то преобразование не изменится.

Доказательство. Пусть даны ассоциации сообщений а и 6 и операционное преобразование

T ab a = b . (4.1)

Если в операционном преобразовании (4.1) род операции изменится на обратный, то в соответствии с определением 4.17 получится обратная операция, а следовательно, и обратное операционное преобразование

T ba b = a . (4.2)

Если в операционном преобразовании (4.2) параметр операции изменится на обратный, то в соответствии с определением 4.19 получится обратная операция, а следовательно, и обратное операционное преобразование

T ab a = b . (4.3)

Сравнение (4.1) с (4.3) показывает, что получается преобразование, совпадающее с исходным.

Например, преобразование 4а == Ь совпадает с преобразованием а/0,25 = Ь, преобразование а И-2 = Ь совпадает с преобразованием а — (—2) = Ь и т. д.

Если известно, какое вторичное сообщение получится ,в результате определенного операционного преобразования сообщения, то для повторного получения того же сообщения не обязательно знать операцию, на которой это преобразование основано. Исходя из этого, можно выделить следующие понятия.

Определение 4. 20. Ассоциационное преобразование — преобразование, характеризующееся тем, что применение его к первичному сообщению ассоциации дает в результате вторичное сообщение той же ассоциации.

Определение 4. 21. Обратное ассоциационное преобразование — преобразование, применение которого ко вторичному сообщению^дает первичное сообщение.

Смысл ассоциационного преобразования можно выразить следующей логической схемой:

Если р, то д, так как если было р, то было д.

По отношению к ассоциации первичного сообщения а со вторичным сообщением Ъ из этой схемы следует: если к сообщению применяется такое преобразование, которое в результате его применения к сообщению а давало сообщение Ь, то в результате получится сообщение Ь.

Например, если в процессе управления определенного рода было применено операционное преобразование сообщения а = 2 в сообщение 6 = 8.

= b ,

то для других процессов управления того же самого рода всегда достаточно было бы знать, что если 2, то 8, не вдаваясь в исследование того, как это преобразование получено, т. е. применить ассоциационное преобразование

Сообщению а — 2 соответствует сообщение Ъ = 8.

Операционное преобразование заменяется здесь ассоциа- ционным.

В отличие от операционного преобразования, описываемого операцией, которую необходимо выполнить, ассоциационное преобразование описывается ассоциацией, к которой эта операция относится.

Иначе говоря, преобразование Т аЬ как операционное преобразование отвечает на вопрос, что нужно сделать с сообщением а, но то же преобразование Т аЪ как, ассоциационное преобразование отвечает на вопрос, какое сообщение Ь образует с сообщением а ассоциацию, или какое сообщение b соответствует сообщению а.

Общим свойством операционных преобразований данной ассоциации является то, что они ведут от одного сообщения к другому сообщению той же ассоциации, но именно это является и свойством ассоциационного преобразования. Поэтому ассоциационное преобразование равнозначно всем операционным преобразованиям в данной ассоциации. Это иллюстрируется на фиг. 4.2 для случая ассоциации сообщений а = 2 и b = 8.

Поскольку для описания ассоциационного преобразования нет необходимости знать операцию, ясно, что в направлении от сообщения а к b существует только одно ассоциационное преобразование, хотя операционных преобразований в том же направлении может быть много.

В результате для одной ассоциации играют роль лишь одно ассоциационное преобразование и одно обратное ему ассоциационное преобразование, а также много операционных преобразований и столько же обратных им.

Это различие подобно различию, существующему, например, в области транспорта: для одной пары местностей существуют два направления (туда и обратно), но имеется много дорог в одном направлении и столько же в другом.

Определение 4.22. Цепь преобразований — множество сообщений, образующих такую последовательность ассоциаций, в которых одно из сообщений одновременно относится как к предыдущему, так и к последующему сообщению.

а =2

а=2

Фиг 4.2. Операционное и ассоциационное преобразования ' (пример).

Определение 4. 23. Результирующее преобразование — преобразование, состоящее из преобразований последовательных ассоциаций цепи преобразований, причем вторичное сообщение, будучи результатом предыдущего преобразования, является первичным сообщением для следующего преобразования.

Например, если в цепи преобразований сообщений а, Ь, с, d имеются преобразования aT ab b , bT bc c , cT cd d (фиг. 4.3), то результирующим преобразованием первых двух преобразований является

а * ab 'be С '

a T ab b J bc с т сй d.

« ---------------------------------------------- ^ --------------------------------------------------- • -------------------------------------------- > ---------------------------------------------------- • ---------------------------------------- * ---------------------------------------- .. .. ¦¦ •

Фиг. 4.3. Составное и случайное преобразования.

а результирующим преобразование всех трех преобразований этой цепи

aT ab T be T ed d ,

что можно представить с помощью уравнений

* be ' ab а = С >

T cd T bc T ab a = d.

В частном случае, когда преобразования одинаковы, результирующее преобразование получается путем многократного применения одного и того же преобразования.

Например, если бы приведенные выше преобразования были одинаковыми: Т аЬ = Т Ьс = Т сй = Т, то результирующие преобразования можно было бы записать в виде

аТ 2 с,

аТЧ

или в виде

Т 2 а = с,

Т ? а = d .

Теорема 4. 2. В цепи преобразований преобразование первого сообщения в последнее является результирующим преобразованием последовательных преобразований.

Доказательство. Пусть имеются сообщения а, Ь, с, d ,... , tn t п и преобразования

Т вЬ а~Ь, (4.4)

T bc b = c , (4.5)

T cd c = d , (4.6)

T mn m =- n . (4.7)

Требуется найти преобразование

Т ап а = п. (4.8)

Из (4.4) и (4.5) следует

T bc T ab a = c , (4.9)

Это является преобразованием сообщения а в сообщение с,

Т ас а = с, (4.10)

вследствие чего

T ac a = T bc T ab a . (4.11)

Из (4.6)и (4.10) следует

T c , d T ac a = d . ¦ (4.12)

Это является преобразованием сообщения а в сообщение d ,

T ad a = d , (4.13)

вследствие чего

T ad a ~ T cd T ac a , (4.14)

а с учетом (4.11)

T ad a ^ T cd T bc T ab a . (4.15)

Аналогично получаем

Т ап a = T mn ... T cd T bc T ab a . (4.16)

Из теоремы 4.2 следует, что в частном случае, когда в цепи преобразований все преобразования являются тривиальными, результирующее преобразование также тривиально.

Теорема 4. 3. Результирующее преобразование двух преобразований, одно из которых обратно другому, является тривиальным преобразованием.

Доказательство. Пусть имеются ассоциация сообщений а и b и преобразование

T ab a = b . (4.17)

В соответствии с определением 4.9 обратным ему является преобразование

T ba b = a . (4.18)

Тогда из (4.17) и (4.18) вытекает

T ba T ab a = a . (4.19)

Из теоремы 4.3 следует, что преобразование, обратное тривиальному, является тривиальным преобразованием.

Различие между операционными и ассоциационными преобразованиями имеет практическое значение только по отношению к нетривиальным преобразованиям, поскольку все операционные преобразования превращаются в единственное преобразование, когда нетривиальное* преобразование становится тривиальным.

Так как в ассоциационных преобразованиях, даже тогда, когда они нетривиальны, операция не играет никакой роли, то преобразование в них подобно тривиальным преобразованиям. Вследствие этого все утверждения, касающиеся тривиальных преобразований, можно отнести и к ассоци- ационным преобразованиям, заменив в них выражение «равно» выражением «соответствует».

Например, утверждения, относящиеся к тривиальным преобразованиям: «если А равно В, то В равно Л» или «если А равно В и В равно С, то А равно С», можно сформулировать для ассоциационных преобразований в следующем виде: «если А соответствует В, то В соответствует Л» и «если А соответствует В и В соответствует С, то А соответствует С».

Различие между понятием «преобразование», определенным в данной работе, и понятием «отношение», принятым в логике, можно охарактеризовать следующим образом.

В теории отношений само отношение считается заданным, причем речь идет об отношении как связи между множествами, чему в излагаемой здесь теории наиболее близко соответствует понятие основного преобразования, играющего роль связующего звена между элементами (сообщениями) конкретных множеств, в частности пар элементов (пар сообщений, образующих ассоциацию) этих множеств.

В отличие от этого в процессах управления основное преобразование является искомым, в связи с чем требуется различать не только преобразования в конкретных ассоциациях, но и элементы преобразований, такие, как операция, род операции, параметр операции, т. е. понятия, которые отсутствуют в теории отношений.

В практических приложениях логики названия отношений зависят от описывающих их выражений, в то время как в данной работе преобразования рассматриваются как процессы и не зависят от присвоенных им названий. 1 Это можно проиллюстрировать на простом примере. В учебниках логики при объяснении симметричных, асимметричных, антисимметричных, а также транзитивных, нетранзитивных, антитранзитивных отношений часто используемым примером является отношение родства.

Например, логик задает себе вопрос, правильно ли следующее утверждение: «если А —¦ родственник В, то В — родственник Л». С этой целью он рассматривает различные ситуации, например отношение между двумя братьями, между отцом и сыном и т. д., а убедившись, что если Л — родственник В, то во всех случаях В — родственник А, он делает вывод, что отношение родства является симметричным отношением (т. е. таким, что если А находится в определенном отношении к В, то В находится в том же отношении к А).

Затем он переходит к следующему вопросу — правильно ли следующее утверждение: «если А является родственником S , а В — родственником С, то Л является родственником С». Убедившись, что в рассмотренных им случаях это верно, наш логик склонен будет считать родство транзитивным отношением. Но существуют случаи, когда это утверждение неверно, а именно: если А — отец В, а С — мать В, то А и С обычно не являются кровными родственниками. В такой ситуации наш логик вынужден считать отношение родства нетранзитивным отношением (т. е. если А находится в определенном отношении к В, а В находится в том же отношении к С, то не известно, находится ли Л в том же отношении к С).

Однако можно себе представить, что в какой-то стране связь между отцом и матерью также называется родством. В этой стране родство было бы транзитивным отношением. Таким образом, изменение терминологии привело бы к изменению характера отношений родства, несмотря на то, что фактически ничто бы не изменилось.

Использование же преобразований дало бы в этом случае следующий результат.

То, что А и В являются братьями, следует из того, что они сыновья одних и тех же родителей. От родителей к субъекту А приводит преобразование «родить». То же преобразование приводит к В. Вследствие того, что оба преобразования одинаковы, преобразование от А к В — тривиально; на том же основании можно без дальнейшего разъяснения утверждать, что преобразование от В к Л также тривиально, т. е. преобразования одинаковы в обе стороны.

Если же А — отец, а В — сын, то от Л к В приводит преобразование «родить», и всегда можно утверждать, что от В к Л приводит преобразование «быть рожденным», как обратное первому. Здесь мы не наблюдаем одинакового преобразования в обе стороны.

Таким образом, то, что с точки зрения теории отношений в обоих случаях одинаково (отношение симметрично), не является одинаковым с точки зрения теории преобразований.

Во втором примере от отца Л к сыну В ведет преобразование «родить», а от сына В преобразование «быть рожденным» приводит к матери С. Поскольку одяо из этих преобразований обратно другому, связь между Л и С должна быть тривиальной. Естественно, что между отцом и матерью здесь нет разницы: оба они родители.

Следовательно, то, что в данном примере с точки зрения теории отношений остается неопределенным (отношение нетранзитивно), становится вполне определенным с точки зрения теории преобразований и при том не зависит от языка, на котором формулируется утверждение.

К часто используемым в учебниках логики относится и пример следующего транзитивного отношения: «если А старше В, а В старше С, то А старше С». Основываясь на этом, некто мог бы прийти к выводу (полагая, что всякое общее положение должно быть справедливым и в частных случаях), что если Л на 5 лет старше В, а В на 5 лет старше С, то Л на 5 лет старше С. Легко заметить, что транзитивность отношения старшинства не выполняется ни в одном частном случае.

В то же время таких недоразумений не возникает при использовании преобразований. Как в общем, так и во всих частных случаях старшинство А по отношению к С — результирующее преобразование старшинства А по отношению к В и старшинства В по отношению к С.

Когда речь идет об отношении «больше», логик говорит, что для отношения a b обратным является отношение Ь > а, что, конечно, верно, когда а и Ь даны, но неверно в приложении к процессам управления в случае, когда а или b является искомой величиной. Например, если Ъ получается в результате «увеличения» а, то, зная Ь, нельзя найти а путем «уменьшения» Ъ\ такого рода ситуации возникают, например, при применении обратных кодов (см. гл. 5).

В процессах управления не может быть просто «увеличения», а может быть только «увеличение на данное количество» (хотя бы и неизвестное), т. с. необходимо учитывать не только род операции, но и параметр операции. В соответствии с этим обратной операцией не может быть операция «уменьшение», ею должна быть операция «уменьшение на то же количество, на которое было увеличение», иначе говоря, послеоперационного преобразования необходимо применить обратное операционное преобразование.

Конечно, вместо конкретных сообщений можно также воспользоваться подмножеством сообщений, но при условии, что целое подмножество сообщений рассматривается как одно сообщение; иначе говоря, если преобразование приводит к некоторому подмножеству, то обратное преобразование должно дать исходное подмножество.. Например, если одним сообщением ассоциации является одноэлементное подмножество «тока нет» (0 в цифровых вычислительных машинах), а другим сообщением является многоэлементное подмножество «ток есть» (1), т. е. подмножество токов в допустимых границах, то увеличение тока есть переход от первого подмножества ко второму, хотя следующее за этим уменьшение тока не обязательно приводит к первому подмножеству. Такого рода неясности не возникают, если воспользоваться операционными преобразованиями, даже если прибегнуть к ассоциацио иному преобразованию: сообщению «тока нет» соответствует «ток есть»; обратное ассоциационное преобразование: сообщению «ток есть» соответствует сообщение «тока нет». В обоих случаях результирующее преобразование— тривиальное, чего не дает использование отношения «увеличение» и обратного ему отношения «уменьшение».

Различие здесь состоит в том, что в приведенных примерах в качестве одного и того же отношения берется то, что не может быть одним и тем же преобразованием, а группа разных, даже противоречивых преобразований называется одним и тем же словом.

Иначе можно сказать, что степень обобщений в теории отношений настолько велика, что теория отношений пригодна для анализа утверждений (вследствие чего ее практическое применение зависит от языка, на котором «/твержде- ние высказано), но группирование различных преобразований в одно отношение — только способ речи и поэтому непригодно для анализа и выявление физического смысла процессов управления, тем более что эти процессы могут протекать без участия человека и не зависят от того, существует ли вообще какой-либо язык.

С этой же точки зрения при описании преобразования языковыми средствами следует позаботиться о том, чтобы употребляемое для этой цели выражение означало бы преобразование, а не группу различных преобразований. Это тем более важно, что традиционная структура языковых утверждений сформировалась не на основе теории преобразований.

Преобразование не является понятием, «конкурирующим» с понятием отношения, а является лишь определенным частным случаем отношения, который, с одной стороны, дает однозначную интерпретацию и упрощение формальной процедуры, а с другой стороны, вносит дополнительные различия, не рассматриваемые в теории отношений, но необходимые для исследования поднятых здесь проблем.

Требование однозначности преобразования, согласно которому одно преобразование одного оригинала дает в результате только один образ, будет в этой работе строго соблюдаться в соответствии с физической природой процесса управления.

С этой же точки зрения будут трактоваться и числовые примеры. Например, извлечение квадратного корня из А, рассматриваемого как оригинал, даст два числа +2 и — 2, т. е. два образа, поскольку здесь имеется два преобразования: «извлечение квадратного корня, дающее положительную величину» и «извлечение квадратного корня, дающее отрицательную величину». Этот способ известен из применений математики к физике (например, когда при решении квадратного уравнения учитывается только положительное значение корня).

В последующих главах при записи уравнений преобразования первичное сообщение будет опускаться, если оно одинаково в левой и правой частях уравнения. Например, уравнение типа

Т,Т,Т 2 а = Т х а

будет иметь вид

TJ 3 T % = Т г ;

последнее означает следующее: если произвольное сообщение подвергается преобразованию Т 2 , а результат этого преобразования подвергается преобразованию. Т 3 , результат которого в свою очередь подвергается преобразованию Т 4 , то полученный в итоге результат будет таким же, каким он был бы при применении преобразования Т х .

В соответствии с этим уравнение (4.16) можно записать в виде

* an * mn ••' * cd ' be l ab'

а уравнение (4.19) в виде

т т то

1 ba l ab J •

СодержаниеДальше

наверх страницынаверх страницы на верх страницы









Заказать работу



© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования