В библиотеке

Книги2 383
Статьи2 537
Новые поступления0
Весь каталог4 920

Рекомендуем прочитать

Уинч П.Идея социальной науки и ее отношение к философии
Впервые опубликованная в 1958 году книга английского философа Питера Уинча (Peter Winch, 1926) «Идея социальной науки» оказала значительное воздействие на последующие исследования в области общественных наук в западных странах, стала классическим пособием для нескольких поколений специалистов. Она явилась первой работой такого рода, в которой был осуществлен синтез лингвистического подхода англо-американской аналитической философии и подхода «континентальных» философов, занимающихся проблемами истолкования социальных явлений (немецкой «понимающей социологии» прежде всего).

Полезный совет

Если у Вас есть хорошие книги и учебники  в электронном виде, которыми Вы хотите поделиться со всеми - присылайте их в Библиотеку Научной Литературы [email protected].

Алфавитный каталог
по названию произведения
по фамилии автора
 

АвторБунге М.
НазваниеФилософия физики
Год издания1973
РазделКниги
Рейтинг0.26 из 10.00
Zip архивскачать (923 Кб)
  Поиск по произведению

Г л а в а 8
Примеры аксиоматики и ее преимущества

Сейчас мы рассмотрим два сравнительно простых примера физической аксиоматики. Следует подчеркнуть, что они в одном важном отношении должны отличаться от систем аксиом в чистой математике. В самом деле, в то время как последние определяют целые семейства формальных объектов или структур, такие, как, например, решетки или топологические пространства, цель наших систем аксиом состоит в характеристике (а не определе- нии) видов конкретных объектов, а именно физических систем, которые, по предположению, имеют независимое существование. Поэтому, если специалист по матема- тической аксиоматике строит свою сеть аксиом безотно- сительно к реальному миру, то специалист по физической аксиоматике обязан оставаться в границах земного.

То есть, хотя физические аксиоматики и будут за- имствовать все необходимые для них математические идеи, они не могут до конца придерживаться аксиома- тического стиля чистой математики, которая сводит аксиоматизацию к определению некоторого сложного предиката, обычно строящегося на множестве теоретиче- ских компонент. Так, например, было бы неверно вводить понятие электрической цепи с помощью условия наподо- бие следующего:

Определения: структура / = ( G , Г, V, е, i , R , С, L , М), где G и Г— множества; V y е и г —функции от G X Т\ R , С, L —функция от G , а М — функция от G X G , пред- ставляет собой некоторую электрическую цепь, если, и только если (здесь следует список аксиом, характери- зующих математический статус и взаимные отношения перечисленных первичных терминов G , Т и т. д.).

Такую аксиоматическую дефиницию можно было бы квалифицировать и как математическую теорию, хотя и не очень интересную. Но ее нельзя квалифицировать как физическую теорию, потому что ей может удовлет- ворять любое число объектов, как формальных, так и конкретных, тогда как электрические цепи — вещи в своем роде единственные и, кроме того, находящиеся вне нас и не в нашей голове. Мы не можем строить физические системы на основе одного лишь воображе- ния, как это делают математики, изобретая те или иные математические пространства. В отличие от гильбер- това пространства любая электрическая цепь строится не из множества теоретических понятий, она не опре- деляется в рамках теории множеств и не конструи- руется с ее помощью, она строится из источников элек- трической энергии, проводов и т. д. Самое лучшее, что мы можем сделать, это дать правильное описание неко- торой цепи с помощью тщательно разработанных поня- тий и утверждений. Математикам, которые иногда пре- тендуют на роль верховных законодателей, возможно, не понравится эта процедура, и они потребуют, чтобы мы определили физическую систему в чисто математи- ческих терминах без каких-либо примесей семантиче- ских предположений, привязывающих ее элементы к внешним объектам К Но это чисто платонистская по- зиция. Кроме того, она основывается на полном непони- мании истинной цели физической аксиоматики. Напро- тив, целью физической аксиоматики является разъясне- ние особенностей физической теории вообще и главных характеристик частных физических теорий. И для этого она использует формальные инструменты, которые со- зданы совсем в другом месте — а именно в чистой мате- матике 2 .

  • 1 См ., например : Н . Freudental, Synthese, 1970, vol. 21, p. 93.
  • 2 Дальнейшее рассмотрение этого вопроса см. в: D . Salt , Foun - dations of Physics , 1971, vol . 1, p . 307,

Итак, за работу!

1. Первое упражнение в аксиоматизации. Теория цепей.

Мы сейчас займемся аксиоматизацией теории элек- трических цепей Кирхгофа — Гельмгольца. Начнем с перечисления предположений или предпосылок, пер- вичных понятий или строительных блоков, а также аксиом или постулатов.

Формальные предпосылки: обычная логика (исчис- ление предикатов с равенством), теория графов, эле- ментарный математический анализ, а также теоретико- множественные, алгебраические, арифметические и топо- логические теории, предполагаемые анализом.

Философские предпосылки: семантика (теория зна- чения и истины) и метафизические предположения научного исследования (например, независимость и интеллигибельность внешнего мира).

Протофизические предпосылки: элементарная теория систем, элементарная теория универсального времени, анализ размерностей.

Первичные понятия Т (время), G (граф), V (потен- циал), е (электродвижущая сила), i (сила тока), R (омическое сопротивление), С (емкость), L (само- индукция) и М (взаимная индукция).

1. Аксиомы времени

( la ) Т есть некоторый интервал действительной число- вой оси — [ FA ].

( lb ) Каждый член / множества Т представляет мгнове- ние времени, а отношение которое упорядочивает (ча- стично) Г, представляет отношение «быть раньше» или «одновременно» — [ SA ].

2. Аксиомы цепей

(2а) {С} есть непустое семейство ориентированных графов — [ FA ],

(2Ь) Для каждой электрической цепи существует член G семейства { G }, который представляет (моделирует) ее та- ким образом, что каждой клемме или соединению ста- вится в соответствие вершина G и каждому элементу приписывается определенное ребро графа G — [ SA ]

3. Аксиомы потенциала и тока

(За) ?, V и I являются действительными ограниченными функциями на множестве упорядоченных пар (ребро графа, t ) и непрерывными по t — [ FA ],

(ЗЬ) Если n есть ребро графа G g { G }, представляющего какую-либо электрическую цепь, тогда e n ( t ) — подведен- ное напряжение, V n ( t ) — электрический потенциал, а in (0 — силу электрического тока в п-й ветви цепи, пред- ставленной я-ым ребром графа G — [ SA ],

4. Аксиомы параметров

(4а) R , С и L являются действительными ограниченными функциями на Ge { G }, а М есть симметричная квадрат- ная матрица, каждый элемент которой — действительная ограниченная функция на G X G — [ FA ]. (4Ь) Если п и р — ребра графа Ge { G }, представляю- щего некоторую электрическую цепь, тогда R n пред- ставляет собой омическое сопротивление, С п — емкость и L n — самоиндукцию п-й ветви цепи, тогда как М пр пред- ставляет взаимную индукцию между п-й и р-й ее вет- вями — [ SA ].

5. Аксиомы законов

Если Ge { G } представляет цепь в равновесии (устойчи- вое состояние), тогда:

(5а) на каждой вершине G сумма токов вдоль ветвей, представленная ребрами графов, встречающимися на данной вершине, равна нулю — (РА); (5Ь) для любого контура G сумма потенциалов в вет- вях этого контура стремится к нулю (РА); (5с) для любого ребра п между двумя вершинами а и b графа G

L n (dinldt) + R n i n + (l /C n ) J dti n +

+ Ш пр (di p ldt) + e n =V n (a) - V n (b) - [ РА ].

Комментарии, ( i ) Наша система аксиом содержит четыре новых постулата, помимо обычных трех утвер- ждений от (5а) до (5с). Функции этих дополнительных аксиом с 1-й по 4-ю состоят в том, чтобы подготовить почву для появления утверждений о законах, которые в противном случае не будут иметь смысла. Иными сло- вами, предварительные аксиомы с 1-й по 4-ю специфи- цируют природу (но не соотношения) девяти первичных (неопределяемых) понятий теории. Эта спецификация является как формальной (математической), так и фак- туальной (физической). Первая задается аксиомами, именуемыми FA (формальные предположения), в то время как контуры содержания намечаются аксиомами, именуемыми SA (семантические предположения). В эври- стическом подходе эти дополнительные предположения лишь подразумеваются, но эксплицитно они не формули- руются, (и) Иногда теория дает лишь удобный (точный или наводящий) язык — как в случае теории информации в генетике. Если это так, то такая теория не будет пред- посылкой данной научной теории, за исключением, по- жалуй, эвристического аспекта. В нашем случае теория графов обеспечивает как язык, так и систематизацию тео- рем, облегчая поиски и доказательства тех или иных утверждений относительно цепей. Отсюда следует, что теория графов является неотъемлемой частью предпосы- лок теории цепей, ( iii ) Вторые члены каждой аксиомы группы с 1-й по 4-ю содержат ключевое в семантическом отношении слово «представлять». Так, аксиома (2Ь) от- нюдь не утверждает, что любая электрическая цепь не- посредственно является ориентированным графом, а го- ворит о том, что она представляется или моделируется последним. Основания для этого следующие: (а) графы являются не вещами, а идеями и (Ь) любой данный граф может представлять целый класс эквивалентных реальных цепей, ( iv ) Если бы это было не так, то пара- метры цепи в аксиоме 4 следовало бы рассматривать как числа. Эти аксиомы утверждают, что параметры цепи являются ее физическими свойствами. Поскольку это феноменологическая теория, т.е. теория черного ящи- ка, постольку она не говорит нам ничего о том, как и откуда возникают /?, С, L и М. Это задача механизмиче- ских теорий, таких, как теория Максвелла, электрохимия и теория твердого тела, ( v ) Два закона Кирхгофа соче- тают два различных аспекта теории цепей: топологиче- скую сторону и физическую. Еще лучше это видно с точ- ки зрения матричного представления. В этом представ- лении токи и потенциалы различных ребер сводятся в матричные столбцы i и V, на которые действуют так на- зываемая вершинная матрица А и матрица цепи В соот- ветственно. В этой формулировке законы Кирхгофа записываются: Ai = О и BV = О, где А и В суммируют топологические характеристики цепи, тогда как i и V являются физическими переменными К

  • 1 S. Seshu and М . В . Reed, Linear Graphs and Electrical Net- works, Addison-Wesley Publiching Co., Reading, Mass., 1961,

2. Второй пример: классическая теория гравитации

Перейдем теперь к аксиоматизации теории гравита- ции Ньютона — Пуассона. Это поможет нам понять ее отношение к классической механике, с которой ее часто путают.

Формальные предпосылки: логика и математический анализ (в частности, теория потенциала), а также теоре- тико-множественные, алгебраические, арифметические и топологические предпосылки анализа.

Философские предпосылки: семантические и метафи- зические предпосылки научного исследования.

Протофизические предпосылки: элементарная теория систем, анализ размерностей, теория универсального времени и физическая евклидова геометрия.

Первичная основа: М 3 (дифференцируемое трех- мерное многообразие), Т (время), S (тело), В (репре- зентативное тело), К (система отсчета), Г (поле), U (потенциал), X (положение частицы), р (плотность тела), Т (механическое напряжение), G (гравитацион- ная постоянная).

1-я группа аксиом: пространство и время (1.1а) М 3 есть трехмерное дифференцируемое многооб- разие ( FA ).

(1.1 b ) М 3 представляет обычное пространство ( SA ). (1.2а) Т есть интервал действительной числовой оси ( FA ).

(1.2Ь) Каждый член / множества Т представляет собой мгновение времени, и отношение которое (частич- но) упорядочивает Г, представляет отношение «быть раньше» или «одновременно с» ( SA ). 2-я группа аксиом: гравитационное поле

(2.1а) Г есть непустое множество ( FA ).

(2. lb ) Каждая у^Т есть гравитационное поле ( SA ).

(2.2а) { Uy } есть непустое семейство скалярных полей в М 3 ( FA ).

(2.2Ь) Для каждого у^Т имеется U y ^{ U y } такое, что U у есть действительная функция от М 3 X Т ( FA ).

(2.2с) Каждая U y ^{ U y } и ее производная первого по- рядка являются гладкими на М 3 ( FA ).

(2.2d) — VU y ( x y t ) представляет собой напряженность гравитационного поля уЕГ в хеМ 3 и t ^ T [ SA ].

•  G есть положительное действительное число ( FA ).

•  Для каждого у?Г и каждого cgS в любой точ- ке Х^М 3 , в любое мгновение (бГив (относитель- но) любой системе отсчета k ^ K

\7 2 U + 4 nGp = 0[ PA ].

3-я группа аксиом: тело и система отсчета (3.1а) 2 есть непустое счетное множество, не пересе- кающееся с множеством Г [ FA ]. (3. lb ) Каждое aGS есть некоторое тело [ SA ], (3.2а) В есть непустое семейство точечных множеств [ FA ].

(3.2Ь) Каждое J e B есть трехмерное дифференцируемое

многообразие [ FA ]. (3.2с) Для каждого аеИ существует Ь^В такое, что

Ъ представляет (отражает, моделирует) а точечным

образом [ SA ].

(3.3а) К есть непустое счетное множество, включенное в 2 [ FA ].

(З.ЗЬ) Расстояние между любыми двумя точками в лю- бой k <= К является постоянным [РА].

(3.3с) Никакое k е К не взаимодействует с каким-либо aGS , которое не является частью k [ PA \

(3.3 d ) Для каждого k ^ K в М 3 существует некоторая декартова система ортогональных осей е = (е\,е 2 , е 3 ), такая, чго (то есть е моделирует или отра-

жает k ) [ SA ].

(3.4а) {X} есть непустое семейство действительных век- торных функций от В X К X Т ( FA ).

(3.4Ь) Каждое Ig {X} является ограниченной вариацией для любого данного 6 е В и k ^ K ( FA ).

(3.4с) Если я является частицей а и если реб, а р = = я, тогда Х(р, k , t ) представляет расположение я относительно системы отсчета k в момент t ( SA ).

(3.5а) {р} есть непустое семейство функций [ FA ].

(3.5Ь) Каждая ре{р} есть функция, отображающая ВХ^ 3 Х^ в множество неотрицательных действи- тельных чисел, интегрируемая, по Лебегу, в любой конечной области М 3 [ FA ],

(3.5с) Если Ь = а, тогда p ( b , x , t ) представляет плот- ность массы а в х, t [ SA ].

(3.6а) {Т} есть непустое семейство функций [ FA ],

(3.6 b ) Каждое Т е {Т} есть действительная тензорная

функция с валентностью (2,0) по ВуКУМ^уТ [ FA \.

(3 .6с) Если ( ie B , a og 2 и рЕб и если я есть части- ца тела а и, кроме того, b = а, а р = я, тогда Г (Р, k , х, t ) будет напряжением в теле на частице я со стороны тела a [ SA ].

(3.7) Для каждого у ^Г, каждого b = а, каждого р <= ее {р}, каждого Хе{Х }, каждого Ге{Г }, каждого л:^М 3 и каждого / еГ существует по крайней мере одна fee /С, такая, что

рХ=-р V ?/ + ЛУГ[Л4].

Производные понятия Определение 1. Результирующая масса:

Ь^в=$М{в, /) = | d 4 g x ^{ b , х, t ) 9

dfX ( b , t )

причем

g = df Detg if .

Определение 2. Плотность гравитационной силы, дей- ствующей на тело а относительно системы k ^ K

f (°> k )= df — pvU .

Определение 3. Инерциальная система: любая систе- ма отсчета, в которой удовлетворяются постулаты 3, на- зывается инерциальной системой.

Среди бесконечного множества следствий, вытекаю- щих из предложенного множества аксиом, упомянем лишь следующие.

Теорема 1. Гравитационный потенциал точечной ча- стицы, обладающей массой М, равен

U ( r ) = GM / r .

Доказательство. Возьмем р(г) = Мб (г)/г 2 , где б есть функция Дирака в аксиоме 2.4, и выразим V 2 в сфери- ческих координатах.

Следствие. Сила гравитации, действующая на части- цу массы m со стороны поля, связанного с точечной ча- стицей массы М, равна

F = GmM ( X - r ) l \ X - r \\

Доказательство. С помощью теоремы 1 и определе- ния 2.

Теорема 2. Уравнение движения невращающейся ча- стицы массы m в поле точечной частицы массы М сле- дующее:

X = GM { X — r ) l \ X — rf

Доказательство. Поставьте теорему 1 в аксиому 3.7, положите Т = 0 и сократите р.

Следствие. При условиях, которые постулируются в теореме 2, и постоянных расстояниях между частицами

X = g= const,

причем

g = df GM(X-r)/\X-r?.

Логические отношения, которые были нами сейчас рассмотрены, наглядно представляются следующей схе- мой.

Опр .1 ¦

Уравнение поля<[ Теор. 1

о Уравнение движения

Закон силы

Теор. 2

Закон Галилея

Постоянные > расстояния /чежЭу части- цами

Комментарии, ( i ) Предшествующая система аксиом содержит всего лишь четыре физических предположе- ния: одно относительно жесткости и пассивности систем отсчета [аксиомы (З.ЗЬ) и (3.3с) соответственно], урав- нение поля [аксиома (2.4)] и уравнение движения [аксиома (3.7)]. Остающиеся 26 аксиом являются либо математическими, либо семантическими предположе- ниями, (и) Даже аксиома (2.3) относительно шкалы G гравитационного потенциала является математическим предположением. С другой стороны, утверждение, ка- сающееся размерности G , может рассматриваться как физическое предположение, ибо оно следует из утвер : ждений о законе в конъюнкции с анализом размерностей.

Поскольку оно является теоремой, постольку нет необ- ходимости вводить его в аксиоматические основания теории. Далее, утверждение относительно точного число- вого значения величины G также является физическим утверждением, но это не предположение, ибо оно сле- дует из законов в их конъюнкции с эмпирической инфор- мацией (например, данными относительно длины маят- ника и периода его колебаний). ( Hi ) Уравнение поля формально тождественно с классическим уравнением электростатической^ поля, что часто озадачивает начи- нающих студентов. Если бы не было различия в понде- ромоторных силах соответствующих полей, то мы были бы не в состоянии провести различие между этими дву- мя полями. Это дает основание для включения в теорию уравнений движения, ( iv ) Элементарное изложение этой теории обычно ограничивается наиболее известным фи- зическим законом, а именно теоремой 2, которая спра- ведлива только для точечных частиц. Попытки авторов учебников получить общее уравнение движения (3.7) ис- ходя из множества точечных частиц обречены на не- удачу по очевидным математическим причинам, ( v ) Ки- нетическое действие гравитационного поля не зависит от массы только в специальном случае, когда напряжен- ность поля характеризуется исчезающей дивергенцией. Это одно из тех ограничений, при которых статическое однородное гравитационное поле эквивалентно ускорен- ной системе отсчета. Если бы значение divT не было почти пренебрежимо мало и им зачастую не пренебре- гали бы из-за недостатка информации относительно Г, тогда, возможно, и не был бы открыт принцип эквива- лентности (в действительности одна из двух теорем, ко- торые входят под этим именем в общую теорию относи- тельности 1 ) и тем самым построение релятивистской теории гравитации было бы затруднено, ( vi ) Согласно уравнениям движения [аксиома (3.7)], кинетический эф- фект внутреннего напряжения, то есть divT / p , будет, если он отрицательный, противодействовать пондеромо- торному действию поля — VU , а в исключительных слу- чаях даже уравновешивать его.

  • 1 См .: М , Bunge, Foundations of Physics, 1967

Изложенных систем аксиом вполне достаточно, что- бы служить иллюстрацией к физической аксиоматике в духе сказанного в главе 7. Дополнительные примеры чи- татель сможет найти в нашей книге «Основания физи- ки» *.

3. Техника аксиоматизации

Никакой особой и изначально заданной техники для построения теорий не существует. Нельзя ни изобрести, ни запрограхммировать какую-нибудь машину для по- строения теорий даже при условии, что ее можно снаб- дить неограниченным количеством данных. Построение теорий является столь же творческим, неясным и не- управляемым процессом, как и создание поэмы или сим- фонии 2 . В то же время, например, имеются некоторые кустарные приемы, помогающие в не слишком сложных случаях релятивизировать и квантовать классические тео- рии. Специалист по теории относительности или кванто- вой механике, использующий эти приемы, ясно осознает качественные различия между такими теориями и дву- смысленности, возникающие при подобных переходах. Аналогично существуют и некоторые эвристические пра- вила для переформулирования физической теории аксио- матическим образом, однако успешное применение таких правил предполагает близкое знакомство с наивными или интуитивными формулировками, так же как и с их применениями. Поэтому выработать правила аксиомати- зации для машины вряд ли возможно.

Как только физическая теория создана и достаточно ясно сформулирована, она может быть затем аксиомати- зирована. Последовательность шагов, которая для этого требуется, имеет примерно такой вид:

  • 1 См . М . Bunge, Foundations of Physics, 1967.
  • 2 См. M . Бунге, Интуиция и наука, М., «Прогресс», 1967

( i ) Дать критический обзор основных существующих формулировок теории, имея при этом в виду, что даже в самых лучших из них могут быть пропущены весьма важные гипотезы, или, напротив, включены пустые, не- обоснованные предположения, или что теория в любой ее форме не отвечает современным стандартам логиче- ской и математической строгости, а ее физическая интер- претация неубедительна или даже противоречива.

(п) Отобрать все основные стандартные формулы, которые фактически используются специалистами, рабо- тающими в этой области. То есть нужно собрать все те наиболее общие утверждения данной теории, и только те, которые используются в решении важных типичных проблем. Основное внимание следует обратить на то, что люди делают с помощью этих теорий, а не на то, что они говорят по их поводу.

( Hi ) Упомянутые выше утверждения надо располо- жить в порядке их общности, начиная с тех (если тако- вые имеются), которые не специфицируют никакие част- ные модели. Они и будут кандидатами либо на роль центральных аксиом, либо на место главных теорем аксиоматической теории.

( iv ) Выделить главные понятия в отмеченных выше утверждениях. Некоторые из них будут первичными по- нятиями данной теории.

( v ) Произвести предварительное разделение множе- ства главных понятий на первичные и определяемые. Ко- нечно, нужно начинать с понятий, которые обозначают рассматриваемую физическую систему. В противном слу- чае вы можете так и не узнать, о чем идет речь.

( vi ) Переформулировать ключевые утверждения (о которых шла речь в третьем пункте) в терминах канди- датов в первичные понятия (о которых говорилось в пя- том пункте), используя при этом все необходимые логи- ческие и математические идеи.

( vii ) Тщательно рассмотреть предшествующее мно- жество утверждений и попытаться вывести более част- ные утверждения из более общих. Если нужно, следует добавить несколько дополнительных предположений. Те утверждения, которые не могут быть выведены таким способом, будут, вероятно, либо чуждыми теории, либо компонентами частной модели рассматриваемого пред- мета, но не ингредиентами общей теории.

( viii ) Собрать все доказывающие утверждения или предпосылки и отложить все доказываемые. Первые бу- дут принадлежать к аксиоматическому основанию тео- рии.

( ix ) Составить пересмотренный список первичных по- нятий, исследуя основные понятия утверждений, отобран- ных на восьмом шаге. (Некоторые новые исходные первичные понятия могут войти незаметно вместе с дополни- тельными предпосылками, введенными на седьмом этапе.)

(x) Изложить те математические и семантические условия, которым должны подчиняться первичные поня- тия для того, чтобы удовлетворять требованиям для кан- дидатов в аксиомы, которые были отобраны на восьмом этапе.

( xi ) Собрать все кандидатуры на роль постулатов, по- лученные на восьмом и десятом этапах.

( xii ) Перечислить все теории, утверждения которых считают предшествующими данной теории: они будут со- ставлять основу или фон для данной теории.

( xiii ) Собрать результаты девятого, одиннадцатого и двенадцатого этапов, то есть перечислить предположения, первичные понятия и аксиомы данной теории. Одно из возможных аксиоматических оснований данной теории будет готово.

( xiv ) Проверить, приводит ли предшествующее к стан- дартным формулам теории или же уже содержит их (шаг и). Если нет, то нужно рассмотреть список и допол- нить его новыми аксиомами или же, наоборот, вычерк- нуть некоторые из имеющихся аксиом.

( xv ) Проверить, не содержит ли система аксиом ка- ких-нибудь явно ошибочных следствий. Ес!ли содержит, то попытаться проследить их источники (производные и/или аксиомы) и видоизменить их, пока все нежела- тельное не будет устранено. Заменить их, если это необ- ходимо.

( xvi ) Проверить систему аксиом на непротиворечи- вость, независимость первичных понятий, независимость аксиом, а в конце и на другие метаматические свойства, если у вас еще осталась на это энергия.

Последний шаг — метаматематический анализ некото- рой системы аксиом — осуществляется редко. Причины отсутствия таких исследований ясны. Во-первых, мета- математические исследования часто очень трудно осуще- ствить. Во-вторых, специалисты в области исследований оснований науки обычно спешат заняться следующей тео- рией. В-третьих, они доверяют, хотя зачастую и ошибочно, своему чутью. Тем не менее систематическое исследова- ние свойств аксиоматических систем совершенно необхо- димо, являясь столь же благодарной задачей, как и ана- логичные исследования математических теорий, которые именно этим исследованиям обязаны все большей своей убедительностью и даже красотой.

Само собой разумеется, что рассмотренные выше пра- вила процедуры аксиоматизации должны применяться критически и с некоторым воображением, если мы хотим получить какие-нибудь существенные результаты. Рекон- струкция теорий отнюдь не механический процесс. Она требует известного чутья и опыта в поиске ключевых идей теории, а также равновесия между педантичной строгостью и полным ее отсутствием.

4. Свойства хорошей физической системы аксиом

Рассмотрим, какие свойства может иметь система аксиом, и попытаемся выяснить, какие из них желатель- ны в физике и почему.

( i ) Формальная непротиворечивость: система аксиом должна быть свободна от противоречий. В противном случае из нее будет следовать любое возможное утверж- дение, и поэтому ее можно использовать для доказатель- ства всего, чго угодно. В самом деле, из логической лож- ности следует все что угодно: если А ложно, тогда Л=>В будет логически истинным для всякого В. Поэтому, со- гласно определению импликации, из А будет следовать В, что бы В ни означало.

Каждый согласится, что условие формальной непро- тиворечивости является первейшим требованием рацио- нальности, и поэтому данному условию должна удовлет- ворять всякая теория. Тем не менее это условие часто нарушается. Так, широко распространено мнение, что теория поля может получить физическое значение только с помощью фикции пассивного пробного тела, которое должно дать возможность «операционального определе- ния» напряженности поля. В то же время признано, что пробное тело, которое само не воздействует на поле, не может удовлетворять уравнениям поля, а в случае поля излучения, свободного от вещества, пробное тело тем бо- лее выглядит очень странно. Ясно также, что функция пробного тела состоит не в том, чтобы обеспечить теорию поля значением, а в лучшем случае в том, чтобы прове- рить ее. Но и это является фикцией, поскольку любой реальный инструмент для измерения куда более сложен, чем мифическое пробное тело, пассивно движущееся вдоль силовой линии. В действительности же напряжен- ности поля (или соответствующие потенциалы) вводятся не путем дефиниций, а с помощью аксиом. Нечто подоб- ное случается всегда, когда пытаются определять физи- ческие значения в духе операционализма. В этих случаях происходит обычная путаница между референтом данной теории и методом ее проверки. При этом внимание пере- ключается с объекта, или референта, теории на не отно- сящиеся в данном случае к делу (иначе говоря, слишком конкретные) инструменты, которые якобы описываются данной теорией. Истина же состоит в том, что объясне- ние всякой реальной экспериментальной установки все- гда основано на совокупности теорий, как это и будет показано в 10-й главе.

(и) Дедуктивная полнота: система аксиом должна со- держать (как аксиомы) или получать в качестве вывода (как теоремы) все известные утверждения о законах из области, которую должна охватывать данная теория, на- пример уравнения движения, и/или уравнения поля, и/или уравнения состояния. Дедуктивная полнота обес- печивает максимальную степень истинности. В самом деле, утверждения о законах в любой области являются наилучшими из имеющихся способов концептуализации объективных структур, с которыми теория имеет дело. И в этом контексте «наилучшие» означает «наиболее истинные». Если некоторая система аксиом не охваты- вает какое-либо утверждение о законе в данной области, то ее нужно пополнить, либо добавив указанное утвер- ждение в качестве еще одной аксиомы, либо усилив неко- торые из уже имеющихся аксиом так, чтобы можно было это утверждение получить как их следствие. Требовав ние (слабой) дедуктивной полноты вполне оправданно, но выполнить его весьма трудно. Однако оно должно по крайней мере осознаваться как высшая цель аксиомати- зации. Не так обстоит дело с системой аксиом для кван- товой механики, которая формулируется математиками: им часто не удается включить в нее общее уравнение Шредингера или его эквивалент, и поэтому их система аксиом не позволяет что-нибудь предсказать. Было бы ошибкой квалифицировать как физическую теорию лю- бую систему аксиом, которая не касается физических систем, а имеет дело с математическими объектами или же с конкретными нефизическими объектами, такими, как наблюдения, и которая не содержит никаких утвер- ждений о законах.

Заметим, что наше требование слабой дедуктивной полноты относится лишь к утверждениям о законах. Оно не связано с условием, что из системы аксиом можно вы- вести любое утверждение в данной области. Физическая аксиоматическая система должна быть дедуктивно пол- ной именно в слабом, а не сильном смысле, иначе к этой системе не удастся присоединить никаких новых предпо- сылок и физическая аксиоматическая система осталась бы без применения и проверки. (В самом деле, если, имеется какое-либо утверждение s в определенной обла- сти знания., то s уже будет членом полной теории Г, опи- сывающей данную область, и таким образом s не может быть добавлено к Т. Другой возможностью было бы при- соединение к теории Т отрицания утверждения s , однако это привело бы к противоречию: теория Т\ которая была пополнена утверждением не- s , была бы противоречивой. Короче говоря, полная теория в сильном смысле не мо- жет быть пополнена, кроме того случая, когда выполне- ние этой задачи приведет к противоречивой теории. Экви- валентно: только неполные теории могут быть дополнены дальнейшими предпосылками без какого-либо риска, что это приведет к их противоречивости.)

В таком случае наши научные теории должны быть «^полными, с тем чтобы их можно было пополнить не утверждениями о законах, а вспомогательными гипоте- зами и данными. Такими, как, например, предположение о постоянном расстоянии между частицами, которое мы добавили в параграфе 2 к аксиомам классической теории гравитации для того, чтобы получить галилеев закон сво- бодного падения тел. В противном случае, то есть если бы наши теории были замкнутыми относительно внеш- них (но подходящих) предпосылок, они были бы непри- менимыми и непроверяемыми, ибо каждое применение и каждое испытание теории требует дополнительных утвер- ждений (то есть начальных условий, тех или иных значе- ний функций и т. д.), которые являются слишком кон- кретными, чтобы быть включенными в аксиоматическую систему. Полная теория может быть или башней из сло- новой кости, или некоторым приложением, теоретической моделью, н в обоих случаях неспособна охватить новые аспекты реальности. Одним словом, имеет смысл аксио- матизировать только ядро теории.

Во всяком случае, к полным теориям прийти трудно, а неполнота в сильном смысле желательна не только в физике, но иногда и в математике, поскольку дает воз- можность присоединять предположения иные, чем аксио- мы, и получать, таким образом, более частные теории. Так, одна из причин гибкости и широты применения об- щей теории групп заключается в возможности пополне- ния ее любым числом предположений, например предпо- ложением о коммутативности (чтобы получить абелевы группы) или условием конечности числа элементов и т.д. (О неполных теориях иногда говорят, что они не аксио- матизируемы, но это, вообще говоря, неверно. То, что не может быть полностью аксиоматизируемым, так это вся та область, которую такие неполные теории намереваются охватить.)

Далее, чтобы достигнуть дедуктивной полноты в сла- бом смысле (исчерпывающего охвата законов в данной области), мы должны построить сильную систему аксиом. То есть, если мы хотим получить достаточно богатую теорию, мы должны выбрать достаточно сильные аксио- мы, а для этого нам следует использовать сильные основ- ные (неопределяемые) понятия. Сильное понятие есть такое, которое подразумевает много других понятий, точ- но так же, как сильной аксиомой является такая, которая имеет много логических следствий. Поэтому при построе- нии системы аксиом нам не нужны высказывания о еди- ничном (суждения относительно конкретных предметов), и вообще при построении системы аксиом мы должны стремиться отбросить все частности. Конкретизация здесь столь же нелепа, как и установление в законодательном порядке диаметров трубопроводов. Эти вопросы должны решаться на уровне применений. Даже достаточно об- щие, но производные высказывания должны быть исклю- чены из списка кандидатов в систему аксиом. Так, на- пример, нет необходимости постулировать математически среднее, поскольку из статистического распределения можно получить не только усредненные значения, но с таким же успехом и все остальные статистические мо- менты. Одним словом, мы должны отдавать предпочте- ние логической силе, ибо, чем сильнее какая-либо идея, тем богаче ее содержание. Пусть эксперимент подрежет нам крылья, однако сначала они должны вырасти.

( Hi ) Полнота первичных понятий: аксиомы, помимо физических предположений, должны служить необходи- мыми и достаточными условиями для любого из базис- ных (неопределяемых) понятий данной теории для того, чтобы эти понятия имели и математический и физический смысл. Более того, каждая такая аксиома должна иметь смысл и сама по себе, так, чтобы ее можно было заме- нить или даже отвергнуть в поисках более совершен- ной теории или чтобы иметь возможность построить независимое от нее доказательство. Это требование мини- мума сложности. Поэтому мы должны иметь возмож- ность разложить, например, такое утверждение: «суще- ствует бинарная ассоциативная операция на множе- стве S » на: « S есть множество» и «существует бинар- ная ассоциативная операция», так как в противном слу- чае нельзя было бы найти модель (верную интерпрета- цию), в которой бы одно утверждение имело силу, тогда как другое нет.

Конкретизация математического статуса (множество, отношение, функция и т. д.) каждого первичного понятия является задачей математической, степень точности ре- шения которой зависит от общего уровня развития мате- матики. С другой стороны, задача придания физического смысла какому-нибудь символу редко решается доста- точно удовлетворительным образом как по техническим, так и по философским причинам. Техническая трудность, коротко говоря, заключается в следующем.-'Если в мате- матике некоторая теория обычно интрепретируется (если она интерпретируется вообще)в рамках некоторой другой теории (например, элементы группы интерпретируются как числа), то интерпретация физического символа со- стоит в приписывании ему некоторого внетеоретического объекта: или физической сущности (например, диэлек- трика), или физического свойства (например, диэлектри- ческой проницаемости). И такой физический коррелят или референт символа рассматривается как известный отча- сти благодаря этой же самой физической теории. Следо- вательно, приписывание физического значения не делает термин термином в полном смысле этого слова. Конечно, не нужно забывать формулировать семантические предположения, ибо они по крайней мере обрисовывают се- мантический профиль первичных понятий, но не следует думать, что они обеспечат символы ясно очерченным и полным значением. Резюме: физический смысл можно придать лишь теориям в целом, и даже в этом случае лишь в общих чертах.

Что же касается философских преград на пути реше- ния этой задачи, то их можно видеть в существовании не внушающих особого доверия философских теорий, со- гласно которым необходимо сводить каждый теоретиче- ский термин к комплексу лабораторных операций, вместо того чтобы исходить из теоретического объяснения по- следних. Так, некоторые физики, стремясь придать физи- ческий смысл общей теории относительности, но, к сожа- лению, смешивая при этом значение с проверяемостью, хотят заполнить всю вселенную линейками и часами, с которыми будут манипулировать вездесущие наблюда- тели. Поступая таким образом, они упускают из виду, что такое обилие измерительных инструментов и наблюда- телей внесло бы искажения в изучаемое ими поле, и забывают, что добавление воображаемых элементов не делает теорию более реалистичной. Если какая-то теория должна быть физической, то ее следует интерпретировать именно в физических терминах: то есть не с помощью операций, совершаемых человеком, но таким образом, чтобы интерпретационные предположения приписывали (основным) символам предположительно объективные референты и чтобы эти предположения (которые могут оказаться ложными) не противоречили остальным пред- положениям данной системы аксиом.

( iv ) Независимость первичных понятий. Основные по- нятия некоторой системы аксиом должны быть независи- мыми, то есть они не должны определяться друг через друга. (Если бы какое-либо из них определялось с по- мощью других основных понятий, тогда оно не было бы первичным понятием.) Значение этого свойства аксиома- тической системы не столько в экономии, сколько в том, что оно сосредоточивает наше внимание на логическом базисе, предотвращая тем самым движение по кругу, как, например, попытку определить массу в виде отноше- ния ускорения к силе (на основе ньютонова закона дви- жения), а затем определить силу через произведение мас- сы на ускорение.

( v ) Независимость постулатов. В идеале различные аксиомы теории не должны выводиться друг из друга. (Если бы одна из них была выводима из некоторых дру- гих аксиом данной теории, то в таком случае она была бы ее теоремой.) Это условие является важным в первую очередь потому, что оно облегчает изменение и пере- стройку теории в процессе развития знания. Ибо если имеются аксиомы, ответственные за ошибочные след- ствия, то их можно выявить и устранить, сохраняя при этом остальные аксиомы. Одним словом, независимость постулатов способствует прогрессу в развитии теории.

5. Нежелательные характеристики

Итак, нами было отмечено пять желательных харак- теристик физической системы аксиом. Упомянем теперь о нежелательных. Одна из таких характеристик, а именно полнота в сильном смысле, уже упоминалась. Родствен- ным свойством является свойство категоричности или, скорее, жесткости, негибкости. Категоричной теорией яв- ляется такая, для которой любые две модели (истинные интерпретации) лежащего в ее основе абстрактного фор- мализма являются изоморфными (структурно тожде- ственными). Далее, необходимое условие изоморфизма заключается во взаимооднозначном соответствии между подобными множествами. Но такая жесткость в физике нам не нужна. Например, даже если две теории имеют формально тождественные исходные формулы (напри- мер, волновые уравнения), они тем не менее вполне мо- гут относиться к совершенно различным видам физиче- ских систем, которые, будучи концептуализированы, не обязательно должны быть подобными.

Что можно сказать о простоте, в частности формаль- ной простоте, или экономии формы? Обычно утверждают, что любая теория должна иметь максимум формальной простоты в смысле минимально возможного числа пер- вичных понятий и аксиом. Однако это требование необ- ходимо ограничить и дополнить условием, что минимиза- ция основных идей (первичных понятий и аксиом) дол- жна быть совместима и со слабой дедуктивной полнотой первичных понятий. Иначе упрощение может увести нас слишком далеко от истины. Во всяком случае, то, к чему мы стремимся, должно иметь оправдание, а нцкакогд разумного оправдания для формальной простоты пока не дано, за исключением того, что она удобна.

Тем не менее можно видеть одно из таких оправданий в том, что простота уменьшает возможность ошибки, и в частности скрытого противоречия. Так, например, если мы можем вывести основные законы поля только из ва- риационного принципа (дополняемого математическим и семантическим обрамлением), то едва ли мы столкнемся с проблемой непротиворечивости- (точнее говоря, бремя доказательства непротиворечивости будет переложено на плечи математика). Но если это так, то, значит, простота сама по себе не может быть целью. Что касается других видов простоты — семантической, эпистемологической, методологической и прагматической *, то они могут от слу- чая к случаю иметь ценность, до тех пор пока они не вступают в конфликт с другими желательными характе- ристиками теории, главным образом с непротиворечи- востью и слабой дедуктивной полнотой, которая вклю- чает и максимальную истинность. В конце концов цель научного исследования не в угождении философским предрассудкам, таким, как упрощение или неприязнь к теориям, а в стремлении понять вещи такими, какие они есть на самом деле, даже если эти вещи упорно придер- живаются своей вредной привычки быть, как правило, гораздо сложнее, чем нами предполагалось первона- чально.

  • * М . Bunge, The Myth of Simplicity, New York, 1963

При любых обстоятельствах числа первичных понятий теории не может быть произвольно сокращено из-за уг- розы довести улучшение теории этим методом до ее пол- ной бесполезности. Минимальный элементарный базис качественной физической теории построен из двух поня- тий: класса референтов (множества физических сущно- стей, которые описывает теория), а также еще одного члена, который мог бы быть отношением или операцией на множестве, например физическим сложением или на- ложением двух произвольных элементов этого множе- ства. В противном случае теория не могла бы содержать утверждения о законе, например о коммутативности физи- ческого сложения. Количественная теория требует по мень- шей мере трех первичных понятий: класса референтов и еще двух других, которыми могут быть дополнительное множество и числовая функция ОТ топологического произведения этих двух множеств. Например, относи- тельно простейшей количественной формулы мы можем полагать, что она имеет следующий вид:

dP / dt = 0 9

где Р символизирует некоторое свойство и является дей- ствительной функцией от 2 X Т, причем 2 будет множе- ством референтов, а Т — множеством моментов времени.

Итак, любая теория с двумя первичными понятиями нуждается по крайней мере в пяти аксиомах: одном фи- зическом предположении относительно двух первичных понятий и двух нефизических (математических или семан- тических) предположениях для каждого первичного по- нятия, а также одной математической и одной семанти- ческой аксиоме. Вообще, N первичных понятий требуют минимум 2 N + 1 аксиом. Существует минимум простоты: обычно невозможно сжать все математические свойства некоторого понятия в одном-единственном утверждении, если, конечно, не прибегать к трюку соединения несколь- ких аксиом. (Этот трюк был применен в параграфе 1. Аксиома (3) на самом деле является соединением трех аксиом.) Не удивительно тогда, что даже элементарная теория, такая, как ньютонова механика материальной точки, которая имеет восемь независимых основных спе- цифических понятий, должна была содержать более двух дюжин аксиом, когда их все удалось выписать по отдель- ности

6. Преимущества аксиоматик

Имеется по крайней мере десять хороших доводов в пользу аксиоматического подхода к физической теории:

  • 1 М 4 Bunge, Foundations of Physics, 1967

( i ) В явном виде устанавливаются определенные предположения, которые тем самым можно постоянно контролировать. В том виде аксиоматик, который отстаи- вается в данной работе, предпосылки теории — как фор- мальные, так и неформальные — выявляются с самого начала и могут быть сохранены в памяти для возможной критики и коррекции. Пример: иногда утверждают, что квантовая механика предполагает классическую. С другой стороны, известно, что эти две теории взаимно не- совместимы. Подобной ошибки можно избежать благо- даря аксиоматизации квантовой механики, которая исключает подобную зависимость.

(и) Референт теории удерживается в центре внима- ния. Любое научное утверждение, если оно не сформули- ровано в деталях, может, видимо, не касаться какой бы то ни было реальной сущности или даже допускать про- извольную интерпретацию своего содержания. Но если в аксиомах ясно утверждается, что все аргументы (или индексы) функций, которые появляются в утверждениях, реально существуют, ошибок такого рода, вероятно, удастся избежать. Пример: часто высказывают мнение, что квантовая механика говорит нам не об автономно существующих физических системах, а об измерениях, или о неанализируемых далее блоках объект — прибор — субъект, или о нашем знании, или даже о высказыва- ниях. Так, догматически утверждается, что каждый гамильтониан можно мыслить как репрезентацию измере- ния энергии, даже если очевидно, что данный гамильто- ниан относится к независимой системе и из него нельзя извлечь никакой информации о том, как выполнить по- добное измерение. В любой аксиоматизированной форму- лировке такие ни на чем не основанные утверждения исключены.

(Ш) Приписывание значений происходит системати- чески, непротиворечиво и буквально, а не беспорядочно, несовместимо и метафорически. Любой не замкнутый контекст допускает произвол, поэтому приписывание значения по аналогии и есть прибежище для двусмыслен- ностей и противоречий. В любом аксиоматизированном контексте подобный риск сводится к минимуму при усло- вии существования в нем семантических аксиом. Пример: обычно в учебниках по квантовой механике величине 'АХ' дается множество взаимно несовместимых интрепре- таций: среднее стандартное отклонение, субъективная не- точность, ошибка измерения, ширина волнового пакета и т. д. Причем лишь немногие из этих интерпретаций совместимы с интерпретациями, приписываемыми осталь- ным символам этой теории. Например, не может быть и речи о субъективной неточности, если субъект не вво- дится явным образом. Но в то же время любая аксиома- тическая формулировка квантовой механики ограничится одной-единственной интерпретацией 'Л^', более того, та- кой интерпретацией, которая совместима с интерпрета- цией, приписываемой как 'АХ\ так и другим символам, то есть эта интерпретация не будет случайной игрой обстоятельств (см. гл. 5).

( iv ) Аксиоматика даст возможность открыть новые дополнительные теоремы. Если начальные предпосылки данной теории изложены достаточно ясно и на лучшем из доступных математических языков, число ее теорем бу- дет увеличиваться, то есть область известного теории должна расти. Пример: после аксиоматизации несколь- ких разделов классической физики в этой области не- давно было получено несколько новых теорем 1 .

  • 1 С . Truesdell, Six Lectures on Modern Natural Philosophy, Springer-Verlag, New York 1966; Rational Thermodinamics, McGraw- Hill, New York, 1969,

( v ) Сводятся к минимуму несостоятельные доказа- тельства. При доказательстве какой-либо теоремы в не- замкнутом контексте возникает искушение (часто оправ- данное) опереться на любые предпосылки, какие только могут помочь. Это перекрестное опыление иногда дей- ствительно оказывается плодотворным, приводя к новым ценным идеям, но оно может завести в тупик. В физике, представляющей собой систему теорий, многие из кото- рых взаимонесовместимы, на это обстоятельство надо обращать особое внимание. Пренебрежение границами становится особенно опасным, буть то в физике или в ма- тематике, когда речь заходит о проверке метаутвержде- ний, в частности утверждений относительно теории в целом, ибо в этом случае рассматриваемая теория должна быть ясно «определена», то есть она должна быть сформули- рована аксиоматически. Пример: все рассуждения по по- воду «виртуальных» процессов в атомной и ядерной фи- зике, а также в физике элементарных частиц несостоя- тельны, так как они основываются на так называемом четвертом соотношении неопределенностей Л?-Д^ ^ й/2, которое бессодержательно, поскольку время в квантовой механике есть переменная без дисперсии (см. гл. 2, § 2). В результате мезонная теория ядерных сил оказывается ненадежной, так как она предполагает, что механизм сильных взаимодействий заключается в обмене пионами, который происходит как обратимое преобразование протона в нейтрон и положительный пион. Эти процессы не- возможны, потому что они нарушали бы закон сохране- ния энергии. В самом деле, массы нуклонов примерно одинаковы, а масса пиона равна примерно 140 Мэв. Но именно эти обмены и перенос пиона рассматриваются как источник стабильности ядра. Они именуются вирту- альными (а не фиктивными) и оправдываются при по- мощи четвертого соотношения неопределенностей, кото- рое само по себе является неправомерным. Оправдание состоит в следующем: полагая Д? = 140 Мэв (что до- вольно странно, поскольку в данном случае никакой дис- персии нет), получают Л* > 10~ 24 сек. А это слишком ко- роткий период для того, чтобы можно было наблюдать нарушение закона сохранения энергии, то есть для того, чтобы нарушение было реальным в операциональном смысле. Все это построение рушится после того, как мы осознаем, что оно покоится на не имеющем смысла чет- вертом соотношении неопределенностей.

  • 1 Е . W. Bastin (ed.), Quantum Theory and Beyond, Cambridge University Press, 1971,

( vi ) Удается уменьшить число ненужных доказа- тельств. В незамкнутом контексте часто возникает со- блазн искать доказательства, которые оказываются вовсе не необходимыми или, даже более того, не всегда имеют смысл в данном контексте. Пример: утверждение, что не существует скрытых переменных, строго говоря, не имеет смысла. Смысл имеет лишь релятивизированное утверж- дение, согласно которому скрытых переменных нет в стан- дартной квантовой механике, ибо это утверждение может быть проверено (и доказано) путем тщательного рассмот- рения основных динамических переменных данной теории, исследование которой предполагает ее аксиоматизацию Часть дискуссий относительно скрытых переменных можно было бы предотвратить, если была бы достигнута подлинная аксиоматизация квантовой механики. Тем са- мым современные дискуссии 1 о возможности выхода за пределы квантовой механики либо в направлении даль- нейшего усиления стохастических ингредиентов, либо, на- против, в сторону их ослабления получили бы несом- ненную помощь от ясной и убедительной аксиоматиче- ской формулировки, на основе которой можно было бы точно знать, что следует изменить для обобщения квантовой механики и какие виды новых переменных должны быть для этого введены.

( vii ) Получает отставку утопический рационализм. На- ивный рационалист стремится определить каждое поня- тие и доказать каждое утверждение. Но это в конечном счете ведет либо к движению по кругу, либо к бесконеч- ному регрессу. Подлинная рациональность требует при- нять, по крайней мере pro tempore (временно), некоторое множество неопределяемых понятий и недоказуемых утверждений, ибо они позволят нам логически вывести, и тем самым подтвердить, все остальные. Конечно, это в целом делается не на веру и позднее должно быть оправдано. Оправданием для введения первичного поня- тия служит его роль в теории, а оправданием аксиомы будут вытекающие из нее (обычно в совокупности с дру- гими предпосылками) теоремы, которые объясняют или предсказывают что-то. Пример: обыкновение начинать изложение со списка дефиниций есть несомненное свиде- тельство утопического рационализма. Именно таким об- разом многие пытаются логически вывести квантовую механику либо из классической физики, либо из чисто математических теорий.

( viii ) Приобретается эвристическая проницательность. Аксиоматическая теория, экспонируя свои предпосылки, наводит на мысль попробовать устранить некоторые из них, с тем чтобы заменить их на другие или обойтись без этого, с целью посмотреть, что «случится», то есть как данная процедура воздействует на множество след- ствий. Если какой-то постулат будет вычеркнут, то будут утеряны и некоторые теоремы. Если же он будет заме- нен другим предположением, то некоторые теоремы пре- терпят изменение. Во всяком случае, будет сформули- рована некая новая теория. Пример: таким путем были построены неевклидовы геометрии.

( ix ) Облегчается возможность анализа. Как правило, в контексте, который четко не фиксируется, какой-либо анализ физических идей попросту отсутствует. Отсут- ствует даже обычная для аксиоматического контекста дискуссия относительно определимости. При таком под- ходе ничего нельзя привести в порядок, ибо вполне воз- можно, что одно понятие будет неопределяемым в одной системе и определяемым в другой. Точно так же некото- рые гипотезы могут предполагаться в одной теории и выводиться в другой. Анализ незамкнутого контекста по необходимости является неполным и неточным. Он пре- небрегает основными идеями и вводит не относящиеся к делу понятия, и во всяком случае оказывается не в со- стоянии обнаружить точную форму и значение символа, так как, чтобы добиться этого, необходимо построить, хотя бы начерно, систему аксиом. Пример: можно было бы обойтись без недоразумений по поводу определения понятия времени с помощью необратимых процессов, если была бы построена аксиоматическая теория време- ни или по крайней мере выполнена аксиоматизация теории необратимых процессов. Первая теория продемон- стрировала бы, что универсальное понятие времени, при- менимое в любой области физики, не следует привязы- вать к какому-либо специальному процессу. А вторая хотя бы начерно, систему аксиом. Пример: можно было написать уравнения необратимых процессов, необходимо было бы иметь некоторое понятие времени 1 .

  • 1 М . Bunge, Studium Generale, 1970, vol. 23, p. 562.
  • 2 К . H, M а г i w а 11 a, American Journal of Physics, 1969. vol. 37. p. 1281

(х) Исчезает привычка вносить изменения в отдель- ные формулы вне контекста. Вспомним об утверждениях некоторых авторов, что специальная теория относитель- ности якобы санкционирует гипотезу о существовании частиц, движущихся со сверхсветовой скоростью (тахио- нов). Эти утверждения выдвигаются на том основании, что подобное предположение согласуется с определением импульса в релятивистской механике. Возражение, кото- рое напрашивается здесь с точки зрения аксиоматики, со- стоит в следующем. Тахионы, как и многие другие не- обычные вещи, могут, пожалуй, существовать реально, но тогда они будут подчиняться какой-то другой теории, от- личной от релятивистской механики с ее преобразования- ми Лоренца, которым тахионы не подчиняются 2 и кото- рая неприменима к случаю мнимых траекторий. Для v > с не существует действительных траекторий для дей- ствительных сил, если воображаемому тахиону не припи- сывать мнимую массу, которая не имеет физического смы- сла. Такова же судьба предположения о существовании частицы с мнимым электрическим зарядом. Верно, что они могли бы взаимодействовать с помощью реальных куло- новых сил, но, согласно стандартной электромагнитной теории, они не смогли бы взаимодействовать с обыч- ными заряженными частицами и были бы не в состоя- нии излучать электромагнитные волны. Вообще го- воря, в то время как любая данная формула (если она берется изолированно) может быть модифицирована ab libitum (как угодно), теория в целом не может быть из- менена с той же легкостью, поскольку она представляет собой систему взаимосвязанных компонент. Именно по- этому вполне оправданно приписывать теориям в целом или гипотетико-дедуктивным системам большую степень правдоподобия, нежели случайным предположениям.

( xi ) Дает возможность упразднить числовую экви- либристику. С помощью чисто формальной игры с фи- зическими константами и другими числами вполне воз- можно получить множество чисел, которые выглядят так, как если бы они имели важное физическое значе- ние. Пифагорейские игры такого рода были популярны в 30-х годах нашего столетия, и мы можем снова к этому вернуться, если не научимся мыслить в терминах теорий в целом. В самом деле, требование аксиоматизации обна- руживает отсутствие смысла в таких играх, поскольку показывает: (а) что они'едва ли приводят к каким-либо утверждениям о законах и (Ь) в них не удается ясно ука- зать референты используемых символов. (Относительно тривиальности игры с числами см. гл. 3.)

( xii ) Делает возможной метаматематическую про- верку. Пока теория не аксиоматизирована, нельзя быть уверенным, обладает ли она какими-либо метаматемати- ческими свойствами (например, непротиворечивостью), которые ей приписываются, или нет. (Аксиоматизация в этом случае необходима, но недостаточна. Даже в ма- тематике обычно удается в лучшем случае получить до- казательство лишь относительной непротиворечивости. Так, можно доказать, что евклидова геометрия является непротиворечивой, выводя ее из предполагаемой непроти- воречивости системы действительных чисел.) Пример: существующие доказательства эквивалентности (изо- морфизма) матричной и волновой механики являются эвристическими, а не строгими по следующим двум при- чинам. Во-первых, само определение изоморфизма должно быть построено ad hoc для каждого вида тео- рии. Так, определение изоморфизма для теории, базис первичных понятий которой состоит из множества и

Отношений, отличается от аналогичного определений ДЛИ теории с базисом из двух множеств. Во-вторых, в то время как это доказательство было дано, аксиоматиче- ской формулировки квантовой механики еще не было. Следовательно, можно сомневаться вместе с Дираком в том, являются ли обе формулировки на самом деле эквивалентными. Иногда нечто подобное утверждается и в связи с фейнмановской формулировкой квантовой механики с помощью понятия интегралов по путям в ее отношении к стандартным формулировкам.

( xiii ) Способствует лучшему запоминанию. Психоло- ги-экспериментаторы показали, что хорошо организо- ванная система знания гораздо легче запоминается, чем множество терминов без всякой очевидной связи. Дей- ствительно, в недавней экспериментальной работе Мил- лера было показано, что «наше запоминание ограниче- но количеством единиц, или символов, которыми мы должны овладеть, а не количеством информации, кото- рую эги символы представляют. Поэтому полезно орга- низовать материал в форме, доступной пониманию, пре- жде чем пытаться его запомнить. Процедура организации позволяет нам упаковать то же самое количество ин- формации в гораздо меньшее число символов и тем са- мым сильно облегчает задачу ее запоминания» К По-* скольку наша способность запасать и хранить информа- цию довольно-таки ограниченна, следовало бы восполь- зоваться психологическими преимуществами, сохраняя в памяти лишь центральные аксиомы и немногие ти- пичные теоремы той или иной теории вместо пестрого конгломерата различных высказываний. Педагогические возможности аксиоматического подхода рассматри- ваются в § 8.

Обратимся теперь к претензиям, которые обычно вы- сказываются по отношению к аксиоматике.

7. Стандартные возражения против аксиоматики

Основные возражения в адрес аксиоматического под- хода, по всей видимости, следующие.

  • 1 J. А . М i 11 е г , The Psychology of Communication, Basic Books, New York, 1967, p, 12.

Возражение 1. Аксиоматика не дает нам картины процесса фактического построения теории. Следователь- но, она не может научить нас, как строить теорию.

Ответ на возражение. Все это верно, но не относится к делу. Анализ фактического процесса исследования ка- сается методологов, психологов, историков науки и био- графов (см. гл. 7, § 1). Никто не может одновременно добиться и историчности и систематичности, ибо это два разных полюса. Работают или над тем, как получить достаточно краткую формулировку теории, или над тем, чтобы наилучшим образом осветить историю ее концеп- ций— зигзагообразного процесса, полного самых разных и иногда неясных устремлений, так же как и не отно- сящихся к делу, противоречивых и даже ложных шагов. Это не дефект аксиоматического метода, а, напротив, его достоинство, ибо он дает в завершенном виде про- дукты общественного потребления, для использования которых не требуется предварительного знакомства с биографиями ученых, занятых выбором целей исследо- вания, а также построением, применением и проверкой данной теории.

Возражение 2. Аксиоматизация — это скорее пере- краивание, а не оригинальный труд. Это работа для авторов учебников, а не для творческих исследова- телей.

Ответ на возражение. Математики этого мнения не разделяют. Они рассматривают аксиоматизацию геомет- рии Евклидом, аксиоматизацию арифметики Дедекиндом и Пеано, аксиоматизацию теории вероятностей Колмого- ровым и многочисленные системы аксиом Бурбаки как оригинальные работы. Они полагают, что эти аксиома- тизации (а) раскрывают в теориях существенные идеи и логические отношения, (Ь) проясняют и очищают эти идеи и таким образом (с) содействуют дальнейшему развитию теорий. Так, до работы Колмогорова по тео- рии вероятностей и теории меры, лежащей в ее основе, в центре внимания исследователей, работающих в этой области, были главным образом так называемые после- довательности Бернулли и утверждения, к ним отно- сящиеся, такие, как закон больших чисел и принцип (теперь теорема), согласно которому для таких (весьма частного вида) последовательностей не следует ожидать систематических отклонений от вероятности. Хотя это очень важные теоремы, Они не являются логически фун- даментальными, поскольку касаются частного случая (последовательностей Бернулли), и если все внимание сосредоточить только на них (как это и сделал фон Ми- зес), то можно прийти к ложным идеям относительно общности теории вероятностей и ее логической структу- ры. Итак, если математики признали ценность аксио- матики, то почему физики должны ее отрицать. (К слову сказать, что дурного в написании учебников? Почему хорошие учебники должны цениться меньше, чем плохие статьи?)

Возражение 3. Аксиоматики бесплодны. Новые зако- ны открываются с помощью эвристических процедур, а не аксиоматических реконструкций того, что уже извест- но. И новые проблемы решаются путем применения и расширения существующих теорий, а не путем пере- краивания их.

Ответ на возражение. В основном верно, но не со- всем. Действительно, (а) сама аксиоматизация — это нов- шество, выявляющее неизвестные до того или скрытые черты, и (Ь) аксиоматизация обладает и некоторой эв- ристической силой, так как она способствует расшире- нию границ применимости уже имеющихся теорий, а так- же их критике и замене более совершенными теориями (см. § 6). Более того, указанное возражение не затра- гивает сути дела, ибо главная цель аксиоматики состоит не в отыскании новых законов, а в их правильном рас- положении. Эта цель состоит не в решении новых про- блем в рамках теории, а скорее в ответах на вопросы по поводу теории. В самом деле, вторая цель аксиома- тики связана с совершенствованием нашего знания о теориях, ибо ясное различие между ними по структуре и содержанию можно провести лишь после аксиомати- зации ?и только тогда возможно, например, сравнить и оценить между собой различные конкурирующие теории (см. гл. 9). Даже если аксиоматизация какой-либо тео- рии не делает ее более плодотворной, то есть не дает ей большей широты охвата и глубины, она все равно придает ей большую точность и понятность, давая воз- можность лучше оценить достоинства и недостатки той или иной теории, стимулируя тем самым плодотворные, а не только вызывающие раздражение дискуссии по этому вопросу. Кроме того, аксиоматизация помогает лучше раскрыть и роль философии, которая связана с данной теорией.

Возражение 4. Аксиоматизация — это смирительная рубашка, она препятствует дальнейшему развитию тео- рии.

Ответ на возражение. Как раз напротив, ясное очер- чивание предпосылок теории облегчает получение даль- нейших следствий, а также критику и оценку теории. До тех пор пока теория окутана неопределенностью и путаницей, она будет предметом бесконечной и бесплод- ной полемики. Если теория пуста, тогда ее аксиоматиза- ция покажет это недвусмысленным образом; если же в ней содержатся зародыши ценного, то их можно будет лучшим образом вырастить и защитить от вредных влия- ний, разместив в явном и упорядоченном виде все ком- поненты теории, как хорошие, так и плохие.

Возражение 5. Аксиоматика авторитарна. Называя аксиомами то, что является всего лишь гипотезами, мы ощущаем благоговейный трепет, критическое мышление притупляется, и мы начинаем верить там, где следовало бы сомневаться.

Ответ на возражение. За этой позицией не стоит ни- чего, кроме суеверного страха перед словами и незна- ния как этимологии, так и современного значения слова «аксиома». Греческое слово ' aJicojLia в точности подобно латинскому слову postulatus и означает «запрос». Вот это и должны означать для нас термины «аксиома» и «постулат», после того как мы освободимся от философ- ского догмата, согласно которому аксиомы должны быть чем-то самоочевидным и находиться вне критики. За- писывая формулу и называя ее аксиомой, мы всего лишь просим рассмотреть и исследовать все, к чему она имеет отношение, а не поверить ей, принять ее во вни- мание, а не просто принять на веру. Иными словами, тот факт, что мы удостаиваем предварительные гипотезы титула аксиом, вовсе не означает, что мы пытаемся, ис- пользуя благоговейный страх перед ним, подавить вся- кую критику. Записывая наши начальные предположе- ния в явном виде, мы готовим основу для плодотворной полемики, и в первую очередь полемики с самими со- бой, так как первое, что нам следует сделать с любой системой аксиом, так это найти и проверить, что из них следует. Если же мы отказываемся экспонировать в явном и отчетливом виде все наши предположения (гипотезы), то, видимо, не остается ничего другого, кроме как заподозрить нас в нечестной игре. Аксио- матика означает тщательное рассмотрение, критику и диалог.

Возражение 6. Аксиоматика по-своему ограничена, но если так, то зачем обязательно к ней стремиться? В самом деле, любая плодотворная теория неполна. Это, во-первых (см. гл. 7). Во-вторых, аксиоматика не дает нам никаких указаний, как проверять теорию.

Ответ на возражение. Оба возражения правильны. Тем не менее оба они бьют мимо цели, поскольку огра- ниченность средств еще не означает их бесполезность. Что касается неполноты в метаматематическом смысле, которая присуща каждой богатой теории, то здесь нуж- но иметь в виду следующее: (а) математик сталкивается с теми же самыми ограничениями, но они не отпуги- вают его от использования аксиоматического подхода; (Ь) мы можем применять термин «полнота» и в более слабом смысле. Мы можем сказать, что физическая тео- рия является дедуктивно полной в слабом смысле, если она содержит все стандартные теоремы в исследуемой области (см. § 4, п. 2). Что же касается замечания о том, что аксиоматическая система не содержит ин- струкций о том, как ее использовать и проверять, то это скорее ее преимущество, чем недостаток, ибо это и есть признак общности. Если теория — не важно, аксиома- тизирована она или нет, — не содержит условий своего применения или процедуры эмпирической проверки, в таком случае в нее можно ввести дополнительные ги- потетические предпосылки, конкретизирующие вещи и обстоятельства. В этом смысле классическая электроди- намика полностью описывает свою область, ограничен- ную макрособытиями. С другой стороны, классическая термодинамика существенно неполная теория, потому что она неприменима к описанию столь распространен- ных неравновесных процессов. Конечно, аксиоматика не есть образец совершенства (в смысле полноты охвата). Но она является, во всяком случае, наилучшим из воз- можных способов упорядочивания теории. Зачем же бо- роться против нее?

Возражение 7. Основные понятия любой аксиомати- ческой системы, будучи неопределяемыми, остаются тем самым неанализируемыми и, следовательно, не- ясными.

Ответ на возражение. Оно было верным во времена Аристотеля, но ошибочно сегодня. Это возражение по- коится на устаревшей теории определения. Необходи- мо усвоить, что определение — это только один из ви- дов анализа и разъяснения, причем такой, который не всегда можно выполнить из-за опасности логического круга. Другой, более исчерпывающий вид анализа и разъяснения осуществляется с помощью аксиом, ха- рактеризующих форму и содержание неопределяемых идей.

Возражение 8. Аксиоматизация, будучи чисто фор- мальной процедурой, неспособна овладеть фактуальным содержанием теории.

Ответ на возражение. Это верно для формальной аксиоматики, но, пожалуй, ошибочно по отношению к физической (см. гл. 7, § 8, 10). Если первая совершенно игнорирует физическое содержание, то физическая аксиоматика систематизирует предполагаемую интер- претацию формализма, добавляя семантические уточне- ния, отсутствующие в формальной аксиоматике, равно как и в неформальных или эвристических представле- ниях. В неформальных теоретических рассуждениях зна- чения неявным образом определяются в рамках всего контекста. Поэтому и говорят о подразумеваемых значениях рассматриваемых символов. Более того, в не- замкнутом контексте нет никакой гарантии непротиво- речивости, как формальной, так и семантической. Толь- ко физические аксиоматики берут на себя ответствен- ность за семантику на уровне аксиом и последовательно ею руководствуются вплоть до теорем. Поэтому только они могут очертить семантический профиль теории, но, конечно, в отличие от формы содержание всегда будет несколько туманным.

В заключение можно сказать, что основные возраже- ния в адрес аксиоматики проистекают, видимо, из не- достаточного знакомства с ней.

8. Место аксиоматики в процессе преподавания

Аксиоматика не предназначается для начинающего; до того как гот или иной порядок привносится в пред- мет обучения, последний должен быть воспринят не- формально или эвристически. Преждевременное введе- ние аксиоматического способа изложения может иметь отрицательные последствия в виде непонимания или от- сутствия интереса. Свидетельством тому является обу- чение евклидовой геометрии в течение сотен лет до тех пор, пока не было обнаружено, что дети не есть взрос- лые малых размеров. Сам Гильберт, будучи энтузиастом использования аксиоматизации во всех областях обуче- ния, хорошо осознавал педагогические и психологиче- ские границы аксиоматического подхода и советовал придерживаться в обучении разумного компромисса ме- жду ним и эвристическим или генетическим подходами. Помимо этого, Гильберт был также соавтором учебника по геометрии, содержание которого полностью ориенти- ровано на интуитивное восприятие.

В таком случае возникает вопрос: когда же аксио- матика должна впервые вступать на сцену? Вообще го- воря, как можно раньше, если мы хотим избежать мно- жества ошибок, неясностей и повторений и если мы предпочитаем сосредоточиться на главном вместо изуче- ния массы плохо увязанных друг с другом деталей. Но когда конкретно это становится возможным? Ясно, что высота аксиоматического барьера зависит от предмета. Современная алгебра может и, вероятно, должна препо- даваться аксиоматическим методом с самого начала, даже на уровне первого года обучения в высшей школе [1]. Но физика гораздо сложнее алгебры, она сложнее даже математического анализа, который нельзя излагать в аксиоматической форме аудитории, если она состоит из студентов, не обладающих минимальной математической подготовкой, а также способностью и вкусом к абстракт- ному мышлению. По-видимому, ясно, что изучение эле- ментарной физики должно, как и раньше, опираться на эвристический подход хотя бы потому, что понимание физической системы аксиом требует овладения определенными математическими и логическими идеями, знание которых приобретается позднее. Однако преподаватели должны иметь представление о физической аксиоматике для того, чтобы избежать повторения многих заблужде- ний. Это ошибки естественнонаучного характера (вроде приравнивания массы и вещества, энергии и излучения), логические ошибки (вроде попыток дать логические опре- деления всему или доказать отдельные предположения путем демонстрации того, что некоторые из их следствий являются фактически верными), философские ошибки (вроде смешивания понятий с высказыванием, или закона с правилом, или утверждение, что все теории можно вы- вести из экспериментальных данных).

Аксиоматический подход целесообразно вводить для студентов старших курсов и аспирантов. Но и здесь есть опасность ошибки, заключающейся в полном игнориро- вании эвристического подхода. Автор пытался достигнуть успеха путем следующего компромисса между эвристи- кой и аксиоматикой: три четверти эвристики и одна чет- верть аксиоматики. Первые три четверти времени можно было бы уделять, как обычно, неформальному (но не обязательно ошибочному и беспорядочному) изложению главных предпосылок и основных теорем, причем все это с большим количеством упражнений и обсуждением про- блем. К концу этого периода любознательный студент столкнется с таким обилием материала, и в столь неупо- рядоченном и отрывочном виде, что он будет с нетерпе- нием ожидать убедительного и четкого представления оснований теории. Овладев большим числом более или менее изолированных формул, он будет готов для аксио- матического представления целого, что может быть сде- лано самое малое за пару недель. Эта демонстрация аксиоматики даст студенту возможность повторить ма- териал, лучше организовать его, глубже войти в него и критически проанализировать. Ибо любое аксиоматиче- ское представление, не сопровождаемое критическим анализом, будет просто еще одним примером догмы. И ко всему этому (то есть критическому анализу некото- рой системы аксиом) при благоприятном случае можно добавить немного методологии, чуть-чуть философии и столько же истории. Поскольку все это так или иначе делается, то уж лучше это делать явным образом и в полном свете аксиоматической системы, чем тайно и в полутонах эвристики.

Одним словом, если освоены фундаментальные поло- жения физических теорий, то излагать их в процессе преподавания нужно аксиоматически.

9. Заключительные замечания

Аксиоматизировать — это значит довести до макси- мума ясность и отчетливость. Тем, кого это мало вол- нует, аксиоматика вообще не нужна, но те, кому этот вопрос представляется очень важным, не успокоятся на малом, они будут по крайней мере терпимыми к попыт- кам внести организацию в довольно беспорядочные ре- зультаты первоначального исследования.

Конечно, не следует ставить аксиоматику выше соз- дания новых плодотворных теорий. Однако соответ- ствующая аксиоматизация хорошей, но противоречивой теории будет, конечно, не менее ценной, чем формули- рование плохой и неприемлемой теории. Аксиоматизация не заменяет собой построения теорий и не конкурирует с ним, но, напротив, совершенствует этот творческий процесс. Подобно любой достаточно тонкой и изыскан- ной вещи, аксиоматизация приносит с собой известные удобства, но, конечно, для повседневных целей она не является предметом первой необходимости.

Точно так же, как иногда нужны именно бисквиты, а не хлеб, так и в науке есть перекрестки, где упорядо- чивание имеет большую ценность, чем загромождение. Если проблема состоит в том, чтобы прояснить спорные теоретические и методологические вопросы, проанализи- ровать и оценить теории, дать оценку конкурирующей программе построения теорий, а не в разработке и при- менении уже существующих, то аксиоматика становится первой необходимостью. В самом деле, на справедливый суд может рассчитывать только ясная и полностью сфор- мулированная теория.

Аксиоматизация может также способствовать наступ- лению зрелости физической науки, а не только росту ее объема. Действительно, аксиоматизация усиливает убедительность и ясность, а следовательно, стимули- рует анализ и критицизм, которые вместе с глубиной и смелостью характеризует степень зрелости в отличие от простой объемности { . И наконец, аксиоматика может помочь нам встретить информационный взрыв, или, вер- нее, потоп. Так что даже, если нам не удается уследить за всеми деталями, мы все равно имеем возможность идти в ногу с развитием фундаментальных исследований в данной области. Проблемы оснований науки всегда стоят «на повестке дня», и едва ли следует ожидать для них окончательных решений.

  • 1 М , Bunge, in: Problems in the Philosophy of Science, 1968.

[1]P. S u р р е s, in: The Role of Axiomatics and Problem Solving in Mathematics, Boston, Ginn and Co, 1966,

СодержаниеДальше

наверх страницынаверх страницы на верх страницы









Заказать работу



© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования