В библиотеке

Книги2 383
Статьи2 537
Новые поступления0
Весь каталог4 920

Рекомендуем прочитать

Щепаньский ЯнЭлементарные понятия социологии
Книга "Элементарные понятия социологии" подготовлена на основе цикла лекций, прочитанных студентам-социологам. Автор считает, что его книга вводит в язык и понятийный аппарат социологии. В книге рассматривается широкий круг социологических проблем.

Жалобы и предложения

Напишите нам свои впечатления о библиотеке Университета и свои предложения по ее улучшению [email protected].
Алфавитный каталог
по названию произведения
по фамилии автора
 

АвторБунге М.
НазваниеФилософия физики
Год издания1973
РазделКниги
Рейтинг0.26 из 10.00
Zip архивскачать (923 Кб)
  Поиск по произведению

Глава 7
Характер аксиоматики

1. Три подхода к физической теории

Научная теория может быть изложена тремя спосо- бами: историческим, эвристическим или аксиоматиче- ским. Историческое изложение, если оно верное и глубо- кое, будет исходить из рассмотрения основной проблем- ной ситуации, различных попыток ее разрешения, вклю- чая и ошибочные, из рассмотрения правильного пути, ре- шения проблемы, а также будет учитывать фактическое или возможное влияние этого решения на будущее раз- витие науки. Нужно ли говорить, что, хотя история фи- зики как науки и развивается достаточно быстро, все же еще лишь немногие работы отвечают всем отмеченным выше требованиям. С другой стороны, эвристический подход выявляет наиболее полезные (хотя и не обяза- тельно наиболее фундаментальные) формулы теории, ибо спешит вывести из них следствия и применить их. Этот подход характерен для подавляющего большинства пу- бликаций и курсов лекций по физике. В то время как и исторический и эвристический подходы проливают свет на развитие науки, первый все-таки непрактичен: эвристиче- ский подход более предпочтителен, когда требуется крат- кий рецепт или указание относительно способа действий.

Но и исторический, и эвристический подходы не- удачны для изложения теории в целом. Они безмолв- ствуют по поводу большинства предположений этой тео- рии, не могут выявить всех ее основных предпосылок, оставляя в значительной мере неясной логическую струк- туру теории; что же касается их физического смысла, то здесь они оказываются двусмысленными, если не полностью несостоятельными. Любой добросовестный, преподаватель, как и прилежный студент, не могут удов- летвориться этими подходами, и будут пытаться допол- нить их недостающими предпосылками, внести какую-то строгость в то или иное доказательство, уточнить физиче- скую интерпретацию некоторых используемых символов. Отсюда обескураживающее разнообразие формулировок и соответствующее обилие учебников и обзорных статей. Многие из подобных попыток прояснения и реконструк- ции теорий могут быть вполне успешными в тех или иных конкретных случаях, но успешными они будут лишь от- части, ибо они не имеют необходимой систематичности, не реконструируют теорию в целом, а систематичность и есть сущность любой теории. В самом деле, с логической точки зрения всякая теория по определению является системой, а более точно — гипотетико-дедуктив-ной систе- мой. Другими словами, теория отправляется от опреде- ленной совокупности гипотез и развертывается дедуктив- ным способом (см. гл. 3). Однако в систему не следует вносить не свойственные ей изменения, если, конечно, при этом мы не руководствуемся целью преобразовать ее в какую-либо другую систему.

Если мы ищем более точную формулировку и, следо- вательно, более полное и глубокое понимание теории, неважно в каких целях: педагогических, рационализа- торских или просто для личного интеллектуального ком- форта, то аксиоматический подход в таком случае будет наиболее предпочтителен. В самом деле, только он мо- жет дать глобальную оценку теории и сосредоточить внимание на ее существенных ингредиентах, не отвле- каясь при этом на прикладные аспекты, так же как и на особенности ее исторического и психологического разви- тия. Аксиоматический подход кратчайшим путем ведет к сути любой теории. Более того, он не перегружен дета- лями, оставляя их для прикладных целей.

Но все эти три подхода к изложению теории не кон- фликтуют между собой. Каждый освещает различные грани сложного предмета и каждый имеет свою соб- ственную задачу. Первый подход интересует биография теории, второй — ее возможности и действенность, а тре- тий— то, что можно назвать характером теории, то есть ее основания, а также структура и содержание. Поэтому было бы ошибочным утверждать, что какой-то один из этих трех подходов чем-то лучше любого другого. Они взаимно дополнительны, и, следовательно, любое гармо- ничное научное образование, даже если оно и ориенти- руется на эвристический или интуитивный подходы, должно давать также известное представление относи- тельно других сторон вопроса, а именно о случайностях исторического развития и об упорядоченности аксиома- тики.

Я не буду защищать эвристику, которая повсеместно используется. Не буду я отстаивать и исторический под- ход, поскольку любой квалифицированный специалист обычно интересуется историей своего предмета. Вместо этого я буду доказывать необходимость весьма непопу- лярного аксиоматического подхода, который обычно по- нимается неверно и едва ли практикуется где-либо, по- мимо математики 1 .

2. Уроки Евклида, Гильберта и Гёделя

До Евклида (ок. 300 г. до н. э.) существовали неко- торые учения и точки зрения, но каких-либо теорий в современном смысле этого слова, насколько свидетель- ствуют сохранившиеся документы, не было, за исключе- нием, быть может, теории пропорций Евдокса.

  • 1 См . на этот счет : J. Н . W о о d g е г , The Axiomatic Method in Biology, Cambridge University Press, 1937; R. С a r n a p, Introduc- tion to Symbolic Logic and its Applications, New York, Dover Publi- cations, Inc., 1958; L. Henkin, P. Suppes and A. T a r s k i (eds.), 1959, The Axiomatic Method, North-Holland, Amsterdam, 1959; M. Bunge, Reviews of Modern Physics, 1967, vol. 39, p. 463; P. Suppes, Studies in the Methodology and Foundations of Science, D. Reidel, Dordrecht, 1969,

Имели место более или менее свободно связанные утверждения, а не гипотетико-дедуктивные системы, то есть системы, основанные на эксплицитно сформули- рованных начальных предположениях (именуемых также аксиомами и постулатами). Правда, понятие доказа- тельства уже было изобретено двумя столетиями ранее (вероятно, в Пифагорейской школе), и необходимость делать некоторые предположения для того, чтобы что- либо доказать, была осознана наряду с понятием логиче- ского следования. Но доказательства были столь же изо- лированными, как и предпосылки, и ни одно из них не было систематическим. Это было счастливое царствование решателей проблем, а не строителей теорий. Проблемы атаковались одна за одной и решались с помощью любых пришедших в голову предпосылок, лишь бы они выглядели более или менее подходящими, ничуть не за- ботясь при этом ни о логическом круге или о логической непротиворечивости, не говоря уже об условии гомоген- ности (принадлежности к множеству соотносимых эле- ментов).

Система геометрии, изложенная Евклидом в его На- чалах, была уже не просто совокупностью вычислитель- ных рецептов (подобно большинству шумерских и еги- петских математических трудов). Она была чем-то большим, нежели просто огромным собранием разделов математического знания, являясь, вероятно, первой во всех отношениях законченной теорией, изобретенной человечеством. Принижать значение работы Евклида, утверждая, что он «только» перекодировал математиче- ские знания своего времени, — значит обнаруживать пло- хое понимание природы и значения теорий. Более того, Евклид сформулировал свою геометрическую теорию в наиболее завершенном и убедительном виде, который был возможен в то время, а именно в аксиоматической форме, введенной им самим. Для методологии построе- ния теории урок Евклида состоит в следующем. Если вы заботитесь о систематичности и строгости, попытайтесь применить аксиоматический метод.

Хотя аксиоматикой всегда восхищались как парадиг- мой формулирования теорий — и до такой степени, что Спиноза, Ньютон и многие другие пытались сформули- ровать свои основные теории как можно более геомет- рически, то есть аксиоматически, — все же аксиоматика была в основном не у дел вплоть до начала нашего сто- летия. Она была возрождена в свое время двумя груп- пами математиков: теми, кто начал осознавать формаль- ное подобие большого числа различных теорий (так поя- вились концепции абстрактной теории и ее моделей), и теми, кого беспокоили ловушки, скрытые в интуитивных или эвристических формулировках некоторых теорий — сначала математических исчислений, а затем теории множеств. Аксиоматика вновь была вызвана к жизни как инструмент унификации, прояснения и очищения.

Двумя наиболее влиятельными системами начального периода современной аксиоматики явились, конечно, ак- сиоматическая переформулировка Д. Пеано (1889) постулатов Дедекинда для системы натуральных чисел и Основания Геометрии Д. Гильберта (1899). Последний не только реабилитировал метод Евклида, но и рекон- струировал его с точки зрения более строгого контроля над предпосылками и выводимыми понятиями, и, кроме всего прочего, обошелся без рисунков и чертежей, ис- ключение которых заставило его сформулировать все предпосылки в явной символической форме. Метатеоре- тический урок Гильберта, совершенно независимо от его основного математического значения, заключается в сле- дующем. Не существует какой-либо окончательной си- стемы аксиоч. Всегда в принципе возможны более глу- бокие (более строгие) уровни аксиоматизации 1 (Гиль- берт, 1918).

  • 1 D. Hilbert, Mathematischen Annalen, 1918, vol, 78, S. 405

Теперь большинство математиков рассматривают аксиоматику как идеальную форму для математических теорий, в частности в алгебре. Ее роль возрастает и в других областях математики. Эта форма идеальная, но не совершенная, и дело не только в том, что (как это прекрасно понимал уже Гильберт) каждый новый этап дает материал для построения все более совершенной аксиоматической системы в данной области знания, но и в том, что любая содержательная теория просто не может быть совершенной, даже если она и представлена аксиоматически. В самом деле, Гёдель (1931) доказал, что всякая непротиворечивая система аксиом, охваты- вающая арифметику натуральных чисел, не может содер- жать все формулы той области, которую намереваются систематизировать. Любая такая система, если она не- противоречива, необходимо является неполной. (Если же система непротиворечива и полна, то ее нельзя полностью аксиоматизировать.) В самом деле, всегда можно по- строить более мощную систему аксиом, которая будет охватывать большее число утверждений, чем предше- ствующая теория. Но и в этом случае она будет непол- ной: совершенство, как видим, не может быть приравнено к достижимому идеалу. Урок Гёделя в отношении по- строения теорий в двух словах можно выразить так: Не может быть никакой совершенной системы аксиом. Все, к чему мы можем и должны стремиться, — это строить все более лучшие системы аксиом.

Итак, любая данная конкретная система аксиом ограничена, но в то же время не существует какого-либо априорного ограничения последовательности прогрессив- но улучшающихся систем аксиом. Аксиоматика является несовершенным, но лучшим из имеющихся в нашем рас- поряжении способом формулирования теории, поэтому отказ от аксиоматики по причине ее ограниченности ана- логичен призыву отказаться от продолжения человече- ского рода из-за несовершенства его представителей. Мы уже не говорим о том, что несовершенство есть необхо- димое условие прогресса.

3. Современное состояние техники аксиоматизации в физике

  • 1 D. Hilbert, Physikalische Zeitschrift, 1912, vol. 13, S. 1056; D Hilbert, Physikalische Zeitschrift, 1913, vol. 14, S. 592; D. Hil- bert, Physikalische Zeitschrift, 1914, vol. 15, S. 878.
  • 2 D. Hilbert, Mathematische Annalen, 1924, vol. 92, S. 1.

Гильберт был не только одним из величайших мате- матиков и логиков в истории человечества, не только выдающимся физиком-теоретиком, но и пионером ис- пользования аксиоматики в науке вообще. В 1900 году на международном конгрессе математиков в Париже Гильберт огласил сформулированный им список двад- цати трех фундаментальных нерешенных математических проблем. С тех пор большинство из них были решены, причем некоторые совсем недавно. Но знаменитая ше- стая проблема Гильберта, проблема аксиоматизации теоретической физики, все еще в значительной мере ос- тается открытой. Сам Гильберт приложил некоторые усилия для выполнения этой задачи, аксиоматизировав элементарную, или феноменологическую, теорию излуче- ния *, и свою собственную единую полевую теорию гра- витации и электромагнетизма 2 . К сожалению, он не- верно выбрал предметы своих устремлений. Первая теория претерпела радикальные изменения после кванто- вого переворота, совершенного Планком (настоящая квантовая революция пришла намного позднее), а вто- рая была преждевременной. Таким образом, экскурсы Гильберта в физическую аксиоматику остались незаме- ченными. За небольшими исключениями, физические теории продолжали формулироваться в достаточно слу- чайном, нестрогом, а иногда и просто запутанном виде.

Правда, были и исключения. Наиболее известной, по крайней мере наиболее цитируемой, является несколько неполная аксиоматическая формулировка термостатики, принадлежащая Каратеодори (1909) *, но ею едва ли можно воспользоваться из-за ее полностью неинтуитив- иого характера. Помимо этого, Каратеодори совершает обычную ошибку, непосредственно связывая физическое значение аксиоматических утверждений с экспериментом. Это ошибка уже потому, что а) обычно с экспериментом непосредственно связаны именно теоремы, а не постула- латы; Ь) планирование и интерпретация любого экспери- мента включают не только связанную с ними теорию, но и некоторое количество дополнительных (вспомогатель- ных) теорий, относящихся к различным аспектам экспе- риментальной установки (см. гл. 10); с) прежде чем применять все эти теории, необходимо уяснить их физи- ческий смысл и придать им более или менее точное со- держание; d ) цель эксперимента не в том, чтобы раскры- вать значение чего-либо, его цель — предоставить данные, пригодные для проверки теории, ее применения и поста- новки новых вопросов, и е) проблема значения начи- нается с первичных строительных блоков (неопределяе- мых понятий) теории. Они должны с самого начала по- лучить определенное содержание, иначе каким образом мы будем говорить о содержании сложных конструктов. Короче говоря, первое эссе Каратеодори по физической аксиоматике было связано с несостоятельной философией операционализма.

  • 1 С . Caratheodory, Mathematische Annalen, 1909, vol. 67, S. 355.
  • 2 С . Caratheodory, Sitzungberichte der Koniglich Preussi- schen Academie der Wissenschaften zu Berlin, Phys-Mat. KX 12.
  • 3 H. Rcichenbach, Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit Lehre, Fr. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1924,

Последующими хорошо известными работами по фи- зической аксиоматике были предложенные Каратеодори 2 (1924) и Рейхенбахом 3 (1924) аксиоматизации спе- циальной теории относительности. Они исходили из ана- логичных и в равной мере неудачных предпосылок. В ча- стности, они не приняли во внимание теорию электро- магнитного поля Максвелла, без которой специальная теория относительности вряд ли имеет какой-либо смысл, поскольку она описывает события, связуемые электро- магнитными возмущениями. Обе эти формулировки рас- сматривали в качестве объекта теории материальные точки, а не обобщенные физические системы и системы отсчета в электромагнитном поле: обе предполагали, что в любой материальной точке можно расположить на- блюдателя, могущего по своему усмотрению посылать и получать световые сигналы, причем без всякой отдачи, и ни из одной из этих систем аксиом формулы преобра- зований Лоренца не вытекали. Однако среди философов псевдоаксиоматика Рейхенбаха все еще котируется в ка- честве совершенного или почти совершенного образца. Известна также попытка аксиоматизации квантовой ме- ханики, предпринятая фон Нейманом. В своей сделав- шей эпоху книге 1 , которая в высшей степени обогатила математический каркас этой теории, фон Нейман оши- бочно предположил, что он заложил аксиоматические основания квантовой механики. Фактически же в его из- ложении все характеристики современной аксиоматики полностью отсутствуют. А именно: в ней не раскрывают- ся предпосылки, не идентифицируются основные понятия теории, не перечисляются начальные допущения (аксио- мы); не удалось также предложить непротиворечивую физическую интерпретацию формализма. В целом аксио- матика фон Неймана противоречива и философски наив- на (см. гл. 4 и 5). Но по каким-то странным причинам она считается примером физической аксиоматики. И это не первый случай. Формулирование Махом 2 классиче- ской механики материальной точки также часто прини- мают за ее аксиоматизацию, хотя Мах с его подозритель- ным отношением к любой теории, несомненно, был далек от какой-либо аксиоматики, ибо для него имел значение только факт 3 .

  • 1 И. фон Нейман, Математические основы квантовой меха- ники, М., «Наука», 19 G 4.
  • 2 Э. М а х, Механика, Историко-критический очерк ее развития, СПб, 1909
  • 3 М . Bunge, American Journal of Physics, 1966, vol. 34, p. 585.

Между тем изучение аксиоматических систем в по- следние годы продвинулось далеко вперед. В период между двумя мировыми войнами родились и сделали важный вклад в теорию теорий новые дисциплины — ма- тематика и теория моделей, которые сейчас развиваются очень быстрыми темпами. Первой и достаточно успеш- ной работой по физической аксиоматике, послужившей основой для ряда дальнейших работ в этом направлении, была, вероятно, работа Мак Кинси и др. по классиче- ской механике материальной точки К В ней впервые уда- лось оптимально связать и охарактеризовать первичные понятия теории, впервые удалось сформулировать боль- шинство необходимых аксиом, которые были проверены на непротиворечивость и независимость (последнее было сделано как на уровне понятий, так и на уровне утвер- ждений). Следующей была аксиоматизация Ноллем го- раздо более содержательной и реалистичной теории — а именно классической механики сплошных сред 2 . В этой работе делался акцент на новизне математического аппа- рата и его строгости; помимо этого, она представляет интерес и с точки зрения функционального анализа. Тре- тий важный шаг был сделан Эделеном, который аксио- матизировал целый класс классических теорий поля 3 . Это, по существу, первые работы в названных областях; они, между прочим, показали, каким образом аксиома- тика может помочь оформить и обобщить классическую физику и в результате привести к ее более глубокому пониманию. Довольно странно, однако, что мы не нахо- дим даже упоминания об этих работах в учебниках фи- зики. До сих пор в преподавании физики предпочитают использовать устаревшую математику и игнорировать логику, а иногда и целые разделы собственно физики, такие, например, как механика сплошных сред.

  • 1 J. С . С . М с К i n s е у , А . С . Sugar and P. Suppes, Journal Rational Mechanics Analitics, 1953, vol. 2, p. 253.
  • 2 W. N о 1 1, in L. H e n k i n, P. Suppes and A. T a r s k i (eds.) The Axiomatic Method, Amsterdam, 1959.
  • 3 D. G. В . E d с 1 e n, The Structure of Field Space, University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1962.

Упомянутые до сих пор работы обязаны своим появ- лением или математикам или логикам. Вполне есте- ственно поэтому, что о физическом содержании они осо- бенно не заботились, за исключением, быть может, работ Гильберта. Но если этому вопросу и уделяли некоторое внимание, то в конечном итоге все сводилось к некрити- ческому импорту доктрины значения у физиков-опера- ционалистов, согласно которой осмысление предполагает проверяемость, а не наоборот.

Современный вклад физиков в физическую аксиома- тику представлен в первую очередь работами Вайтмана и его школы по так называемой аксиоматической кван- товой теории поля. Эти исследования, частично стимули- рованные хорошо известными противоречиями (напри- мер, расходимостями) обычных формулировок кванто- вой электродинамики \ не получили, однако, должного признания и понимания. Некоторым не понравилось стремление к математической строгости, характерное для этих работ; возражения других основывались на том, что аксиоматическая квантовая теория поля не предсказывает новых «эффектов»; третьи упрекали ее за постулирование существования ненаблюдаемой сущ- ности, связанной с понятием поля, и, наконец, некоторые думают, что «аксиоматика» означает априоризм, незави- симость от опыта и, следовательно, непреклонность тео- рии перед ним. Лишь немногие приняли аксиоматику квантовой теории поля за то, чем она и являлась, — за попытку «проанализировать общие понятия, лежащие в основе всех релятивистских квантовых теорий поля» 2 , без каких-либо претензий на завершенность и оконча- тельность.

Этот краткий и неполный обзор физических аксиома- тик все же, видимо, достаточен, чтобы увидеть, что со- стояние дел в этой области находится в печальном конт- расте с расцветом аксиоматики в математических нау- ках. Опыт математики подсказывает нам, что нужно спо- собствовать разитию аксиоматического подхода в физике хотя бы для того, чтобы увидеть, что из этого получится. Оставшуюся часть этой главы мы посвятим размышле- ниям по поводу реализации проекта аксиоматической переориентации теоретической физики.

4. Общая характеристика аксиоматики

  • 1 A . S . Wightman , Physical Review , 1956, vol . 101, p . 860.
  • 2 R. J о s t, The General Theory of Quantized Fields; American Mathematical Society, Providence, R. J., 1965,

Различие между интуитивным, или эвристическим, представлением некоторой теории и ее аксиоматической формулировкой аналогично различию между самим про- цессом исследования и окончательным его результатом.

Это различие заключается в системности и порядке сле- дования, а потому также и в ясности. Аксиоматике свой- ственны как ясность, так и систематичность, однако во многих случаях аксиоматизация может оказаться делом весьма трудным. В самом деле, чтобы аксиоматизировать содержание какой-либо отрасли знания, необходимо из- ложить его основные идеи некоторым упорядоченным об- разом.

Далее, термин «идея» охватывает и понятия и утвер- ждения. Так, понятие напряженности электрического поля представляет собой элемент некоторого утвержде- ния, например: «напряженность поля с расстоянием уменьшается». Следовательно, аксиоматизация теории означает составление упорядоченного списка как основ- ных понятий, так и основных утверждений теории, и притом таким образом, чтобы все остальные ее по- нятия и утверждения были выводимы из ее основных идей.

Главной, или основной, идеей является такая, которая служит для построения последующих идей с помощью чисто логических или математических средств. Это либо понятие, используемое (обычно вместе с другими поня- тиями) для определения новых понятий, либо утвержде- ние, используемое (обычно в сочетании с другими утвер- ждениями) для вывода дальнейших утверждений. Основ- ные понятия теории называются ее первичными, или неопределяемыми, понятиями, тогда как основные утвер- ждения именуются аксиомами, или постулатами, этой теории. (В современной аксиоматике между «аксиомами» и «постулатами» различия не проводится.) Тем самым, например, четыре понятия напряженности поля и индук- ции (или эквивалентно два соответствующих тензора поля) являются основными, или неопределяемыми, в принадлежащей Максвеллу версии классического элек- тромагнетизма, в то время как уравнения Максвелла входят в аксиомы теории. Это означает, что в данной конкретной формулировке теории, уравнения Максвелла оказались среди основных блоков, из которых строится теория в целом. В то же время несомненно важное по- нятие плотности энергии не будет логически исходным, поскольку его можно определить с помощью вышеука- занных первичных понятий. Еще в большей степени про- изводно понятие полной энергии, поскольку оно определяется уже через плотность энергии. В этом смысле и за« кон сохранения энергии поля, хотя и очень важен, но все же не будет исходным, так как представляет собой тео- рему, вытекающую из аксиом.

Однако высокий статус первичного понятия и аксиомы не абсолютен, а зависит от контекста. Так, понятие числа первично в элементарной арифметике, как и понятие силы первично в ньютоновой механике материальной точки. Но в альтернативных теориях число определяется с помощью множества, а понятие силы часто оказы- вается определяемым с помощью понятия потенциала. Соответственно понижаются в звании и некоторые утвер- ждения, которые переводятся из ранга аксиом в ранг теорем. Подобная контекстуальность, или относитель- ность статуса основных идей, несомненно, желательна, поскольку открывает новые возможности для поиска все более плодотворных и глубоких идей, все более содер- жательных понятий и постулатов, из которых в свою оче- редь могут быть выведены понятия, бывшие первичными ранее. Поэтому предложение «Понятие (или аксиома) А является основным» следует читать как: «Понятие (или аксиома) А является основным в теории Г».

Можно было бы предположить, что поскольку все понятия и утверждения теории так или иначе необхо- димы, то все они в равной степени важны, и ученый в своей работе должен исходить из демократии идей вместо какой-либо их стратификации на идеи первого и идеи второго класса. С точки зрения семантики, то есть в отношении проблемы значения или истины, это верно. Так, понятие потока поля не менее важно, чем понятие напряженности поля, несмотря на то что первое выво- дится из второго. Более того, в экспериментальной фи- зике потоки более важны, чем интенсивности. Подоб- ным же образом можно считать одинаково важными уравнения поля и вариационные принципы. Известно, что уравнение поля можно вывести из соответствующих вариационных принципов, которые могут рассматри- ваться с точки зрения математики или эвристики как более удобные. Но здесь речь идет о другом. Важна идея или нет, если она является производной (определяемым понятием или выводимым утверждением), то она логи- чески вторична. Различие между основным и выводимым чисто логическое. Вообще говоря, это различие, несмотря

на его относительность к контексту, весьма ценно, ибо оно заставляет нас искать центральные идеи, выявлять в них логически наиболее строгие и помогает избежать логического круга. Поэтому всякий, кто знаком с этим различием, не будет тратить время на попытки логи- чески определить каждое понятие (дефиниционизм) или доказать каждое утверждение (демонстрационизм). На этом мы остановимся еще в гл. 8.

Теперь вполне уместно дать более точную характери- стику аксиоматики. Аксиоматизировать теорию — зна- чит изложить множество ее первоначальных предполо- жений таким образом, чтобы они: (а) обеспечивали до- статочную характеристику всех основных понятий дан- ной теории и (Ь) давали в итоге все стандартные утвер- ждения (формулы) данной теории. Но прежде чем запи- сать любое такое предположение, нам необходим язык, чтобы выразить его. Поэтому начинать нужно с рассмот- рения логических и математических предпосылок физи- ческой теории.

5. Фрмальные предпосылки

Существует единственная теория, которая начинает на голом месте, — математическая логика (в действитель- ности она представляет собой некоторое множество тео- рий). В самом деле, истинами логики или тавтологиями, такими, как Л #>(?=> Л), являются те, которые могут быть доказаны, не прибегая к предположениям, отлич- ным от правил логики. Все остальные теории предпола- гают помимо логики многое сверх того. Говоря точнее, любая математическая или научная теория в каче- стве логического минимума берет так называемое обыч- ное исчисление предикатов с равенством. Этого необхо- димо и достаточно для того, чтобы анализировать поня- тия, формулы и умозаключения, встречающиеся в мате- матике и естественных науках, или, скорее, чтобы анали- зировать их форму. В самом деле, любое высказывание в математике или естественных науках, коль скоро рас- сматривается его форма, является формулой этого исчис- ления, и каждое правильное рассуждение представляет собой пример правила вывода, фиксируемого той же тео- рией. Было бы неверным полагать, что реальный научный вывод специально нуждается в логическом исчислении, которому он обязан строго следовать. Логика не пред- полагает построения чего-либо вне себя, а лишь контро- лирует правомерность того, что строится с помощью по- нятий. Не нужно так же думать, что математическое или научное исследования избегают рассуждений по анало- гии и индуктивных аргументов, которые могут быть пло- дотворными, хотя и несостоятельными с логической точки зрения. Нельзя ожидать от какой-либо теории подтвер- ждения недедуктивных умозаключений, хотя вывод из них может быть и верным.

Помимо обычного исчисления предикатов, существует много других логических теорий, таких, например, как логика моделей и многозначная логика. Однако логикой, на которой построено здание почти всей математики и всей физики, является именно обычное исчисление пре- дикатов. (Исключение составляет интуиционистская ма- тематика. Но она охватывает только небольшую часть математики и поэтому не представляет интереса для фи- зики.) Эту хорошо известную вещь необходимо иметь в виду, когда приходится сталкиваться с утверждением, что квантовая теория использует свою собственную ло- гику, в которой нарушается дистрибутивный закон ис- числения высказываний. Если бы это было верно, то квантовая теория имела бы совершенно другой математи- ческой формализм и ее едва ли было бы возможно объ- единить с классической физикой, как мы фактически и поступаем всякий раз, когда не удается проквантовать внешнее поле или когда мы сталкиваемся с каким-либо экспериментальным результатом, например физической константой, полученной путем измерений, выполненных и интерпретированных с помощью классической физики. Другими словами, даже квантовая революция не изме- нила нашу логику К

Во всяком случае, обычную логику можно рассматри- вать как самую первую компоненту формальных пред- посылок любой физической теории. Вторую и последнюю компоненту составляет совокупность математических теорий, которая фактически используется в данной физической теории. В свою очередь математическим базисом, или предпосылкой, всех математических теорий, до сих пор применяемых в физике, будет теория множеств. (Исключениями являются так называемые элементарные теории, такие, как, например, элементарная теория групп.) В самом деле, почти каждое математическое по- нятие можно определить, хотя и окольным путем, с по- мощью основных понятий множества и принадлежности к нему. Однако хорошо это или плохо, но здесь так же, как и в случае логики, имеется несколько неэквивалент- ных теорий множеств. Какую из них следует выбрать для построения физических теорий? Конечно, большинство физиков не сталкиваются с подобной проблемой embar - ras de choix (чрезмерного изобилия); эта альтернатива характерна для тех, кто работает в области оснований физики. Разумеется, решение здесь не сводится к утвер- ждению, что надо принимать именно ту версию теории множеств, которая математически наиболее удовлетвори- тельна (предполагается, что таковая имеется).

  • 1 М . Bunge, Foundation of Physics, New York, 1967; K- R. P о p- per, Nature, 1968, vol. 219, p. 682; A. Fine, Philosophy of Science, 1968, vol. 35, p. 101.

Специа- лист в области оснований физики, помимо всего, заинте- ресован в такой теории множеств, которая дала бы воз- можность наболее естественно прояснить значение физи- ческих понятий. Например, если он имеет дело с некото- рыми характеристиками системы из нескольких компо- нент, такой, как луч света, распространяющийся в про- зрачной среде, он, вероятно, должен рассматривать эту систему как упорядоченную пару (если, конечно, порядок имеет значение), так что рассматриваемая характеристи- ка будет формализована как некоторая функция от топо- логического произведения двух множеств (поэтому, на* пример, показатель преломления будет объединенным свойством света и оптической среды и может рассматри- ваться как действительная функция на множестве пар: луч света и точка в оптической среде). Но в этом слу- чае, поскольку составная система представляет собой то же, что и каждая из ее компонент, специалист в об- ласти оснований науки может не удовлетвориться стан- дартным построением упорядоченной я-ки как множе- ства множеств. Он склонится в пользу интерпретации упорядоченной я-ки в качестве полноправной индиви- дуальности. Поэтому из всех конкурирующих аксиома- тик теорий множеств он, вероятно, предпочтет версию Бурбаки,

Итак, физические аксиоматики предполагают как ло- гику, так и математику или, точнее, те разделы логики и математики, которые используются в физике. Этот фор- мальный аппарат необходим, но недостаточен для систе- матизирующей реконструкции физических теорий, так как он ничего не говорит о физическом значении. К пред- посылкам физической теории следует добавить еще и другие компоненты.

6. Философские предпосылки

Научное исследование включает определенные идеи, которые не освещаются ни в формальной науке (логике и математике), ни в какой-либо из специальных эмпири- ческих наук. В частности, аксиоматическая реконструк- ция научной теории предполагает определенное число понятий и гипотез, которые, будучи далеко не чисто фор- мальными или синтаксическими, все же являются на- много более общими и важными, чтобы быть частным свойством любой конкретной науки. Это определенные философские идеи, такие, как идеи значения и истины, а также некоторые протофизические идеи — как, напри- мер, идеи системы и времени. Мы начнем с первых, оста- вив протофизику для следующего параграфа.

Рассмотрим следующие утверждения:

•  Значение х(я, k y t ) действительной функции ко- ординат х представляет положение частицы я в (или относительно) системе координат k в момент t .

•  Для любой частицы я существует семерка \ i = = (М, X, Я), именуемая материальной точкой, где М обозначает массу, X — положение, Р — импульс я, так что ( Li Л я (читается «р, моделирует я»).

•  Модель материальной точки приблизительно истинна для классических частиц, но почти ложна по отношению к квантовомеханическим системам.

Ни одно из выделенных курсивом слов не принадле- жит ни логике, ни математике или фактуальной науке, все они суть семантические термины. И все эти три утвер- ждения будут семантическими утверждениями, так как они касаются значения определенных символов или истинности определенных идей. Семантика достаточно старая ветвь философии, однако наиболее фундаментальные сдвиги в этой области произошли в первой по- ловине нашего столетия, когда ею занялись такие логики и математики, как Б. Рассел, а затем Р. Карнап, А. Тар- ский и их последователи.

Приведенное выше утверждение S 1 имеет два ас- пекта. С одной стороны, оно функционирует как правило обозначения, или наименования, не указывая на физи- ческий дубликат символа. С другой стороны, S 1 идег дальше, чем простые лингвистические конвенции, так как выражает идею, что положение частицы полностью описывается или представляется векторной функцией на множестве, образованном топологическим произведе- нием упорядоченных троек: П X К X Т: частица — систе- ма координат — момент времени. Это допущение в прин- ципе могло 5ы быть ошибочным. Оно несовместимо, на- пример, с предположением о существовании абсолютного пространства. Помимо этого, данное предположение не имеет смысла с точки зрения операционализма, где нуж- но, чтобы К символизировало множество наблюдателей, а не множество физических систем отсчета и вместо по- нятия положения фигурировало бы понятие измеримой величины положения. Наконец, S 1 не имеет смысла в квантовой механике, за исключением случая, когда оно касается значения среднего положения системы. В об- щем, хотя S 1 и есть семантическое предположение, оно не полностью конвенционально. Это скорее гипотеза, а не правило. Во всяком случае, это не математическое и не физическое, а семантическое предположение. В пара- графах 9 и 10 мы покажем, что именно в качестве своей основы система физических аксиом не может не содер- жать подобных семантических предположений.

Второе семантическое предположение S 2 представ- ляет собой конъюнкцию дефиниции (дефиниции поня- тия материальной точки), трех правил обозначения (по одному на каждую координату рассмотренной упорядо- ченной семерки) и одного предположения, а именно ги- потезы о том, что материальная точка представляет ча- стицу, а не поле, акт измерения или единицу информа- ции.

Наконец, третье утверждение S3 дает итоговую характеристику модели материальной точки в терминах Степени ее истинности. В отличие от S 1 и S 2, это утвер- ждение не есть некоторое предположение, а результат критического рассмотрения механики материальной точки с учетом ее способности правильно отображать превратности в поведении физических частиц. Но изуче- ние утверждений типа S3 касается не только физики (или также методологии и метатеории физики), но и семантики, так как эти утверждения включают семанти- ческое понятие частичной фактуальной истины 1 . Рассмотрим теперь несколько иные утверждения: Ml Имеются физические объекты, то есть объекты, существование и свойства которых не зависят от того, воспринимаются, мыслятся, измеряются ли они кем- либо или нет.

М2 Каждый физический объект соответствует неко- торому множеству физических законов, то есть устой- чивых и объективных структур ( patterns ).

МЗ Можно познать, хотя и предположительно, при- близительно и постепенно, как физические законы, так и некоторые из особенностей индивидуальных физических объектов.

  • 1 Подробнее относительно семантики науки см .: М . Bunge (ed), Exact Philosophy: Problems, Methods, Goals, D. Reidel Publ, Co Dordrecht, 1972.

Все эти три высказывания по существу метафизи- ческие, в них утверждается существование внешнего мира, его закономерность и его познаваемость. Ни одно из них не является достаточно специфическим, чтобы относиться к какой-либо конкретной физической теории. Ни одно из них нельзя опровергнуть ни теорети- чески, ни эмпирически. Их можно лишь в той или иной степени подтвердить. В самом деле, любое успешное ис- следование повышает достоверность названных выше метафизических гипотез, тогда как ясно, что мы не мо- жем возложить на них ответственность за наши неудачи. Более того, в фактуальных науках эти условия являются необходимыми для всякого подлинного начинания в лю- бом исследовании. Ибо, если физические объекты не су- ществуют, отпадает необходимость что-то открывать. Если поведение объектов полностью незакономерно, то теряют смысл всякие намерения искать какие-либо за- коны. И если эти закономерности оказались вдруг за пределами нашего познания, то вообще не нужно тратить попусту свое время и силы на научную работу. Одним словом, приведенные выше утверждения являются ме- тафизическими предпосылками физического исследова- ния. Более того, конкретные примеры утверждения Ml , такие, как, например, «существуют гравитационные поля», принадлежат к аксиоматическим реконструкциям физи- ческих теорий, как мы это увидим в гл. 8.

Таким образом, как исследование, так и его резуль- таты в физических науках предполагают некоторое число метафизических гипотез, которые выдвигаются, суммируются, систематизируются и тщательно иссле- дуются в той области, которая может быть названа ме- тафизикой науки. Тот факт, что наука предполагает не- которую метафизику, должен внушать не опасения, а, напротив, ориентировать исследование на убедительные, ясные и плодотворные системы метафизики — системы, которые могут оказать помощь научному исследованию, а не мешать ему излишними запретами или все дозво- ляющими принципами. Если мы этого не сделаем, то вместо нас за дело примутся метафизики традиционного или спекулятивного склада мышления. Во всяком слу- чае, метафизики избежать нельзя К

Итак, физические теории предполагают и включают некоторое число семантических и метафизических идей. Правда, большинство из этих идей не являются доста- точно ясными, семантика и метафизика физики пока что отчетливо не оформились, это еще сырые полуфабри- каты.

А посему, нам нужно продолжать поддерживать огонь в печи, в которой все остальное — и огонь, и дверца — уже имеется.

7. Протофизика

  • 1 Подробнее об этом см .: М . Bunge, Method, Model and Matt- er, 1972, Part III,

Кроме формальной и философской компонент, со- ставляющих предпосылки физической теории, можно вычленить и третью — протофизику. Эта область состоит из некоторого числа принципов и теорий, которые имеют отношение к самым общим чертам физических систем, столь общим, что протофизика по существу об- разует специальный раздел точной метафизики. Одной из теорий протофизики является мереология ( mereo - l ° gy ) — теория о соотношении частей и целого. Цель мереологии заключается в выявлении с позиций систем- ного подхода, то есть с помощью некоторой теории или, вернее, множества теорий, первичных понятий системы и ее существенных частей, образующих системы либо путем объединения (физического сложения +), либо пу- тем взаимопроникновения или суперпозиции (физиче- ское произведение X)- Очевидно, что некоторые из этих теорий обходятся рассмотрением в явном виде неэмерд- жентных или суммативных свойств целого. Так, электри- ческий заряд Q ( x -\- y ) системы, составленной из двух *гел х и у, будет суммой их индивидуальных зарядов, а общая энергия линейной суперпозиции двух полей, то есть сложной системы х X у, равна сумме их индиви- дуальных энергий. Разъяснение основных понятий мерео- логии можно получить на примере физической интерпре- тации булевой алгебры К Другим примером является модель теории колец 2 .

Как только будут получены ясные понятия простой и сложной системы, мы сможем ввести понятие физи- ческого свойства, представляя его как отображение (функция или оператор) на множестве всех систем не- которого вида. Таким образом, можно избежать бессо- держательного понятия свойства, которое оторвано от системы, и вместе с этим неверного толкования коли- чественных свойств как простого набора чисел. Отсюда можно перейти к определению понятия состояния си- стемы как некоторой точки в определенном простран- стве (пространстве состояний). Затем открывается воз- можность представления события в качестве упорядочен- ной пары точек в пространстве состояний. В таком слу- чае процесс определяется как последовательность собы- тий, то есть как траектория в пространстве состояний 3 .

  • 1 См .: М . Bunge, Foundations of Physics.
  • 2 M. В u n g e, Method, Model and Matter. M.. Bunge, International Journal of Theoretical Physics, 1968, vol. 1, p. 205

После того как разъяснены понятия вещи (системы) и ее изменений (событий), можно выдвинуть некоторые реляционные идеи относительно физического простран- ства и времени. Лучшим способом здесь остается аксио-

Матический. Так, например, метрическая физическая гео- метрия может быть построена путем уточнения вида функции расстояния, определенной на топологическом произведении множества физических точек на самих себя. Физическая точка при этом характеризуется как такая точка, в которой исчезают не все физические свой- ства. Подобным же образом основания теории времени могут состоять из некоторого набора аксиом для дли- тельности, построенной как действительная функция на множестве упорядоченных троек: событие — событие — система отсчета К

Точно так же, как для вещи, свойства, события, про- странства и времени, обстоит дело и с другими протофи- зическими (или метафизическими) понятиями, такими, как понятия причинности и физической вероятности.

Все они могут быть разъяснены с помощью неболь- шого числа логических или математических понятий, и данная процедура обеспечивает ясные (это не означает, что совершенные) протофизические основания физики. Конечно, физика этой ясности не дожидалась. Более того, протофизика не могла возникнуть, пока сама физика не получила достаточного развития. Аналогично люди на- чали вычислять задолго до того, как могли быть даны строгие или даже слишком строгие и все же не оконча- тельные основания теории множеств, алгебры и тополо- гии. Но такая работа в области оснований математики оказалась в конечном счете необходимой для того, чтобы ей преодолеть кризис, обрести единство, а тем самым и способствовать развитию математического анализа. В этом смысле, даже если протофизика и не дала бы ни- чего, кроме некоторой ясности, ее следовало бы привет- ствовать или по крайней мере отнестись к ней терпимо.

Итак, любая физическая теория предполагает некото- рое число идей, которые не относятся к самой физике:

  • формальные предпосылки (логика и математика);
  • философские предпосылки (семантика и метафизи- ка) и (с) протофизика (основы теории систем, общая те- ория пространства и времени, теория физической вероят- ности и т. д.).

Некоторые физические теории заключают в себе так- же одну или несколько более конкретных физических теорий. Так, физика твердого тела предполагает кванто- вую механику, классическую теорию электромагнетизма и статистическую механику. Она представляет собой прикладную область этих теорий, которые в свою оче- редь могут рассматриваться как фундаментальные на нескольких уровнях. Фундаментальной, в строгом смысле этого слова, является не та физическая теория, которая свободна от предположений, а та, которая не предпола- гает никакой другой физической теории. Классическая механика и квантовая электродинамика являются приме- рами фундаментальных теорий. Цель проведения такого различия между фундаментальными и нефундаменталь- ными теориями состоит в том, чтобы избежать кру- га, вроде попытки вывести электромагнитную теорию из закона Кулона и специальной теории относительности, которая на самом деле основывается на теории Мак- свелла.

  • 1 М . Bunge, Philosophy of Science, 1968, vol. 35, p. 355.

Этим завершается наш краткий обзор предпосылок физической теории. Перейдем теперь к рассмотрению ло- гического статуса первичных понятий.

8. Первичные понятия

Строительными блоками любой аксиоматической тео- рии являются, конечно, ее неопределяемые, или первич- ные, понятия (вспомните раздел 4). Первичные понятия, используемые при построении аксиоматической системы, можно расклассифицировать на родовые и специфиче- ские. Первые входят в некоторое число теорий, относя- щихся к различным областям физического знания, тогда как вторые связаны с характеристиками частной теории. Так, родовое понятие состояния и специфическое понятие энтропии являются неопределяемыми понятиями термо- динамики. Любая физическая теория может заимство- вать свои родовые первичные понятия из своих предпо- сылок в надежде, что некоторые из них приживутся на ее почве. Во всяком случае, от любой частной физической теории не следует ожидать, что она может дать разъяс- нение какому-либо родовому физическому понятию.

Отправной точкой любой физической системы аксиом является в таком случае множество специфических первичных понятий, то есть неопределяемых понятий, ко- торые имеют отношение к тому частному типу систем, который изучается теорией и, следовательно, не разъяс- няется любой из теорий, составляющих формальные, фи- лософские или протофизические предпосылки данной частной физической теории. Часто, однако, бывает удоб- ным выдвинуть некоторые из этих протофизических поня- тий на передний план и трактовать на равных началах со специфическими исходными первичными понятиями дан- ной теории. Это имеет место, например, в случае понятий пространства и времени. Имеются три веских основания для включения этих понятий в исходный базис любой фи- зической теории, которой приходится их использовать. Во-первых, ради единообразия, поскольку при этом все «переменные» (фактически множества и функции) тео- рии, которым приписывается физическое значение, вно- сятся в список, становясь тем самым обозримыми. Иначе говоря, они сводятся воедино и находятся под неослаб- ным контролем. Во-вторых, потому, что разные теории могут нуждаться в различных концепциях пространства и времени и очень немногие совсем не нуждаются в них. (Статика является, например, теорией, в которой отсут- ствует время, тогда как элементарная теория электриче- ских цепей представляет собой теорию, в которой отсут- ствует понятие пространства.) В-третьих, потому, что протофизические понятия часто бывают окутаны тума- ном, который может быть развеян, только если мы до- статочно тщательно исследуем их.

Условимся называть первичной основой некоторой физической теории совокупность ее неопределяемых по- нятий, которым приписывается физическое значение и которые встречаются в физических предположениях дан- ной теории. Так, первичная основа геометрической оп- тики состоит из трех множеств и одной функции: евкли- дова трехмерного пространства, световых лучей, оптиче- ской среды и показателя преломления. Функция аксиом геометрической оптики состоит в том, чтобы охарактери- зовать как формально, так и семантически все четыре первичных понятия и склеить из них основной закон тео- рии, а именно принцип Ферма. И такая характеристика (не дефиниция) как фундаментальных понятий, так и фундаментальных утверждений теории имеет ту же са- мую основную цель, что и соответствующие доаксиома- тические (или наивные) формулировки, а именно описа- ние некоторых физических сущностей, а также объяснение и предсказание их поведения. Независимо от того, является ли физическая теория аксиоматической или нет, ее цель отличается от цели теории в чистой математике. Там, где первая описывает, вторая определяет. Поэтому, если аксиомы теории решеток ( lattice theory ) опреде- ляют и даже порождают целую категорию решеток, то аксиомы геометрической оптики пытаются отобразить вещи, которым нельзя дать логическое определение, а именно оптические системы. Как раз в этом месте расхо- дятся пути физической и математической аксиоматики.

Формалисты утверждают, что коль скоро математика основывается на теории множеств, то необходимо, чтобы анализ научной теории базировался лишь на теоретико- множественных понятиях. Более того, поскольку каждое физическое понятие обладает структурой теоретико-мно- жественного объекта, они склонны полагать, что первич- ных физических понятий просто не существует, а следо- вательно, и нет никаких различий между математической и физическими теориями 1 . Согласно этой точке зрения, любая физическая теория имеет дело всего лишь с двумя основными понятиями: множеством X и функцией F : с областью ее определения и областью ее значения. Дру- гими словами, своих первичных понятий у нее нет, по- скольку указанные понятия являются собственностью теории множеств. Но рассуждая таким образом, можно прийти к выводу, что и математика также не имеет по- нятий, ей принадлежащих, ибо в конце концов любая математическая формула является формулой исчисле- ния предикатов. Теория множеств характеризуется по- нятиями большой степени общности, такими, например, как понятие функции, тогда как специальные математи- ческие теории имеют дело с более частными понятиями, например понятием «аддитивная мера» и «синусоидаль- ная функция», относительно которых теория множеств никакой конкретной информации не содержит. Нечто по- добное справедливо и в отношении основных понятий физики. Даже если математика, как полагают, и рас- кроет их формальную структуру, то их физическое зна- чение не укладывается в математические формы и дол- жно устанавливаться физикой. Несомненно , что ( нереля - тивистские ) понятия массы и электрического заряда идентичны в математическом отношении. То же самое можно сказать о понятиях пространственных и времен- ных координат, хотя последние и имеют определенно раз- личное содержание. В итоге можно сказать, что: (а) формализм не играет роль арбитра по отношению к фи- зическим понятиям, которые не являются всего лишь пу- стыми формами, откуда следует, (Ь) что в отличие от математической теории физическая теория требует се- мантических предположений, соотносящих ее символы с некоторыми сущностями и их свойствами в физической реальности (см. гл. 3 и 4. Подробнее относительно форма- лизма см.: М. Bunge , Method , Model and Matter , 1972).

  • 1 P. S u р р е s, Set-theoretical Structures in Science, Institute for mathematical Studies in Social Sciences, Stanford University, 1967,

9. Аксиомы

Как видим, проблема характеристики основных или неопределяемых физических понятий имеет две стороны. Понятия должны быть точно определены или хотя бы очерчены как по форме, так и по содержанию. В лю- бой аксиоматической теории такая спецификация выпол- няется аксиомами. Аксиомы должны определять мате- матический статус каждого первичного понятия (множе- ство, дифференцируемое многообразие, гильбертово пространство и тому подобное), очерчивать его физиче- ское содержание и соотносить каждое первичное понятие с другими так, чтобы можно было объяснить основные аспекты физической системы, к которой относится наша теория.

Аксиомы должны выполнять в таком случае три функции: формальную, или математическую, семантиче- скую и собственно физическую функции. Иными сло- вами, каждая хорошо построенная физическая система аксиом будет содержать постулаты трех (и только трех) видов.

•  Формальные (математические) предположения (или для краткости FA ) — например, «Р есть вероят- ностная мера на множестве S 2 всех упорядоченных пар элементов множества S ».

•  Семантические (смысловые) предположения (или SA ) —например, «если упорядоченная пара эле- ментов (5, s ') принадлежит множеству 5 2 , где 5 есть пространство состояний системы, то P ({ s , s ')) обозна- чает (представляет) степень предрасположенности системы к переходу из состояния S в состояние S '.

(3) Физические предположения, (или ЯЛ)—напри- мер, « P ({ s , s ')) = P ({ s ' t s ))».

Из этих трех групп аксиом третья, образованная из физических предпосылок, составляет ядро любой физической теории.

В самом деле, если формальные аксиомы касаются формы основных понятий, а семантические аксиомы при- нимают на себя заботу об их значении, то физические аксиомы говорят о самих физических системах, которые в конечном счете и являются raison d ' etre (смыслом су- ществования) физической теории. В свою очередь, бес- спорно, наиболее важными среди физических аксиом являются те, которые ориентированы на репрезентацию объективных физических законов. Остальные физические предположения, в частности уравнения связей и значе- ния граничных условий, хотя логически и независимые ог утверждений формулирующих законы, все же будут по отношению к ним вспомогательными. Они представляют собой просто дополнительные ограничения, налагаемые на различные переменные и функции, взаимосвязанные утверждениями, выражающими законы. Любая система аксиом, которая не содержит по крайней мере одного утверждения относительно закона, не может быть ква- лифицирована как физическая теория.

Какие физические предположения должны постули- роваться в теории? Ясно, что все те, и только те фор- мулы, которые не могут быть доказаны в рамках дан- ной теории и относительно которых предполагается (или по крайней мере надеются), что они в некотором при- ближении будут верными. Уравнение движения или уравнение поля не будут постулировать, если их можно вывести из некоторого более сильного предположения (например, вариационного принципа), в особенности если более сильная аксиома содержит также и новые добавочные следствия, например уравнения сохранения. Излишне говорить, что под «выведением» или «доказа- тельством» мы подразумеваем чисто концептуальную операцию—умозаключение,— посредством которой иско- мый вывод следует из множества предпосылок на осно- вании правил вывода логических и математических тео- рий, лежащих в основании данной теории.

В частности, не имеет смысла в рамках, скажем, тео- рии кварков «доказывать», что кварки существуют. Для подобного «доказательства» вполне достаточно показать, что существует нечто вне нас и такое, что, по всей види- мости, удовлетворяет некоторым предположениям тео- рии кварков. Этот процесс верификации, связанный с рассматриваемой теорией, опирается также на ряд других теорий, хотя к ним он прямо и не относится. Да- лее, после того как подобная эмпирическая проверка уже произведена, некоторые теоремы теории могут указать на возможное существование неизвестных до сих пор свойств референтов теории. Иначе говоря, в рамках тео- рии могут быть доказаны или опровергнуты только тео- ремы. Все, что может быть доказано или сделано прав- доподобным относительно физической теории, приходит извне: либо из эксперимента, либо из метатеории дан- ной теории — как в случае доказательства непротиворе- чивости.

Резюме здесь простое: если мы хотим многое дока- зать, мы должны сформулировать сильные предпосылки (подробнее об этом см. гл. 8, § 3). Это не означает, что мы должны верить во все принимаемые нами предпо- сылки или хотя бы в одну из них. Единственное, что требуется, — так это строго придерживаться логических следствий из сформулированных предпосылок. Если бы оказалось, что какое-нибудь из этих следствий вступает в конфликт с принимаемыми идеями (фактическими дан- ными или теориями), то мы, без сомнения, отказались бы от некоторых аксиом — а именно от тех, кото- рые приводят к ошибочным следствиям. Этому пра- вилу на практике, однако, не всегда следуют. Мы ча- сто поступаем непоследовательно, штопая теорию на уровне теорем (например, вводя в последний момент об- резание) вместо корректирования самих постулатов.

  • * От freakon — вычурный, капризный. — Прим. ред.

В частности, весьма сильные экзистенциальные пред- посылки нужны хотя бы для того, чтобы убедиться, что они противоречат наблюдениям. Так, если теория го- ворит о некоторых сущностях, которые мы назовем, к примеру, «фриконами» \ то мы должны исходить из силь- ной гипотезы, что фриконы существуют, даже если этому нет никаких экспериментальных доказательств. В противном случае, если множество фриконов с самого начала рассматривается как пустое, то теория будет бессодер- жательно истинной, ибо, исходя из несуществующего, нельзя с уверенностью что-либо предсказать. Точнее го- воря, самая первая аксиома нашей теории, «фриконов» должна будет читаться примерно так: «( a ) F фФ, (Ь) каждое f в F представляет фрикон». Коль скоро мы полу- чили проверяемые следствия из таких сильных аксиом, мы можем надеяться проверить их с помощью экспери- мента. Если в эксперименте фриконы (или, скорее, сви- детельства их существования) не удастся обнаружить или не удастся подтвердить, что они обладают свойствами, которые приписывает им теория, последнюю стоит от- бросить.

Однако предположение о физическом существова- нии хотя и необходимо, но недостаточно. Оно не может быть проверено, если вещи, существование которой предполагается, не дано гипотетического описания. То есть нам следует сформулировать точные предпо- ложения относительно свойств, строения и поведения референтов нашей теории. Такие гипотезы и будут собственно физическими предположениями. Если они достаточно общие и подтверждаются удовлетвори- тельно, то они будут именоваться законами, или, лучше, утверждениями о законах, ибо сами физические законы предполагаются объективной структурой тех формул, с помощью которых мы пытаемся эти законы фиксиро- вать. Так, в случае наших фриконов мы можем, например, постулировать, что чем их больше, тем более Q -тыми они становятся, где Q есть новое свойство, возникающее вместе с фриконами. Однако эта физическая гипотеза оказывается слишком неопределенной: и не только по- тому, что она содержит неясное новое свойство Q , но также и потому, что оно выражается на обычном языке. Мы должны ограничивать себя ясно определенными гипотезами, в противном случае мы не смогли бы ска- зать ничего определенного и были бы не в состоянии выдвинуть какие-либо определенные свидетельства за или против нашей гипотезы. Предположим, что из бес- конечного числа математических формул, не противо- речащих данному высказыванию на обычном языке, мы выбираем в качестве РА\ следующее: для каждого / в

F : dQldN = aM y где а некоторое положительное действи- тельное число.

С формальной точки зрения здесь все безукоризненно.. Однако семантически это утверждение неопределенно и, следовательно, эмпирически непроверяемо хотя бы по- тому, что существует много величин, рост которых про- порционален их общей численности. Поэтому мы должны связать новое свойство Q с каким-либо уже достаточно хорошо известным физическим свойством. Только в та- ком случае мы будем в состоянии установить свойство Q или даже опознать фрикон. В общем плане: изолиро- ванные гипотезы непроверяемы.

Допустим теперь, что теория фриконов как-то свя- зана с теорией электромагнитного излучения. Предпо- ложим, например, для конкретности, что: фриконы по- рождаются фотонами. Простая математическая форму- лировка этого предположения в терминах плотности энергии полл р является следующей:

РА 2 : dN / dp = 6, где b положительное действительное число.

Мы можем теперь доказать несколько теорем и по- просить экспериментатора проверить их. Но это воз- можно лишь потому, что мы интуитивно предполагаем: (а) некоторые очевидные математические свойства на- ших основных функций (например, дифференцируе- мость) и (Ь) вполне определенный физический смысл каждого символа наших аксиом. Как уже говорилось, основная черта аксиоматики заключается именно в том, что она не оставляет места для интуитивных пред- посылок, то есть вне аксиом ничего не предполагается. Следовательно, наши первоначальные допущения сле- дует дополнить двумя дальнейшими группами аксиом, одна из которых представляет собой математические, другая — семантические предпосылки. В следующем па- раграфе мы проведем анализ этих аксиом, но прежде сделаем несколько общих выводов.

Первый вывод: в аксиоматиках, как и в обычной жизни, если мы хотим что-то выиграть, следует риско- вать. Иными словами, не нужно страшиться сильных аксиом, если они доступны проверке и обещают объяс- нить нечто такое, что мы раньше не понимали. Далее, в физических аксиомах нет ничего священного и непри- косновенного. Это всего лишь предпосылки, которые про-

Ёеряются своими следствиями и своей совместимостью с общепринятыми идеями. Но и успешное прохождение всех испытаний не гарантирует вечности аксиом, точно так же как успех в жизни не приносит с собой бес- смертия.

10. Формальные и семантические предпосылки: забытые ингредиенты

Несомненно, что содержание физических теорий со- ставляют ее физические предпосылки. Следовательно, цель всякой предпринимаемой аксиоматизации должна была бы состоять в том, чтобы выразить эти предполо- жения в убедительной и ясной форме. Однако без мате- матических и семантических допущений физические предпосылки не имеют смысла. В самом деле, любая формула представляет собой не более чем цепочку зна- ков, если ее математическая природа точно не опреде- ляется и если ничего не говорится, хотя бы схематично, о вещах и свойствах, которые, как предполагается, долж- ны представлять первичные символы. Так, в примере, ко- торый был приведен в начале предыдущего параграфа, третья формула будет непонятной без предшествующих утверждений, в то время как в свете этих утверждений она «говорит», что вероятности переходов симметричны или обратимы. Обычно такая информация получается из контекста, но она не всегда однозначна, и контекст в этом случае мало что дает. Поскольку цель аксиома- тики в том, чтобы избавиться от двусмысленностей и неоднозначностей, то любая физическая система аксиом должна включать в явном виде утверждения, касаю- щиеся всех формальных и семантических характеристик первичных понятий. Чем сложнее теория, тем в более явной форме следует ее формулировать во избежание двусмысленности. Это возможно лишь в том случае, когда внимание сконцентрировано на аксиоматических основаниях теории.

Семантические предпосылки являются наиболее сла- быми компонентами системы аксиом, ибо они выпол- няют только часть своей работы. Они лишь очерчивают семантический профиль первичных понятий и не пере- дают точно их полного содержания. Физические значе- ния являются настолько богатыми и неуловимыми, что едва Ли их можно было бы охватить Одним-единСтвеЫ- ным предложением. К счастью, остальные компоненты теории — формальные и физические предпосылки — так- же вносят свой вклад в картину значения неопределен- ных символов. Так, в нашем первом примере формальное предположение делает ясным, что Р является свойством пары, а не индивида, подсказывая тем самым, что Р находится не на том же уровне, чем, скажем, темпера- тура. В самом деле, аргумент Р есть аргумент, представ- ляющий пару состояний системы, так что Р является свойством второго порядка в отличие, например, от мас- сы тела, которая, будучи мерой множества тел, является свойством индивидов. Что же касается физической пред- посылки в данном примере, то она свидетельствует в пользу интерпретации Р как вероятности перехода или тенденции к изменению состояния в полном согласии с объективной, или диспозиционной, интерпретацией ве- роятности, которая защищалась Пуанкаре, Смолухов- ским и Поппером. Вообще же математические и физиче- ские предпосылки оправдывают семантические, а те в свою очередь задают смысловое ядро первичных поня- тий, не исчерпывая, однако, их полного значения. Опу- стите любую из указанных трех компонент, и вы не полу- чите ничего полноценного. (Предшествующие заметки предполагают конструкцию значения знака в виде упоря- доченной пары, составленной из подразумеваемого ( con - notation ) и означаемого ( denotation ) идеей, к которой этот знак относится или которую он символизирует К)

  • 1 М . Bunge, Method, Model and Matter, 1972; and M 4 Bunge (ed.), Exact Philosophy: Problems, Methods, Goals, 1972.

Заметим, что в нашем первом примере символ ' P (( s , s ')) 9 был интерпретирован с помощью весьма не- четкого понятия тенденции или предрасположения, а не с помощью более ясного понятия относительной частоты. Первая причина предпочтения понятию тенденции перед статистическим понятием частоты состоит в следующем. Число P ({ s , s ')) касается некоторого произвольного чле- на из совокупности переходов состояний, тогда как со- ответствующая относительная частота относится ко всей совокупности. Это коллективное свойство. Вторая при- чина, по которой нельзя приравнивать вероятности ча- стотам, состоит в том, что частоты не удовлетворяют

аксиомам исчисления вероятностей. Конечно, если Даннай теория вероятностей является верной, то наблюдаемые относительные частоты будут приближаться в длинной серии испытаний к вычисленным вероятностям. Но отно- сительная частота и вероятность не означают одно и то же. Наблюдаемые относительные частоты дают числен- ную оценку вероятности, но они не единственные в этом роде, и уж, во всяком случае, не они наполняют содержа- нием формулу вероятности, точно так же как показания часов не придают значения символу Т. Не следует сме- шивать значение физического символа с числовым зна- чением соответствующей величины, оцениваемой с по- мощью наблюдений, хотя бы потому, что замысел и ин- терпретация научных наблюдений подразумевают ряд теорий, которые уже обладают значением.

Если значения смешиваются с экспериментальными процедурами или с их результатами, это означает, что мы принимаем операционалистскую философию науки. Если, с другой стороны, значение символа строится как коннотация (или множество свойств) конструкта, кото- рый его обозначает вместе с предполагаемым или гипо- тетическим классом референции, то, не впадая в проти- воречие, может быть принята реалистическая филосо- фия. В то время как прежняя философия концентриро- валась на ученом и выполняемых им операциях, реали- стическая философия ориентирована на объект сам по себе и поэтому близка по духу к целям физической науки, которая призвана открыть нам картину мира, а не сущность человеческой деятельности. Последнее есть за- дача наук о человеке. Во всяком случае, чтобы ни гово- рилось по поводу семантических предпосылок, ту или иную теорию значения мы обязаны принять. Отсюда так- же видно, что серьезный подход к физической аксиома- тике не может обойтись без философии, которая должна в свою очередь серьезно отнестись к науке, если она хочет оказать ей какую-либо помощь.

Теперь мы готовы рассмотреть элементарные при- меры физических аксиоматик и, кроме того, оценить преимущества и недостатки аксиоматического подхода. Эти задачи будут решаться в следующей главе.

СодержаниеДальше

наверх страницынаверх страницы на верх страницы









Заказать работу



© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования