В библиотеке

Книги2 383
Статьи2 537
Новые поступления0
Весь каталог4 920

Рекомендуем прочитать

Сперанский М.Введение к уложению государственных законов
"Введение к уложению государственных законов" – высшее достижение реформаторского периода (первого десятилетия) правления Александра I.

Жалобы и предложения

Напишите нам свои впечатления о библиотеке Университета и свои предложения по ее улучшению [email protected].
Алфавитный каталог
по названию произведения
по фамилии автора
 

АвторБунге М.
НазваниеФилософия физики
Год издания1973
РазделКниги
Рейтинг0.26 из 10.00
Zip архивскачать (923 Кб)
  Поиск по произведению

Приложение

Аксиоматика и поиск основополагающих принципов и понятий в физике*
М. Э. Омеляновский

То, что природа едина в своем многообразии и есть развиваю- щаяся материя, — эта идея диалектического материализма стала общим воззрением современной физики, которое находит отражение не только в ее содержании, но и в ее методологии и логике. Прин- цип развития и принцип единства природы современная физика плодотворно использует в поисках новых явлений и законов.

Собственно, определенный общий взгляд на природу (мировоз- зренческая проблема), разделявшийся в физике в ту или другую эпоху ее исторического развития, всегда внутренне был связан с ха- рактерной для нее в ту же эпоху логикой исследования (методоло- гическая проблема). Так было до классической физики, когда физи- ческое знание, основанное на обыденном наблюдении и лишенное — за отдельными исключениями [1] — систематических методов исследо- вания, отвечало целиком весьма общим и неопределенным воззре- ниям философов того времени с их порой (если иметь в виду ан- тичную философию) гениальными натурфилософскими догадками. Так было и в классической физике, когда провозглашенный Ньюто- ном метод исследования, названный впоследствии методом принципов и представлявший собой своеобразную модификацию аксиоматики Евклида, так или иначе соответствовал атомистическому воззрению на природу (которое разделял и Ньютон).

В единстве познания отражается единство природы. Первона- чальную форму единство познания нашло в аксиоматике, а геоме- трическое знание — первое из существующего в свое время зна- ния— стало наукой, будучи построено аксиоматически Евклидом.

  • * Впервые опубликовано в журнале «Вопросы философии», № 8

Завершенная, или, условно говоря, замкнутая, система той или другой физической теории (первой на этом пути утвердилась клас- сическая механика) состоит из основных понятий и принципов (на геометрическом языке они называются аксиомами), которые связы- вают эти понятия определенными соотношениями, а также следст- вий, которые выводятся из них путем логической дедукции. Имен- но эти следствия должны соответствовать экспериментальным дан- ным— проверяться на опыте. Без этого физическая теория не может быть физической теорией, или, иначе, опыт, и только опыт, является в физике критерием истинности ее теории, то есть только опыт удостоверяет в конце концов, что теория отражает объективно реальную действительность и, значит, удостоверяет пригодность ма- тематического аппарата (формализма) этой теории.

Каждой системе понятий и принципов в физике соответствует присущий ей математический аппарат (формализм); она описывает определенную область физических явлений, о которых говорит опыт, причем опытным же путем устанавливаются границы применимости понятий системы (в отношении их соответствия природе).

Аксиоматический метод изменился со времени Евклида, обога- тившись новыми возможностями объяснения и предсказывания ис- следуемых явлений. Если об этом методе в его начальной, так ска- зать в его евклидовой, форме можно говорить, по выражению С. Клини, как о «содержательной» или о «материальной аксиома- тике» [2], то ныне, после работ знаменитого математика Д. Гильберта и исследований по математической логике, аксиоматика фигурирует и как «формальная» и как «формализованная» аксиоматика. По- следние две отличаются от материальной аксиоматики тем, что в них понятия и их соотношения выступают как бы в чистом виде, свободными от эмпирического содержания, а в формализованной аксиоматике вместо вербального языка применяется язык символов (формализм), тогда как в материальной аксиоматике дедукция не обособляется фактически от эмпирии и наглядности.

Это относится mutatis mutandis и к аксиоматическим построе- ниям в физике. В аксиомах, или принципах (их называют также основными законами) механики Ньютона, речь идет об инертной массе и силе, об ускорении, о пространстве и времени и о соотно- шениях между названными понятиями. Эти соотношения и понятия являются исходными в пределах механики Ньютона и сами по себе представляют идеализированные выражения опытных фактов. Изло- женные впервые в «Началах» Ньютона, они могут служить образ- цом содержательной аксиоматики в классической физике.

Развитие аксиоматического метода в физике в основном повто- ряет развитие этого метода в геометрии. В современной физике с ее весьма сложным и разветвленным математическим аппаратом мы с полным правом можем говорить о существовании формальной и особенно формализованной аксиоматики (которая в известном смыс- ле представляет высший пункт развития аксиоматического метода). Собственно, в полной мере это выявилось со времени утверждения и построения теорий неклассической физики. Строгий и в какой-то мере исчерпывающий анализ соответствующих вопросов далеко вы- вел бы нас за рамки этой статьи, мы попытаемся дать лишь общее представление о существе дела.

Обратимся к уравнению

„ _ d (ту) dt *

Оно выражает второй закон механики Ньютона, который пред- полагает, что масса тела — величина постоянная. Но это уравнение

где т 0 — масса неподвижного тела («масса покоя»), v — скорость тела, с —скорость света.

Уравнение выражает, таким образом, закон релятивистской ме- ханики, который предполагает, что масса тела изменяется со ско- ростью.

Приведенное уравнение может выражать также закон движе- ния в квантовой механике. Известно, что величины в квантовой ме- ханике и в классической механике связываются одними и теми же уравнениями, но в квантовой механике в этих уравнениях фигури- руют операторы, то есть величины иной математической природы, нежели величины в классической механике.

Читатель вправе задать вопрос: на каком основании прово- дятся такого рода «замены» в уравнениях (то есть замены чисел на операторы, т на более сложное выражение и т. д) и что они вообще означают по своему логическому смыслу? Ответить на не- го—это значит рассказать о самом содержании классической, ре- лятивистской и квантовой механики, о переходе частной теории с ее понятиями в более общую и глубокую теорию с ее более содержа- тельными понятиями, чем понятия частной теории. Иначе говоря, возвращаясь к только что изложенному, сказать о понимании массы в релятивистской механике и как это понимание создалось, сказать о том, что операторы в квантовой механике математически изобра- жают физические факты, с которыми классическая теория никогда не встречается, рассказать о самой логике возникновения частной теории относительности квантовой механики и т. д. и т. п.

Тем самым мы хотим подчеркнуть, что формальное и формали- зованное аксиоматическое построение физической науки охватывает развитие ее содержания, способствуя все более глубокому позна- нию природы. Следует здесь отметить, что в физике имеет особое значение вопрос об интерпретации ее формализмов в сравнении с аналогичным вопросом в математике; мы на этом остановимся ниже.

Чем же существен для физики аксиоматический метод? И в ло- гическом и в методологическом аспектах значение этого метода в физике — как в форме материальной аксиоматики, так и в высших ее формах, формальной и формализованной, — не просто велико, а, как мы попытаемся доказать, настолько существенно, что его труд- но переоценить. Если сравнить его с другими методами исследова- ния, то нельзя не согласиться с Гильбертом, который сказал об аксиоматическом методе в математике: «Несмотря на то что гене- тический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое зна- чение, все ж для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксио- матический метод» [3].

Повторяем, то, что Гильберт говорил об аксиоматическом ме- тоде в математике, относится, на наш взгляд, и к физической ак- сиоматике. Разумеется, в данном случае, как и всегда, не следует впадать в крайность и гипертрофировать глубокую мысль Гиль- берта.

Начнем с генетического метода, о котором упоминает Гильберт в приведенном выше высказывании об аксиоматическом методе. Коснемся его содержания, но об этом будем говорить несколько по- другому, чем сказано у Гильберта (см. стр. 315 его работы, на ко- торую мы ссылались). Мы думаем сказать о роли генетического ме- тода в познании и вместе с тем в отличие от Гильберта подчерк- нуть, что этот метод по-своему «включается» в метод аксиоматиче- ский.

Как вводится понятие числа? Исходя из допущения о существо- вании нуля и того положения, что в процессе увеличения числа на единицу возникает следующее за ним число, мы получаем натураль- ный ряд чисел и развиваем законы счета с ними. Если взять нату- ральное число а и прибавить к нему Ь раз по единице, то получим число а + Ь и этим определим (введем) операцию сложения нату- ральных чисел (вместе с его результатом, называемым суммой).

Сложив теперь числа а, число которых Ь, мы таким образом определим (введем) операцию умножения натуральных чисел и бу- дем называть результат этой операции произведением а на Ь, обо- значая его ab . Похожим путем — опускаем соответствующее изложе- ние — мы определяем операцию возведения в степень и саму сте- пень.

Обратимся к так называемым обратным операциям по отноше- нию к сложению, умножению, возведению в степень. Допустим, что у нас имеются числа а и Ь и требуется найти число х, удовлетворяю- щее уравнениям a - f - х = b , ах = Ь, х а = Ь. Если а + х = Ь, то х определяется посредством операции вычитания: х = Ь — а (резуль- тат которой называется разностью). Подобным же образом вво- дятся операции деления, извлечения корня и взятия логарифма (по- следние являются двумя обратными операциями по отношению к возведению в степень).

Опираясь на эти определения, можно построить аксиоматику натуральных чисел. Соответствующие аксиомы объединяются в груп- пы: а) аксиомы соединения, б) вычислительные аксиомы, в) аксиомы порядка, г) аксиомы непрерывности.

Мы подошли к узловому пункту наших рассуждений. Практика поиска решений уравнений, в которых фигурируют рассмотренные выше числа, говорит о том, что обратные операции: вычитание, де- ление, извлечение корня — выполняются не во всех случаях. Допу- стим теперь, что обратные операции выполняются во всех случаях. Собственно, это допущение арифметика реализовывала в течение своего исторического развития, и в итоге, как своеобразное логиче- ское резюме этого развития, в ней проявились положительные и от- рицательные числа, целые числа и дроби, рациональные и иррацио- нальные числа.

Такого рода раздваивание натурального числа на отмеченные противоположности и взаимоотношения между этими противополож- ностями привело к понятиям относительного числа, числа как отно- шения и действительного числа; последнее, следовательно, развилось из простого понятия натурального числа путем последовательных обобщений. Понятие действительного числа в современной ариф- метике развивается дальше, но для наших целей достаточно сказан- ного.

Применение аксиоматического метода, по сути дела, подчерки- вает, что аксиоматика совсем не исключает признания изменчиво- сти основных понятий и логически замкнутых теорий, а, наоборот, предполагает необходимость возникновения новых основных поня- тий и принципов. Все то, что делает аксиоматический метод таким ценным для логического оформления и полного логического обосно- вания научных теорий, получает в такого рода применении аксио- матики свое подлинное (отнюдь не формально-логическое) заверше- ние и адекватное действительности выражение.

В математике об этом прекрасно сказано Н. Бурбаки: «Един- ство, которое аксиоматический метод доставляет математике, это — не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это — питательный сок организма в полном раз- витии, податливый и плодотворный инструмент исследования, кото- рый сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие математики, все те, кто, следуя формуле Лежена Дирихле, всегда стремились «идеи заменить вычислениями» [4].

В физике фактически та же картина. Так, принцип относитель- ности, представляющий следствие принципов механики Ньютона, то есть принцип относительности в своей галилеевой форме, не вы- полнялся для случая распространения света. Последнее явление под- чинялось принципам теории электромагнетизма. Встала, таким об- разом, задача расширить область применимости принципов меха- ники, включив в нее электромагнитные явления. Но это означало, что принципы механики Ньютона должны были образовать с прин- ципами теории электромагнетизма единую, цельную систему. Такое сочетание привело к возникновению новых понятий, более широких и содержательных, чем понятия классической механики. Подверглись изменению прежде всего понятия пространства и времени; исчезли понятия абсолютного пространства и абсолютного времени; появи- лись понятия относительного пространства и относительного вре- мени, которые оказались аспектами единого четырехмерного про- странственно-временного континуума. Соответственно преобразова- ние Галилея (связывающее в механике Ньютона инерциальные си- стемы отсчета и предполагающее абсолютные пространство и время) было заменено преобразованием Лоренца (которое, связывая инер- циальные системы отсчета, предполагает относительные простран- ство и время). Принцип относительности предстал уже в обобщен- ной эйнштейновой форме, возникла релятивистская механика.

Вторым примером может служить квантовая механика. В этой теории — о ней здесь идет речь, поскольку имеется в виду ее логи- чески замкнутая форма, — существует основополагающий постулат: каждой физической величине (динамической переменной) классиче- ской механики в квантовой механике соответствует определенный линейный оператор, действующий на волновую функцию, и допу- скается, что между этими линейными операторами существуют те же соотношения, какие имеют место в классической механике между соответствующими величинами. В квантовой механике осново- полагающая роль принадлежит также постулату, устанавливаю- щему связь между оператором и значением величины, характеризую- щим показание измерительного устройства (посредством которого узнают о микрообъекте).

Два наших примера — своего рода логическая сводка того по- ложения вещей, которое сложилось в теории относительности и кван- товой механике, когда эти теории были построены. Как и всякая сводка, она не передает всего многообразия логических и фактиче- ских ситуаций, которые складывались при рождении этих теорий, не передает деталей того сочетания размышлений и экспериментов, которое вызвало к жизни принципы этих ведущих теорий современ- ной физики. Чтобы избежать возможных недоразумений при уясне- нии того приема нахождения новых понятий посредством аксиома- тики, о котором шла речь, необходимо обратить особое внимание на тот факт, когда аксиомы, будучи выведены при определении таких- то основных понятий, в свою очередь становятся опорой для выве- дения новых, более широких и содержательных основных понятий, чем первоначальные. Уравнения, выражающие аксиомы, содержат теперь символы без реального значения. В нахождении же этих реальных значений, то есть в нахождении новых понятий (и, значит, в построении новой теории), и заключается вся суть дела. Метод математической гипотезы, метод принципиальной наблюдаемости, и другие теоретические методы современной физики и решают, как известно, эту задачу.

Учитывая подобного рода обстоятельства, становится ясным, что, хотя (приведем известный пример) структура аксиом относительных чисел или действительных чисел одинакова со структурой нату- ральных чисел, из одной только этой изоморфности нельзя еще узнать, скажем, как складываются или умножаются отрицательные числа. Аналогично одинаковость структуры принципов классической, релятивистской и квантовой механики сама по себе еще не гаран- тирует знания основных законов релятивистской и квантовой меха- ники, если известны законы классической механики. Здесь небеспо- лезно вспомнить замечание Энгельса о законе отрицания отрицания. С одним знанием того, что этот закон диалектики охватывает и раз- витие зерна и исчисление бесконечно малых, «я не могу, — говорит Энгельс, — ни успешно выращивать ячмень, ни дифференцировать и интегрировать». Подобным же образом, как мы видели, обстоит дело и с аксиоматикой. Но от этого плодотворная методологиче- ская роль законов диалектики, равно и аксиоматики, нисколько не уменьшается.

Считается — и с полным правом, — что возможность выражения теории через систему аксиом в теории — это признак ее логической завершенности (замкнутости), но в истории знания и науки логиче- ская завершенность теории чаще всего рассматривалась как своего рода синоним ее универсальности и неизменности. Последнее исто- рически было оправдано, скажем, двухтысячелетним (до середины XIX в.), так сказать, царственным существованием геометрии Ев- клида как единственной геометрической системы или двухсотлетним (до XX в.) господством механики Ньютона как окончательной, не- пререкаемой теоретической системы физики. Мы старались пока- зать иллюзорность такого представления, если рассматривать ак- сиоматичские идеи в плане логики, Логическая стройность теории не исключает ее развития, но, напротив, предполагает такое разви- тие.

Идеалу классического понимания аксиоматического построения в физике первый удар нанесла электромагнитная теория Максвелла. Однако, по существу, суть этого понимания аксиоматики не изме- нилась: многие физики в период расцвета электромагнитной кар- тины мира на место тел механики с аксиомами Ньютона поставили электромагнитное поле с уравнениями Максвелла (сама же механика Ньютона казалась опровергнутой, не имеющей отношения к основа- ниям мироздания и т. д.). Точка зрения диалектического материа- лизма на этот вопрос в то время была высказана В И. Лениным. Когда складывалась электромагнитная картина мира, В. И. Ленин указал на несостоятельность того взгляда, будто материализм ут- верждает «обязательно «механическую», а не электромагнитную, не какую-нибудь еще неизмеримо более сложную картину мира, как движущейся материи» [5].

Окончательный удар по классическому пониманию аксиоматики в физике был нанесен теорией относительности и особенно разви- тием квантовой механики, когда она приняла современную форму.

Выяснилось — это обстоятельство в другой связи отмечалось выше, — что ньютонова механика имеет границы области явлений, которые она призвана объяснять и предвидеть, то есть пределы своей применимости: электромагнитные явления на движущихся те- лах, а также явления атомного масштаба не могут быть описаны и объяснены при помощи понятий и принципов механики Ньютона. Экспериментальные исследования соответствующих явлений вместе с анализом возникших в классической физике теоретических ситуа- ций привели, с одной стороны, к теории относительности, а с дру- гой — к квантовой механике. Ныне, как известно, физик свыкся с мыслью, что ни одна замкнутая физическая теория не является аб- солютом, имеет пределы своей применимости и в этом смысле яв- ляется приближенной и т. д.

Но как найти предел применимости теории и что такое этот предел? Мы начнем с последнего вопроса Существуют явления, ко- торые не могут быть описаны при помощи понятий некоторой тео- рии, а если они могут быть описаны, то они не могут быть в ней объяснены. Такая теория оставляет в стороне сферу этих явлений, ее область применимости — это область явлений, которую она объ- ясняет или может объяснить. Другими словами, за пределом при- менимости определенной теории должна функционировать (то есть описывать, объяснять и, следовательно, предсказывать) уже прин- ципиально другая теория.

Мы не собираемся углубляться в вопрос о пределе применимо- сти теории. Но на одном его аспекте стоит остановиться. Часто упо- требляется выражение, и, по-видимому, с полным логическим пра- вом, — «предел развития теории». Что означает это выражение и ка- кое оно имеет отношение к выражению «предел применимости тео- рии», о котором только что шла речь?

Вопрос этот может показаться надуманным. Принято утвер- ждать, что не имеет смысла говорить о развитии аксиоматической системы. В самом деле, все теоремы аксиоматической системы могут трактоваться как содержащиеся в неявной форме в аксиомах и пра- вилах вывода; только деятельность математика (или соответствую- щего устройства) может сделать явной любую содержащуюся в ней теорему, а таких теорем различной степени упорядочения содер- жится в аксиоматической системе бесконечное множество. Вместе с тем кто не знает, что в реальной действительности выведение (де- дуцирование) теорем из аксиом — дело далеко не стандартное и по- лучение, скажем, геометрического (или механического) факта и по- ложения из соответствующей системы аксиом — это, как и всюду в познании, решение проблемы поиска неизвестного по известным данным! Еще Энгельс говорил, что даже формальная логика пред- ставляет метод для отыскания новых результатов.

Дедуктивный (включающий собственно аксиоматический) метод, как и любой метод, применяющий положения формальной и диалек- тической логики, не может обходиться без фантазии. Стоит еще раз напомнить о том, что, по Ленину, даже в самом элементарном об- общении имеется кусочек фантазии [6]. Естественно, что роль фанта- зии намного возрастает, когда дело идет о все более и более мас- штабных и глубоких обобщениях, которыми занимается наука и без которых она перестает быть наукой. Исследование этой роли пред- ставляет благодарную задачу.

Таким образом, поскольку дедуктивный или, имея в виду его высшую форму, аксиоматический метод ведет от известного к не- известному и умножает научное знание, поскольку аксиоматическую систему следует рассматривать как способную развиваться и разви- вающуюся при соответствующих условиях теоретическую систему. Развитие аксиоматизированной теории —это получение в пределах ее применимости новых, ранее неизвестных утверждений и положе- ний. Это развитие теории, как явствует из его определения, проте- кает, так сказать, внутри ее самой; теория в этом развитии не выхо- дит за свои пределы, с точки зрения своих оснований (системы аксиом) она остается такой же. Как же найти предел применимо- сти или предел развития аксиоматизированной теории?

Разумеется, ответ заключается не в показе того, что одна по- строенная теория содержит в себе другую построенную теорию, причем первая находит ей присущим путем пределы применимости второй теории, доказывая, что последняя является ее предельным случаем. Это не способ решения вопроса, скорее здесь предпола- гается наличие такого решения.

Могут ли пределы применимости теории или границы области явлений, которые она объясняет, отыскиваться эмпирическим путем?

Смотря по обстоятельствам Явления, которые фиксировал опыт Майкельсона, или так называемая «ультрафиолетовая катастрофа», действительно стали предельными пунктами применимости классиче- ской механики: из этих двух «облачков» на ясном небе классиче- ской физики — так их когда-то назвали — возникли (частная) тео- рия относительности и квантовая механика. Однако сравнительно давно известный факт движения перигелия Меркурия, который не охватывался теорией тяготения Ньютона, отнюдь не стал предель- ным пунктом применимости этой теории. Теория тяготения Эйнштей- на, которая определила пределы применимости теории тяготения

Ньютона, была найдена не на том методологическом пути, на кото- ром возникли теория относительности и квантовая механика. В соз- дании теории тяготения Эйнштейна решающую роль сыграл принцип эквивалентности, предполагающий тождественность инерции и тяго- тения, то есть, по существу дела, опытный факт, что все тела па- дают в пустоте с одним и тем же ускорением, который был изве- стен Ньютону, но который он не включал в теоретическое содержа- ние своей теории тяготения, а принимал только эмпирически.

Таким образом, бывает, что установленная теория не объясняет некоторые известные опытные факты, к этому привыкают, но, как оказывается, теоретическое истолкование или объяснение (обоснова- ние) их выходит за пределы установленной теории, а это послед- нее может увидеть порой только гений. Именно таким образом была создана общая теория относительности, или теория тяготения Эйнштейна, которая во время своего созидания опиралась на тот же опытный материал (на ту же экспериментальную базу), что и теория тяготения Ньютона, но... добавляла к нему комплекс новых идей, чуждых классическим представлениям.

Логически построенная теория, или аксиоматизированная теоре- тическая система, правильно функционирующая в рамках своей при- менимости, должна быть непротиворечивой и полной. Непротиворе- чивость и полноту системы, как показал К- Гёдель, нельзя доказать теоретическими средствами самой этой системы. Обычно, когда речь идет о физических теориях, принимают без доказательства, если не требуется специально противоположного, что такая-то теория не- противоречива и полна, подобно тому как принимается без доказа- тельства, если этому не мешают факты, что такая-то теория универ- сальна.

Из последнего утверждения следует, что если явление, кото- рому, так сказать, положено быть объяснимым данной теорией, не только не объясняется, а, напротив, возникают противоречия (пара- доксы) в процессе этого объяснения, которые не могут быть решены этой теорией, то в данном случае мы вправе рассматривать наличие таких парадоксов как симптом приближения теории к своему пре- делу.

Возможно, конечно, что после соответствующих размышлений, вызванных противоречием, будут уточнены отдельные положения и понятия теории и противоречие сможет быть разрешено на основе данной теории. В этом случае противоречие и его разрешение слу- жат только логическому совершенствованию теории на основе ее принципов. То же mutatis mutandis относится и к вопросу о полноте теории. Эйнштейн, Розен и Подольский в свое время сформулиро- вали положения, из которых явствовала будто бы неполнота кван- товой механики в вероятностном понимании Бора. Выяснилось, од- нако — Бор это доказал, — что Эйнштейн был неправ: его исходное положение в парадоксе в применении к проблемам квантовой меха- ники обладает неоднозначностью [7]. Такого рода случаи нас не будут интересовать, они касаются проблемы логического совершенствования данной теории в соответствии с ее аксиоматикой, а не вопроса о границах ее применимости.

Движение от классической физики к современной происходило вследствие возникновения в (классической) теории ряда парадок- сов, о которых говорилось выше. Эта особенность в известной мере характерна и для электромагнитной теории Максвелла, ближайшей предшественницы неклассических теорий. Максвелл, объединив все экспериментальные данные по электричеству и магнетизму, найден- ные Фарадеем, и выразив их на языке математических понятий, уви- дел своего рода противоречие между полученными уравнениями. Чтобы выправить положение, он добавил без всякого эксперимен- тального обоснования (оно пришло позже) в уравнение одно выра- жение, и... родилась теория электромагнетизма. Метод математиче- ской гипотезы, примененный Максвеллом [8], оказался чрезвычайно плодотворным и в дальнейшем.

Другим примером может послужить (частная) теория относи- тельности Эйнштейна. Она родилась на стыке классической меха- ники и классической электродинамики в результате разрешения парадокса, противоречия между принципом относительности Гали- лея и принципом независимости скорости света в вакууме от движе- ния излучающего источника, рассмотренных совместно. М. И. Под- горецкий и Я. А. Смородинский назвали такие «стыковые» пара- доксы «противоречиями встречи» [9]. В решении этого парадокса, то есть в создании теории относительности, сыграл важнейшую роль метод принципиальной наблюдаемости.

Квантовая механика появилась тоже в какой-то мере в каче- стве результата разрешения «противоречия встречи», в данном слу- чае классической корпускулярной механики (та же механика Нью- тона) и классической волновой теории. Но роль волновой теории здесь играла не соответствующая теория вещества, а электромагнит- ная теория, и потому «встреча» была далеко не столь «простой», как в случае возникновения (частной) теории относительности. Кван- товая механика появилась в результате разрешения не одного толь- ко «противоречия встречи», а и ряда других. Существенно отме- тить, что возникшая теория по отношению к первоначальным (это касается и теории относительности) является, выражаясь языком современной логики, их своего рода метатеорией.

Для понимания того, как рождалась квантовая механика, перво- степенное значение имела проблема, которую можно назвать проб- лемой устойчивости (стабильности) структуры обычных тел, моле- кул, корпускул (телец) или тех атомов, которые с точки зрения ме- ханики Ньютона лежат в фундаменте материи и движения которых определяют в конце концов все мировые перемены. Ньютон «вышел из положения», постулировав бесконечную твердость бо- жественного происхождения первоначальных атомов и т. д. [10]. Эта же проблема встала, так сказать, во всей своей непосредственной наглядности, когда выяснилось, что «первозданный» атом стал си- стемой, состоящей из электрически заряженных частиц (положитель- ного ядра и отрицательных электронов), и надо было решать проб- лему его устойчивости с точки зрения классической теории электро- магнетизма. Известно, что «атом Резерфорда» был обязан своей «стабильностью» не столько законам тогдашней физики, сколько оп- тимизму Резефорда и его последователей, их уверенности в том, что этот вопрос в дальнейшем удастся решить положительно. И он дей- ствительно был решен молодым в то время (1913 г.) датским физи- ком Н. Бором, который построил атомную модель, применив к «ато- му Резерфорда» тогда еще гипотезу квантов Планка. «Атом Бора» оказался действительно стабильным атомом, и эта стабильность была объяснена законами природы, то есть древний атом «обрел» наконец устойчивость, и обрел не потому, что кто-то уверял себя и других в этом от своего имени или от имени всевышнего, а по- тому, что так установили квантовые законы движения материи.

Впрочем, если глубоко вдуматься в то, как была решена проб- лема устойчивости структуры атомных частиц материи, то пока- жется даже странной мысль, что ее возможно решить как-то по- другому. Ведь, по существу дела, объяснять свойства и движение макрообъектов законами движения и свойствами составляющих их микрообъектов удается, если не хочешь впасть в regresus ad infini - tum , лишь тогда, когда последним не приписывают свойств и дви- жения макрообъектов. Это и осуществляется квантовой механикой, которая блестяще показала, что микрообъекты подчиняются совсем не тем законам, которым подчиняются макрообъекты. Но тогда твердость макротел, постоянство эталонов длины и времени и т. д., то есть те физические характеристики макрообъектов, без которых невозможны измерения и, следовательно, физическое познание, дол- жны получать и действительно получают свое обоснование в кван- товой механике как механике объектов на атомном уровне.

С другой стороны, человек — да позволено будет так выразить- ся — макроскопическое существо; он узнает о микромире только при условии воздействия микрообъектов на макрообъекты, которые чело- век присоединяет к своим органам чувств; эти макрообъекты (для человека они становится приборами) и дают возможность узнать че- ловеку о микромире опосредствованным путем. Таким образом, при познании микрообъектов человек не может не пользоваться класси- ческими понятиями, поскольку через них только он описывает пока- зания приборов, то есть поскольку при измерении он не может об- ходиться без применения классических теорий.

Таково коротко взаимоотношение квантовой и классической ме- ханики; оно подводит нас к пониманию того соотношения между основоположениями теорий физики, которое, как нам представляется характерно для физики XX века.

Отметим сначала, что механика атомного мира (квантовая ме- ханика) не только не сводится к механике макротел (классической механике), так же как теория электромагнетизма не сводится к клас- сической механике (как и не поглощает последнюю), но соотноше- ние между ними содержит нечто большее. Квантовая механика, как говорилось выше, является в известном смысле основанием класси- ческой механики; она обосновывает ее некоторые фундаментальные понятия, которые отражают свойства макроскопических объектов, следовательно, по отношению к этим понятиям она поступает ана- логично классической механике, в которой обосновываются аксио- мами производные понятия.

Система аксиом теории содержит основные понятия в их связях, которые в этой системе логически не обосновываются, а постули- руются на базе тех или других убеждающих соображений, прини- маемых во внимание при построении системы. В таком аспекте тео- рию называют неполной (и незамкнутой), но эта неполнота другого в принципе характера, нежели, скажем, та неполнота квантовой ме- ханики, которую имел в виду Эйнштейн, когда дискутировал с Бо- ром, о чем говорилось выше. Фундаментальные понятия в их свя- зях, образующие аксиоматическую систему теории, могут быть обос- нованы средствами более глубокой и широкой по сравнению с рас- сматриваемой теории, с новой аксиоматикой и т. д. В плане ло- гики статус «обоснованности» фундаментальных понятий в их свя- зях в аксиоматике теории сходен со статусом «непротиворечивости», «полноты» и т. д. аксиоматической системы, которые, как доказал Гёдель, «не могут быть обоснованы средствами этой системы». Или в более общей форме: основополагающие положения теоретической системы нельзя получить е е логическими средствами, но они мо- гут быть найдены логическими средствами более широкой и глубо- кой теории п . Если пользоваться той же логической терминологией, то можно сказать, что квантовая механика является своего рода метатеорией классической механики.

Так, например, теория тяготения Ньютона, как и классическая механика, не «задумывалась» над пропорциональностью или (при надлежащем выборе единиц) равенством тяжелой и инертной массы тела: классическая механика только констатировала, принимала как экспериментальный факт одинаковость ускорения различных тел в поле тяжести. Нахождение обоснования равенства тяжелой и инерт- ной массы, или, лучше сказать, основание положения, что тяжелая и инертная масса тела равны, означало выход за пределы теории тя- готения Ньютона и построение теории, которая была бы своеобраз- ной метатеорией по отношению к этой теории тяготения. Последнее и сделал Эйнштейн, создав новую теорию тяготения, или, как он ее назвал, общую теорию относительности. Мы скажем об этом сло- вами Эйнштейна, приведя некоторые выдержки из его работ, причем для нашей цели достаточно ограничиться намеками.

  • 11 В данном случае прекрасный материал имеется в работе В. А. Фока «Принципиальное значение приближенных методов в тео- ретической физике». «Успехи физических наук», 1936, т. XVI, вып. 8.

По поводу положения «тяжелая и инертная масса тела равны» Эйнштейн говорит, что классическая механика его «констатировала, но не истолковывала» (мы в данном случае пользовались выраже- нием: классическая механика не обосновывала, не находила основа- ния и т. д.). И Эйнштейн заканчивает: «Удовлетворительное истол- кование можно дать в следующей форме: в зависимости от обстоя- тельств одно и то же качество тела проявляется либо как «инер- ция», либо как тяжесть» [11]. Сформулировав эту идею, Эйнштейн дал, таким образом, обоснование эмпирически констатируемому в классической теории равенству тяжелой и инертной массы и положил на- чало своей теории тяготения. Следующая выдержка из работы Эйн- штейна «Что такое теория относительности» может служить иллю- страцией его основополагающей идеи: «Представим себе систему ко- ординат, которая равномерно вращается по отношению к инерциаль- ной (в ньютоновском смысле) системе. Центробежные силы, кото- рые проявляются относительно этой системы, должны быть, по Ньютону, приписаны инерции. Но эти центробежные силы, подобно гравитационным, пропорциональны массам тел. Нельзя ли в таком случае рассматривать нашу систему координат как покоящуюся и центробежные силы как гравитационные? Такая точка зрения ка- жется очевидной, но классическая механика не допускает ее» [12].

Если свести воедино все то, о чем говорилось, выражаясь ус- ловно, о теории и ее метатеории, тогда напрашивается следующее заключение. Парадоксы, которые возникают в теории и не могут быть разрешены ее логическими средствами, являются признаком того, что данная теория достигает границ своей значимости, а ее аксиоматика (аксиоматическое построение) — высшего логического завершения, возможного с точки зрения действительного содержания теории и ее аксиоматической формы. Такие парадоксы отличаются принципиально от парадоксов, возникающих в теории и разрешае- мых ее логическими средствами, то есть от таких парадоксов, кото- рые говорят о логическом несовершенстве теории (о неверности в рассуждениях или неточности в посылках). Наличие парадоксов в теории, не разрешаемых ее логическими средствами, свидетельствует о необходимости поиска более общих и глубоких теорий, средствами которых эти парадоксы могут быть разрешены (разрешение таких парадоксов обычно совпадает с построением отыскиваемой общей теории).

Итак, существование парадоксов этого типа означает, по суще- ству, что физическое познание объектов не задерживается на уров- не той или иной теории, а развивается, охватывая новые стороны материальной действительности и не отбрасывая уже достигнутого данной теорией знания. Существование парадоксов этого типа озна- чает и то, что теория, которая их содержит, но своими средствами не разрешает, в потенции включает более общую и глубокую, чем она, теорию. С этой позиции каждая аксиоматизированная теория необходимо и обязательно содержит такое знание, которое не мо- жет быть обосновано средствами этой теории. Без этого познание застыло бы на определенной точке, а достигнутое превратилось бы в метафизический абсолют.

Развитие теории современной физики обеспечивается генетиче- ским рядом теоретических систем, представляющих собой связанные определенными соотношениями замкнутые или логически строя- щиеся аксиоматические структуры, из которых в генетическом ряду более общая теоретическая система вырастает из более частной. Та- ким образом, единая аксиоматическая система всей физики в духе механических идеалов XVIII—XIX веков была похоронена разви- тием физической науки. Как показали, по существу, теоремы Гё- деля, такая система оказалась невозможной и с точки зрения ло- гики: логическое развитие теории и физической науки в целом выражается генетической иерархией аксиоматических систем, сочетающей и тенденцию стабильности и тенденцию изменчивости, которые при- сущи отдельным аксиоматическим системам и их совокупности.

Хотя единой аксиоматической системе (структуре) в духе клас- сической физики и положен конец, но в области идей больше, чем в какой-либо другой области, мертвый хватает живого. Единая ак- сиоматическая система возрождается и в современной физике, прав- да, в форме, казалось бы, далекой от своего «классического» об- разца. В наши дни в литературе можно встретить следующее пред- ставление о физической науке: физика строится как в принципе строгая, непротиворечивая аксиоматическая система, охватывающая все ее разделы, в которой исторически более ранняя теория (со своей аксиоматикой) является предельным частным случаем исто- рически более поздней теории, поскольку она оказывается более ши- рокой, чем первая. Со временем то же происходит и с последней теорией и т. д.

Когда обобщается теория, то есть совершается переход от част- ной теории к общей, то частная теория отнюдь не исчезает начи- сто в общей, а общая теория не становится единственно верной тео- ретической системой в физике, как это следует из представления о единой аксиоматике в физической науке. На самом деле частная теория сохраняется в общей, и сохраняется в модифицированном виде (это относится и к определенным понятиям частной теории): она остается в общей теории как приближенная теория, а ее поня- тия тоже сохраняются как приближенные. Таким образом, теория не отбрасывается с переходом ее к общей теории, а остается уже относительной истиной, то есть абсолютной истиной в определенных пределах.

Со всем этим связано разрешение вопросов (некоторые из них рассматривались выше): почему в поиске «неевклидовости» некото- рой пространственной формы необходимо использовать евклидову геометрию; почему о свойствах пространственно-временного конти- нуума мы узнаем из измерений локального пространства и времени; почему понятия классической механики применяются для описания экспериментов, которые являются опытным базисом квантовой ме- ханики, и т. п.?

Итак, мы убеждаемся в том, что диалектическое противоре- чие— источник всяческого развития и жизненности — действует и в аксиоматике.

[1] Мы имеем в виду статику, созданную Архимедом,

[2] С. К. Клини, Введение в метаматематику. М., ИЛ, 1957, стр. 32.

[3]Д. Гильберт. О понятии числа. В кн. «Основания геомет- рии». М. — Л., ОГИЗ, 1948, стр. 316,

[4] Н. Бурбаки. Архитектура математики. В кн.: «Очерки по истории математики». М., ИЛ, 1963, стр. 259.

[5] В. И. Л е н и н. Поли. собр. соч., т. 18, стр. 296.

[6] В. И. Л е н и н. Поли. собр. соч., т, 29, стр. 330.

[7] См.: А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. 3, М., 1966, стр. 604; Н. Бор. Собрание научных трудов, т. 2, М., 1971, стр. 180.

[8]Сам Максвелл полагал, что он руководствовался механиче- ской моделью эфира, но... иллюзии при определенных условиях ча- сто представляются чем-то реальным.

[9]См.: М. И. Под горец кий, Я. А. Смородинский. Об аксиоматической структуре физических теорий. Сб. «Вопросы теории познания», вып. 1, М., 1969, стр. 74.

[10]См.; Ньютон. Оптика, М., 1954, стр. 303.

[11]А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относитель- ности. Сб. «Физическая реальность». М., 1965, стр. 199,

[12] Там же, стр. 249—250.

СодержаниеДальше

наверх страницынаверх страницы на верх страницы









Заказать работу



© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования