В библиотеке

Книги2 383
Статьи2 537
Новые поступления0
Весь каталог4 920

Рекомендуем прочитать

Хомяков А.Церковь одна
Одни считали Хомякова А.С. глубоко образованным человеком в различных областях знания, другие – дилетантом. Но как бы о нем ни судили, надо признать, что А.С. Хомяков был обладателем многих дарований. Одним из этих дарований был дар глубокого понимания церкви. Систематическое изложение учения о Церкви А.С. Хомякова находится лишь в одном из его трудов: "Церковь одна". Это сочинение кратко по объему, просто, понятно и содержит в себе все существенное, что сказал А.С. Хомяков по вопросу догмата о Церкви.

Полезный совет

Расскажите о нашей библиотеке своим друзьям и знакомым, и Вы сделаете хорошее дело.

Алфавитный каталог
по названию произведения
по фамилии автора
 

АвторВойшвилло Е.К., Дегтярев М.Г.
НазваниеЛогика
Год издания2001
РазделКниги
Рейтинг1.53 из 10.00
Zip архивскачать (1 289 Кб)
  Поиск по произведению

Глава VIII Суждение (высказывание) как форма мышления

§ 28. Общая характеристика и роль суждения в познании

Наряду с понятием к числу основных форм мышления относится суждение. Его определяют обычно как утверждение или отрицание чего-либо о чем-либо, хотя это определение относится лишь к особому виду суждений, а именно — к простым суждениям. Мысль этого типа, вообще говоря (пока без различения простых и сложных суждений, о которых речь пойдет ниже) представляет собой описание некоторой ситуации в той или иной познаваемой области действительности и утверждение или отрицание наличия этой ситуации в данной области. Эта форма мышления является, по существу, обязательным элементом всякого познания, в особенности связанного с процессами рассуждения, с осуществлением выводов и построением доказательств. В этой форме фиксируются результаты познания отдельных предметов, классов предметов, некоторых ситуаций вообще. Например, «Каждая планета Солнечной системы вращается вокруг своей оси». Можно сказать, что в этом суждении утверждается наличие в действительности ситуации: вращение вокруг своей оси каждой планеты Солнечной системы. В суждении «Для всякого проводника верно, что если по проводнику проходит ток, то он нагревается», — утверждается наличие — для каждого проводника — связи между прохождением тока по нему и его нагреванием. В суждении же «Ни одна планета Солнечной системы не является неподвижной» отрицается наличие в действительности ситуации покоя (отсутствия движения) каждой планеты Солнечной системы.

В силу того, что в суждении утверждается или отрицается наличие какой-то ситуации действительности, оно - при условии точной и правильной формулировки - является истинным или ложным.

Всякая мысль, как мы уже знаем, выражается в некоторой знаковой - обычно языковой - форме. Для суждения таковой является повествовательное предложение. Само суждение составляет всегда смысл некоторого повествовательного предложения. Суждение, рассматриваемое вместе с его знаковой формой, как мы уже говорили раньше, называют высказыванием. Поэтому характеристики «истинно» или «ложно» относятся зачастую не к самому суждению, а к вы сказыванию, а иногда и к самому повествовательному предложению, являющемуся законом некоторого суждения 1 .

• Таким образом, более подробно суждение можно охарактеризовать как мысль, выражаемую в знаковой форме повествовательного предложения, содержащую описание некоторой си туации и утверждение или отрицание наличия этой ситуации в рассматриваемой области действительности.

С наличием в суждении некоторого утверждения или отрицания неразрывно связано свойство суждения быть истинным или ложным. Впрочем, отрицание наличия некоторой ситуации всегда можно истолковать (и обычно так и делается в современной логике) как утверждение наличия отрицательной ситуации, которая состоит как раз в том, что нечто отсутствует в действительности. Говоря о том, что труд есть источник всех благ человеческого общества, мы ут верждаем наличие именно такого положения дел в действи тельности, согласно которому все блага общества являются результатами труда людей.

  • 1 Здесь, как это обычно принято, мы рассматриваем суждение как не который результат познания, хотя его можно рассматривать — наряду с понятием - и как определенную форму мыслительной деятельности, как способ языковой обработки чувственных данных, как специфический прием выделения и фиксации интересующих нас си туаций действительности.

В высказывании же «Без труда невозможно достичь серьезных успехов» утверждается отсутствие такой ситуации, когда некоторые успехи не связаны с затратой труда.

Ситуация — связь между наличием тока и проводника и наличием вокруг него электромагнитного поля — может быть выражена в суждении: «Для всякого проводника верно, что если по нему проходит ток, то вокруг него существует электромагнитное поле».

Поэтому всегда возможно считать, что суждение есть некоторое утверждение, а именно — утверждение о наличии некоторой положительной или отрицательной ситуации в действительности.

Эта возможность связана с применением общей схемы определения понятия истинности некоторого высказывания А (схема Тар- ского) «Истинно «Л», если и только если Л», где «Л» - имя данно го высказывания Л, а Л в правой части есть знак утверждаемой в данном суждении ситуации. (Вся схема должна быть прочитана так: «высказывание «Л» истинно, если и только если ситуация А имеет место в действительности».)

«Л» здесь не обязательно утверждение чего-либо. Это может быть -. В, то есть утверждение наличия некоторой ситуации, что вычитывается из соответствующего варианта схемы: «Истинно «-, В», е. т. е. -, В» (высказывание «-, В» истинно, е. т. е. в действи тельности имеет место ситуация -, В»). Именно правая часть схемы указывает на то, что высказывание «-, В» следует трактовать не как отрицание наличия ситуации В, а как утверждение наличия ситуа ции -, В (отсутствия В).

Именно наличие утверждения или отрицания описываемой ситуации отличает суждение от понятия. В понятии мы просто описываем некоторую ситуацию с целью мысленного ее выделения. Выделив ситуацию, мы можем высказать о ней то или иное сужде ние.

Аналогично тому, как один и тот же класс предметов может быть выделен в различных понятиях, обобщающих предметы клас са по разным признакам, одна и та же ситуация может быть по-разному выделена и описана в различных суждениях. Ситуация, выраженная в суждении: «Для всего проводника верно, что если по нему проходит ток, то вокруг него существует электромагнит ное поле», может быть выражено в другом суждении: «Для всякого проводника верно, что если вокруг него не существует электромаг нитное поле, то по нему не проходит электрический ток». Разные понятия, в которых обобщаются одни и те же предметы одного и того же класса, мы называли, как помнит читатель, равнозначным.

Различные суждения, в которых описывается объективно одна и та же ситуация, можно называть содержательно э к в и в а л е н т н ы -м и (иногда также р а в н о с и л ь н ы м и или р а в н о з н а ч -ными). (Просто «эквивалентными» или «равнозначными» называют высказывания с одинаковыми истинностными значениями; при этом не обязательно связанные между собой по содержанию.)

Поскольку понятие в отличие от суждения содержит только описание некоторого предмета и ситуации без утверждения наличия или отсутствия ее в действительности, — оно не является ни истинным, ни ложным. Конечно, при условии, что имеется в виду п о н я т и е с а м о по себе, что мы обычно и имеем в виду при рассмотрении понятия, а не п о н я т и е о ч е м - л и б о . Понятие того или иного человека о чем-либо всегда истинно или ложно, но именно потому, что выражается в форме суждения. Свое понятие о ромбе я могу выразить так: «Ромб есть плоская, замкнутая, четырехугольная фигура с равными сторонами». В таком случае мое понятие о ромбе, очевидно, истинно. Понятие же ромба само по себе — плоская, замкнутая, четырехугольная фигура с равными сторонами — конечно, не истинно и не ложно. Сравним: «Поражение Парижской коммуны» и «Парижская коммуна потерпела поражение»; «Все жидкости упруги» и «Упругость всех жидкостей».

В современной логике вместо термина «суждение» предпочитают употреблять термин «высказывание». Однако термином «суждение» в традиционной логике обозначали именно некоторый смысл повествовательного предложения с учетом того, что он может быть общим для различных знаковых форм. Иначе говоря, учитывалось, что одно и то же суждение может быть выражено в различных формах повествовательных предложений в пределах даже одного языка, а тем более в различных языках. Можно, например, утверждать, что «Всякий человек способен мыслить» и что «Все люди обладают способностью мышления», но в обоих случаях выражается одна и та же мысль (одно и то же суждение). Заметим, однако, что предложение «Не найдется человека, который не может мыслить» представляет собой, хотя и содержательно эквивалентное предыдущим, но, как увидим из дальнейших определений, другое суждение.

Напомним, что в описанном выше языке логики предикатов суждения выражают интерпретированные формулы, не содержащие свободных переменных (см. § 11).

Таким образом, говоря о суждении, мы хотя и должны отдавать себе отчет, что оно представлено в некоторой знаковой форме, но не обязательно иметь в виду какую-либо определенную знаковую форму. Говоря же о высказывании, имеем в виду определенную знаковую форму вместе с ее смыслом. Когда же имеем в виду лишь саму знаковую форму высказывания, — отвлекаясь от ее смысла, то есть выражаемого в ней суждения, — то употребляем «повествовательное предложение».

Знание видов — логических структур — суждений, отно шений между суждениями и умение разбираться в возмож ных преобразованиях высказываний является существенным моментом логической культуры, необходимым условием пра вильного понимания и выражения мысли, а также корректности логических операций с высказываниями.

§ 29. Простые и сложные суждения. Виды простых суждений

При выделении видов суждений прежде всего возникает необходимость различать простые и сложные суждения. Простое суждение есть утверждение о наличии или отсутствии каких-либо характеристик у какого-нибудь от дельного предмета, у части или у всех предметов некоторого класса. Например, «Математика - абстрактная наука», «Ма тематика не является легкой наукой», «Всякая наука требует труда для ее усвоения», «Некоторые отрасли знания не являются эмпирическими», «Земля имеет массу, превышающую массу Луны».

Сложным является такое суждение, которое содержит в качестве своей правильной части, то есть части, не совпадающей с целым, некоторое другое суждение. Примерами сложных суждений в языке логики предикатов (как и в ЯЛВ) являются суждения видов А & В, A v В,А z > B , -, А, где А и В, в свою очередь, есть некоторые суждения (подформулы соответствующей формулы). Так, -,УхР{х) является сложным суждением, поскольку его правильная часть УхР(х) есть, в свою очередь, суждение, в данном случае — простое (при ус ловии, конечно, что в языке имеется интерпретация логиче ских констант, указана область D возможных значений пере менной х и интерпретированным является предикатор Р).

Однако в естественном языке не всегда возможно выделить простые суждения как некоторые составные части структуры сложного высказывания, поскольку не всегда ясна знаковая структура сложного высказывания. Ясно, например, что высказывание «Сегодня идет дождь и неверно, что светит Солнце» являются сложным, ясны также и имеющиеся в его составе простые суждения — «Сегодня идет дождь» и «Сегодня светит Солнце». Но как решить вопрос, является ли простым или сложным высказывание «Нейтрон, как и протон, имеет массу, но в отличие от него лишен заряда»? Его нельзя решить формально — лишь на основе анализа знаковой формы. И вместе с тем по смыслу очевидно, что оно является сложным. В нем легко выделить отдельные суждения: «Нейтрон имеет массу», «Протон имеет массу», «Протон имеет заряд», «Нейтрон не имеет заряда», «Нейтрон отличается от протона тем, что не имеет заряда». Суждение «Только некоторые люди способны любить без надежды на взаимность» также содержит в качестве смысловых составляющих утверждения: «Некоторые люди способны любить без надежды на взаимность» и «Некоторые люди не способны на это».

Очевидно, что в таких случаях, выделение простых суждений является результатом расчленения общего смысла исходного суждения. А это — в свою очередь — значит, что под правильной частью, упоминаемой в определении сложного суждения, надо иметь в виду не обязательно знаковую его часть, но, возможно, и смысловую. Очевидно также и то, что смысловой анализ сложных высказываний естественного языка имеет важное значение как для понимания их смысла (характера содержащейся в ней информации), так и для решения вопросов об их истинности или ложности. Переводя данные высказывания на язык логики предикатов или на машинный язык для введения их в память компьютера, можно представить их в виде конъюнкции указанных простых их частей. Ясно, что они истинны лишь при истинности всех их составляющих.

Структуры (виды) простых суждений

Основными частями простого суждения являются: один или несколько с у б ъ е к т о в с у ж д е н и я (логических подлежащих) — термины, возможно выражающие понятия и представляющие предметы, о к о т о р ы х нечто в высказывании утверждается или отрицается. Во-вторых, - кат суждения (логическое сказуемое) - часть суждения, выражающая то, что утверждается (или отрицается) о предметах, которые представляют субъекты. В суждении «Солнце есть раскаленное небесное тело» субъ ект — «Солнце», предикат — «раскаленное небесное тело». В суждении «Земля вращается вокруг Солнца» два субъек та — «Земля» и «Солнце». Из данных примеров видно, что субъект представляет в суждении именно то, что мы хотим охарактеризовать в этом суждении, а предикат суждения — саму характеристику. Таким образом, найти субъект суждения - это ответить на вопрос «Что (или кого) хотят охарактеризовать в суждении?» Соответственно для нахождения предиката суждения надо ответить на вопрос «Как, каким образом хотят охарактеризовать предметы, которые представляет субъект или субъекты?»

В зависимости от содержания предиката суждения, то есть от того, что именно утверждается (или отрицается) о тех или иных предметах, мы различаем суждения, в которых утверждается (или отрицается) наличие некоторого свойства у предмета, в других — существование предмета, в-третьих — отношение между некоторыми предметами. Суждения перво го типа называются атрибутивными, вторые - эк зистенциальными (суждениями существования), третьи — суждениями об отношениях. Примеры атрибутивного и суждений об отношении даны выше (о Солнце). К числу экзистенциальных относится, например: «Пегаса (крылатого коня, описанного в древнегреческой ми фологии) не существует в действительности».

Существование как предикат — это существование в ре альной действительности, его надо отличать от существова ния предмета в некоторой области — универсуме рассуждения. Существование этого типа выражается в ЯЛП кванто ром существования (Э) или соответствующими кванторными словами естественного языка (многие, найдется, некоторые, существует и т. п.). Пегас существует в области объектов древнегреческой мифологии, и мы могли бы сказать, что в числе объектов, в данном случае существ, которые описы вались в древнегреческой мифологии, существует крылатый конь, который пробил копытом скалу и дал выход источнику вдохновения поэтов. Мы замечали уже, что каждое суждение можно рассматривать как утверждение или отрицание наличия в действительности некоторой ситуации. Представляя содержание суждения таким образом, мы трактуем его как экзистенциальное.

В атрибутивных суждениях, как и в суждениях существо вания, имеется всегда лишь один субъект. В суждениях об отношениях — более, чем один.

По характеру субъектов простые суждения делятся на единичные и множественные. В единичном сужде-нии все термины, играющие роль субъектов, — единичные имена. В множественном суждении, по крайней мере, один из субъектов представляет класс предметов. В последнем случае обязательными частями суждения, наряду с субъектами и предикатом являются также кванторные слова - «всякий», «некоторые», «многие», «какой-нибудь» и т. п. — для каждого из субъектов, представляющих класс предметов. Слова этого рода указывают, относится ли то, что утверждается или отрицается в суждении, ко всем предметам соответствующего класса или к какой-то его части: «Студент Иванов успешно сдал некоторые предметы сес сии», «Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца», «Некоторые студенты не знают ни одного из ино странных языков». Конечно, возможны случаи, когда эти слова в тех или иных случаях опускаются, однако они должны, по меньшей мере, подразумеваться. Иначе вместо суждения, как уже отмечалось в § 6, имеем лишь некоторую вы-сказывательную форму — аналог предиката как вида выражения в формализованном языке 1 , - которую нельзя оценить ни как истинную, ни как ложную.

Наряду с указанными основными частями суждений (субъектами, предикатами, кванторными словами) выделяют иногда в так называемых категорических суждениях (о них речь ниже) в качестве самостоятельной части связки двух типов: суть, не суть (есть, не есть, является, не является и т.п.) Термины этого вида являются указателем того, является ли суждение у т в е р д и т е л ь н ы м или о т р и ц а т е л ь н ы м . Например, «Все металлы суть простые вещества», «Ни один металл не есть сложное вещество». По существу, во втором случае имеем связку «не суть» («не суть (суть)» — множественное, а «не есть (есть)» — единственное число). Логически «Ни один металл не есть...» то же, что и «Все металлы не суть...». того, является ли суждение у т в е р д и т е л ь н ы м или о т р и ц а т е л ь н ы м . Например, «Все металлы суть простые вещества», «Ни один металл не есть сложное вещество». По существу, во втором случае имеем связку «не суть» («не суть (суть)» — множественное, а «не есть (есть)» — единственное число). Логически «Ни один металл не есть...» то же, что и «Все металлы не суть...».

  • 1 Слово «предикат» мы употребляли раньше именно для обозначения выражений некоторого вида в формализованном языке (ЯЛП). В другом смысле, хотя и связанном с первым, мы употребляем его теперь для обоз начения определенных частей простых суждений. В этом случае более точ ным является выражение «предикат суждения».

Не бесполезно учесть существенное различие между понятиями «логическое подлежащее» (субъект суждения) и «логическое сказуемое» (предикат суждения), с одной стороны, и «грамматические (соответственно) подлежащее и сказуемое», с другой. Выделение первых существенно именно для понимания смысла суждения, тогда как грамматические категории часто не имеют к этому пониманию никакого отношения. Различение грамматических подлежащего и сказуемого имеет чисто формальное значение. Что дает, например, знание того, что в предложении «Порядочному человеку чуждо зазнайство» подлежащим является «зазнайство»? Ведь речь в этом суждении идет о порядочных людях и именно их хотят охарактеризовать. То есть логическим подлежащим (субъектом) данного суждения — при истолковании его как атрибутивного — является здесь, очевидно, «порядочный человек», а логическим сказуемым (предикатом суждения) «чуждо зазнайство». Хотя, возможно, правда, истолковать это высказывание и как суждение об отношении. Тогда субъектами будут «порядочный человек» и «зазнайство», а предикатом — «чуждо» (несовместимы). Как учит грамматика, в простом предложении может быть лишь одно подлежащее, хотя здесь, как и в известном высказывании «Гений и злодейство не совместимы» логических подлежащих оказывается два, а может быть и больше.

Из предыдущего примера мы видим, что имеется определенный момент относительности в различении суждений на атрибутивные и суждения об отношениях. Приведенное выше суждение об отношении «Земля вращается вокруг Солнца» может быть истолковано как атрибутивное — «Земля (субъект суждения) есть (связка) планета, которая вращается вокруг Солнца (предикат суждения)», а возможно и так: «Солнце (субъект) есть (связка) небесное тело, вокруг которого вращается Земля (предикат)». Здесь мы наблюдаем явление, которое можно понять, рассматривал суждения как знание, представляющее собой ответы на некоторые вопросы. Рассмотренное суждение, как суждение об отношении, представляет собой ответ на вопрос: как можно охарактеризовать Землю и Солнце с точки зрения их отношения друг к другу? Во втором случае (как атрибутивное) оно является ответом на вопрос: как можно охарактеризовать Землю по отношению к Солнцу? Если чи татель помнит классификацию характеристик отдельных предметов (см. § 13), то он поймет, что предикат этого сужде ния - реляционное свойство Земли, а субъектом его являет ся, очевидно, «Земля». В третьем случае, который, наоборот, представляет ответ на вопрос, как можно охарактеризовать Солнце по отношению к Земле? - субъектом является Солнце и утверждается также наличие у него реляционного свойства. Однако, если быть до конца последовательными, есть и четвертая возможность истолкования первоначально го суждения: «Отношение между Солнцем и Землей (субъ ект суждения) есть (связка) отношение такое, что Земля вращается вокруг Солнца (предикат)». Это суждение является ответом на вопрос, каково отношение между Землей и Солнцем?

В каждом вопросе фиксируется что-то неизвестное в пределах чего-то известного. В суждении — в ответе на вопрос — неизвестное в вопросе выясняется как раз в преди кате суждения. Субъект же суждения выражает то, что было уже известно (мысленно выделено). В последнем вопросе, например, известным является то, что есть какое-то отноше ние между Солнцем и Землей. Предикат же суждения, отвечающего на этот вопрос, указывает на характер этого отно шения.

В традиционной логике употребительным было - при анализе суждений — понятие «логического ударе ния». Не вдаваясь в излишние подробности, скажем, что ло гическое ударение в суждении падает именно на субъект суждения, именно он указывает на то, что хотят охаракте ризовать в суждении, хотя с точки зрения новизны знания «центр тяжести» приходится как раз на предикат суждения.

Выделение субъекта суждения существенно в процессах рассуждения. Он задает тему рассуждения. Одна из логических ошибок в рассуждении — в некотором смысле нарушение требования последовательности — может состоять в подмене одной темы другой, в скачке от одного к другому. Положим, что кто-то рассуждает о существительных, что су ществительные обозначают какие-то предметы, что они изменяются по падежам и числам и т. д. И вдруг в этой цепи рассуждения появляется фраза: «Глаголы отличаются от су ществительных тем, что они изменяются по лицам и временам»! Такой скачок затрудняет понимание хода рассуждений, а по поводу таких рассуждений говорят обычно, что речь человека сумбурна, страдает отсутствием последова тельности. Ясно, что в данном случае естественнее — логич нее! — было бы сказать, в чем отличие существительных от глаголов, а не наоборот.

Все рассмотренные выше модификации и различия в истолковании суждения об отношении Солнца и Земли, понятия логического ударения, темы рассуждения и т.д. связаны с особенностями именно естественного языка, в них выражается определенная его гибкость, многообразие способов отражения одного и того же отношения. В формализованном же языке логики предикатов это многообразие исчезает. Отношения — двухместные, как в данном случае — отражаются в единой форме вида: P ( a v а 2 ) где а, и ог 2 — индивид ные константы для Земли и Солнца. Эта формула и есть перевод на ЯЛП рассматриваемого суждения именно как суж дения об отношении. Данное истолкование его максимально информативно; все атрибутивные суждения, которые являются его модификациями, менее информативны. Это видно хотя бы из того, что все они получаются из суждения об от ношении, а от каждого из них уже нет логического перехода к этому суждению. Из суждения об отношении мы можем получить другие суждения не только указанными выше спо собами, но и, например, перестановкой кванторов. Из суж дения «Некоторые студенты не знают некоторых преподава телей», которое в ЯЛП имеет вид Зх Зу -, R ( x , у), можем полу чить — Зг/ Зх -пЩх, у), то есть «Некоторые преподаватели и некоторые студенты таковы, что вторые не знают первых». Этой информации мы не можем извлечь, представляя исход ное суждение как атрибутивное.

Мораль всего сказанного такова: нельзя, вообще говоря, сводить суждения об отношениях к атрибутивным.

Категорические суждения и их виды

В связи с некоторыми особенностями исторического раз вития логики и характером современной теории выводов (умозаключений) особо выделяют вид простых атрибутив ных суждений, называемых категорическими суждениями. В первой в истории логики теории выводов, разработанной Аристотелем, рассматривались выводы именно из суждений этого типа. Эти формы выводов и в настоящее время выделяются особо в силу их распространенности и типичности в естественных, повседневных рассуждениях.

Категорические суждения - это множе ственные атрибутивные суждения; субъекты в них - всегда общее имя, таковым же - в стандартной форме выражения этих суждений — является и предикат. Более того, в такой же форме представления предикат, как правило, является описательным общим именем, то есть представляет собой знаковую форму, выражающую понятие. В стандартной форме в этих суждениях есть всегда и третий элемент - связка. А поскольку субъект есть общее имя, то всегда име ется и четвертый элемент структуры категорического сужде ния кванторное слово.

В зависимости от того, относится ли утверждение (или отрицание) ко всем или не ко всем предметам соответствую щего класса различаются общие и частные суж дения (деление по количеству). Примеры общих: «Все жидкости суть упругие объекты», «Ни одна логическая опе рация не суть действие, осуществляемое без применения языка» и т.д. Частными являются: «Некоторые юридические законы суть нормативные акты, имеющие обратную силу», «Некоторые птицы не суть существа, улетающие зимой на юг» и т. п.

В зависимости от того, утверждается или отрицается не что о мыслимых в субъекте предметах, суждение является утвердительным или отрицательным (деле ние по качеству). В стандартной форме - это означает раз личение суждений по характеру связки; в утвердительном — это суть (есть), в отрицательном - не суть (не есть) (см. только что приведенные примеры). При выраже нии суждений в естественном языке эти виды не всегда точ но различимы, иначе говоря, это деление имеет некоторый относительный характер, в зависимости от того, к какой части суждения относится частица «не» (к связке или к предикату суждения). Так, суждение «Некоторые птицы не улета ют зимой на юг», представленное выше как «некоторые пти цы не суть существа, улетающие зимой на юг» может быть истолковано и как «Некоторые птицы суть существа, не уле тающие зимой на юг». Для устранения возможных двусмыс ленностей в понимании суждений, что особенно существенно при анализе выводов, важно приводить их именно к стандартным формам.

Различая суждения одновременно по количеству и каче ству, мы приходим к делению их на следующие виды:

  • общеутвердительные: стандартная (логическая) форма - «Все 5 суть Р»;
  • общеотрицательные: стандартная форма - «Ни одно 5 не суть Р»;
  • частноутвердительные: стандартная форма «Некоторые 5 суть Р»;
  • частноотрицательные: стандартная форма — «Некоторые 5 не суть Р», где 5 и Р - общие имена, соответ ственно, субъект и предикат суждения, суть (есть) и не суть (не есть) — связки, все (ни один) и некоторые — квантор- ные слова (количественные характеристики суждения). Все указанные типы суждений читатель без труда может найти среди приведенных выше суждений.

Подчеркнем еще раз, что эти формы представляют собой стандартные виды категорических суждений. Смысл сужде ния в стандартном виде состоит в том, что утверждается или отрицается принадлежность каждого или некоторых предме тов 5 к классу предметов Р, или, более точно, тождество всех или некоторых предметов 5 каким-то предметам Р или отсут ствие такового.

В нестандартной форме в суждении мы можем просто утверждать или отрицать наличие у всех или некоторых предметов 5 каких-то признаков Р. Сравните: «Все интеллигент ные люди стремятся к самосовершенствованию» (нестандар тная, так называемая атрибутивная - (см. § 13) - форма представления категорического суждения) и «Всякий интел лигентный человек есть существо, стремящееся к самосовершенствованию» (стандартная, понятийная форма). В случае таких (стандартных) преобразований в качестве предиката суждения появляется понятие; оно предполагает указание какого-либо (желательно ближайшего) рода предметов. Вы явление его не всегда есть тривиальная задача, но в любом случае всегда можно взять наиболее широкий род: «некто» или «нечто» — «Юридические законы есть нечто, имеющее обратную силу» и т. п. Но нестандартность выражения суж дения в естественном языке может состоять и в том, что не выявлены явным образом его субъект и предикат, а также и количественные характеристики. Приведение же к стандартной форме важно прежде всего в том отношении, что позволяет точным образом выразить и понять смысл того или иного высказывания. Что, например, мы утверждаем, говоря «Не все то золото, что блестит»? Конечно, здесь есть некото рый буквальный и переносный смысл. Буквальный: «Некото рые блестящие вещи не являются золотом». Переносный, очевидно, состоит в том, что не всякая внешне привлекательная вещь имеет действительную ценность. Но и здесь еще неясно, о чем и что именно утверждается об этом. В стандартной форме надо было бы сказать: «Некоторые внешне привлекательные вещи не суть такие объекты (предметы), которые представляют действительную ценность», то есть имеем стандартную форму частноотрицательного суж дения «Некоторые ^не суть Р».

Стандартизация той или иной мысли вообще есть выявление ее логической формы и представление ее именно в этой форме, то есть в такой форме, когда выявлены все ее составляющие и связь между ними, другими словами — от четливо дана структура мысли. Впрочем, требование стан дартизации высказываний и само понятие стандартной формы относится не только к категорическим суждениям.

Стандартная форма любого простого высказывания такова, что в ней выделены, во-первых, классы предметов или отдельные предметы, к которым отно сится утверждение или отрицание (субъекты суждения или логические подлежащие), во-вторых — в случае, если субъ ектами суждения являются классы предметов, — установлены количественные характеристики утверждений или отрицаний (кванторные слова), и, в-третьих, выделено, что именно утверждается или отрицается об этих предметах (преди кат суждения или логическое сказуемое). Наряду с тем, что стандартизация имеет существенное значение для выяснения смысла выражений языка (в данном случае — предложений) и для правильного понимания их, она необходима также для осуществления определенных операций со смысловыми содержаниями этих выражений, для обеспечения возможности установления точных правил этих операций. Одним из способов осуществления стандартизации суждений является их перевод на язык логики предикатов, хотя бы с какой-то степенью точности.

Представление смысла категорических высказываний посредством круговых схем

Исходя из предыдущих рассмотрений относительно структуры смысла категорических суждений, эти структуры можно представлять в виде отношений между кругами, имея в виду, что сами круги представляют классы (объемы понятий), соответствующие субъекту и предикату.

Для общеутвердительного «Все 5 суть Р» имеем схему:

Для общеотрицательного ния «Ни одно 5 не есть Р»:

Для частноутвердительного ния «Некоторые 5 суть Р»:

Для частноотрицательного ния «Некоторые 5 не суть Р»:

Примечание. Поскольку в утверждении «Все S суть Р» не исключается и то, что «Все Р суть 5», постольку круг Р не обязательно должен быть шире S он может совпадать с 5. В частноутвердительном суждении может не быть части S , которая находится вне Р, то есть возможно, что и «Все 5 суть Р». В частноотрицательном суждении также может не быть внутренней части S , то есть «Ни одно S не есть Р». Для желающих разобраться более детально в структурах категорических суждений см. ниже.

Имея перед собой задачу изображения структуры суждения как определенного типа знаний, следовало бы отобразить в круговых схемах и те моменты неопределенности этих знаний, которые имеют место в суждениях различных типов. С этой целью можно использовать пунктирное изображение некоторых частей границ классов. В таком случае схемы должны выглядеть по-иному.

Так, смысл общеутвердительного высказывания 1 может быть изображен в виде

Пунктир здесь означает неопределенность границ круга Р, со стоящую в том, что может совпадать с S . Штриховка частей S вы деляет S как субъект суждения и указывает на то, к какой именно части этого класса относится наше знание — утверждение или от рицание чего-либо в суждении. Это существенно, когда схема при меняется именно для изображения структуры смысла высказывания, то есть структуры суждения как определенной формы знания. Вся схема как раз говорит о том, что класс S включается в Р, иначе говоря «Все предметы класса S принадлежат классу Р».

Для общеотрицательного суждения имеем:

«Все предметы S находятся вне класса Р и, очевидно, наоборот».

1 Для высказываний схемы являются изображениями их смыслов. Для суждений, которые сами уже составляют смысл высказываний, схемы изображают структуру смысла.

Для частноутвердительного суждения схема следующая

Пунктир 5 здесь соответствует выражению этих суждений «По крайней мере некоторые 5 суть Р» и указывает на возможность того, что внешняя часть круга 5 является пустой, то есть не исклю чается, что «Все 5 суть Р». Пунктир же для окружности Р указыва ет на то, что все Р могут содержаться среди S .

Для частноотрицательного суждения имеем

Опять-таки пунктир указывает на возможность пустоты части S , находящейся внутри Р, то есть на возможность того, что ни одно 5 не есть Р.

Варианты, связанные с пунктирным изображением границ классов на схемах, можно трактовать (иногда так трактуют) как су ществование множества возможных схем для суждений одного и того же типа. При этом схемы представляют собой просто возмож ные отношения между понятиями 5 и Р, а множество схем для каждого типа суждений просто указывает, какие отношения между этими понятиями не исключает это суждение.

Так, для общеутвердительного суждения предполагается возмож ность двух схем:

Для частноутвердительного суждения:

Для общеотрицательного суждения:

Для частноотрицательного суждения:

Эти схемы характеризуют информативность высказываний. Приведенные же выше схемы указывают на нечто большее: они характеризуют характер нашего знания. В частности, пунктирные части этих схем, как уже говорили, соответствуют тому, что в на шем знании, которое представляет то или иное суждение, является неопределенным.

Выделяющие и исключающие суждения

Наконец, заметим, что к числу категорических суждений часто относят так называемые выделяющие категорические суждения видов:

«Все 5, и только 5, суть Р»,

«Все S , но не только S , суть Р», Общевыделяющие

«Ни одно S , и только S , не есть Р» 1

«Некоторые S , и только S , суть Р», Частновыделяющие

«Некоторые S , и только 5, не суть Р» 2 вида 1

Существует и другая разновидность частновыделяющих суждений:

«Только некоторые S суть Р» Частновыделяющие

«Только некоторые S не суть Р» вида 2

К числу категорических относят также обычно и исключающие суждения видов:

«Все S , кроме Я , суть Р» Исключающие

«Ни одно S , кроме R , не суть Р»

  • 1 Эта форма суждения не является естественной и в естественном язы ке не встречается.
  • 2 То же.

Однако более точно суждения приведенных форм следу ет характеризовать не как категорические, то есть разновид ность простых, а как некоторые сложные суждения.

Так, «Все S , и только 5, суть Р» означает; «Все 5 суть Р и ни одно не-5 не есть Р» то есть сложное суждение — конъ юнкция двух высказываний. Например, суждение «Все мле копитающие животные и только млекопитающие являются теплокровными» имеет смысл: «Все млекопитающие живот ные суть теплокровные животные и ни одно не млекопитаю щее животное не является теплокровным».

Суждение вида «Все S , но не только 5, суть Р» равнозначно: «Все 5 суть Р и некоторые не-5 суть Р» Очевидно, что вроде бы простое по внешнему виду суждение «Все металлы, но не только они, проводят электрический ток» рав носильно сложному: «Все металлы проводят электрический ток и некоторые неметаллы проводят электрический ток».

Первые два из частновыделяющих (вида 1) отличаются от других двух (вида 2) тем, что логическая константа «только» связана в них с субъектом, в двух других — с кванторным словом «некоторые» (первые можно было назвать субъект- но-выделяющими, а вторые - кванторно-выделяющими суждениями). Для первых имеем эквивалентности:

Некоторые S , и только S , суть Р = (Некоторые 5 суть Р) & & (Ни одно не- S не суть Р). Например, «Некоторые кислоты и только они образуют соли» эквивалентно «Некоторые кис лоты образуют соли и ни одна не кислота не образует соли».

Некоторые S , и только S , не суть Р = (Некоторые 5 не суть Р) & (Все не-5 суть Р). Например, «Некоторые лодыри и только они не сдадут этот экзамен» = «Некоторые лодыри не сдадут этот экзамен» и «Все не-лодыри сдадут его».

Два других частновыделяющих вида 2 (кванторно-выделя- ющие) эквивалентны между собой и могут быть истолкованы как конъюнкция: (Некоторые 5 суть Р) & (Некоторые 5 не суть Р). Например, «Только некоторые студенты становятся профессорами» эквивалентно «Некоторые студенты ста новятся профессорами и некоторые студенты не становятся ими».

Определенное различие, которое чувствуется в формули ровках этих суждений (хотя они объективно и эквивалентны), имеет психологический характер. В одном из них «Только некоторые 5 суть Р» центр тяжести падает на второй член конъюнкции «Некоторые S не суть Р», эквивалентный в свою очередь «Неверно, что все S суть Р». Поэтому все выделяющее суждение эквивалентно такому:

(Некоторые S суть Р) & (Неверно, что все S суть Р).

В суждении формы «Только некоторые S не суть Р» вы деляется первая часть упомянутой конъюнкции (Некоторые S суть Р), эквивалентная «Неверно, что ни одно S не суть Р». Принимая это во внимание, можно увидеть, что все выделяющее суждение этого вида эквивалентно: (Неверно, что ни одно S не суть Р) & (Некоторые S не суть Р).

Упомянутые психологические различия связаны со специ фикой ситуаций, в которых высказываются эти суждения. Обычно эти суждения употребляются как возражения на необоснованные обобщения: если, например, студенты заявля ют, что никто не сдаст логику, преподаватель может ответить: «Только некоторые не сдадут!», подчеркивая тот факт — пер вый член конъюнкции, — это некоторые сдадут. В случае же проявления излишней самонадеянности «Все сдадим!», естественно возразить: «Нет, только некоторые сдадут!», оттеняя второй член конъюнкции — «Некоторые не сдадут».

Как видим, логическая константа «только» употребляется как некоторый ослабленный аналог отрицания («Прямым» отрицанием в первом случае было бы суждение «Некоторые сдадут», а во втором - «Некоторые не сдадут»).

Исключающее суждение формы «Все S , кроме R , суть Р» выражает сложное суждение: (Все S , которые не являются R , суть Р) & (Ни одно R не есть Р). (Более детально, с учетом рода М понятии 5, R , Р: «Все предметы класса М, обладаю щие свойством S и не обладающие свойством R , суть предме ты М, обладающие свойством Р, и ни один предмет М, обла дающий свойством R , не есть предмет М, обладающий свой ством Р»).

Так, если кто-то говорит: «Все спортсмены, кроме боксе ров, вызывают у меня симпатию», то фактически он утвер ждает: «Все спортсмены не-боксеры вызывают у него симпатию» (1) и «Ни один боксер симпатии у него не вызывает» (2). (С учетом М - особого рода понятий, играющих роль S , R , Р: 1. Все люди (М), являющиеся спортсменами ( S ) и при этом не являющиеся боксерами ( R ) есть люди (М), вызывающие у него симпатию (Р) и 2. Ни один человек (М), являющийся бок сером ( R ) не есть человек (М), вызывающий у него симпатию

Другая словесная формулировка исключающего суждения этого вида — сходная с выделяющим — «Среди 5 только R не суть Р».

Аналогичным образом выясняется смысл отрицательного исключающего суждения «Ни одно S , кроме R , не суть Р». Осуществить этот анализ предлагается самому читателю.

Упражнения

1. Выявите логическую форму суждений:

  • а) Многие юристы занимаются адвокатской деятельностью;
  • б) Спортсмены, достигающие больших успехов, затрачи вают много времени на тренировки;
  • в) Потоки воды, текущие из мест более низких в места более высокие, не являются реками;
  • г) Есть такие люди, которые проявляют беспечность в жизненно важных ситуациях.

2. Представьте следующие высказывания как суждения об отношениях и образуйте из них возможные атрибутив ные суждения:

  • а) Всякая мать любит своего ребенка;
  • б) Некоторые города расположены между Москвой и Одессой;
  • в) В темной комнате трудно найти черного кота.

3. Чем вызвана двусмысленность следующих предложе ний и как ее избежать? Какие простые суждения можно вы делить в следующих высказываниях:

  • а) Когда Дубровский убил медведя, Троекуров не рассер дился, а только велел снять с него шкуру;
  • б) Отец героя умер, когда ему было 28 лет;
  • в) Чернышевский пишет роман о направлениях деятель ности демократической интеллигенции в крепости;
  • г) Боясь грозы, старуха спрятала голову под подушку и держала ее там, пока она не кончилась.

4. Определите вид следующих атрибутивных суждений и представьте их в стандартной форме (в необходимых случа ях выявите их недостающие — подразумеваемые — смысло вые части):

  • а) Народы мира не хотят войны;
  • б) Народ земного шара хочет мира;
  • в) Несколько дней бушевал ураган;
  • г) Не все современники динозавров вымерли;
  • д) Не шведы победили в битве под Полтавой;
  • е) Далеко не все руководители следуют принципу един ства слова и дела.

5. Укажите, какие простые суждения содержатся в следу ющих высказываниях, определите их вид и представьте в эквивалентной форме:

  • а) Только металлы образуют соли;
  • б) Только существительные изменяются по падежам (ка кая часть этого высказывания является ложной?);
  • в) «Только тот достоин чести и свободы, кто каждый день за них идет на бой»;
  • г) Все водные животные, кроме китов и дельфинов, явля ются холоднокровными;
  • д) Ни один металл, кроме висмута, не сжимается при на гревании.

§ 30. Виды сложных суждений

Напомним, что сложным является такое суждение, кото рое содержит в качестве своей правильной части некоторое (по крайней мере одно) другое суждение. Основные виды сложных суждений упомянуты и даны в определениях фор мул в ЯЛВ и ЯЛП. Это конъюнктивные — вида & В), дизъ юнктивные — { A v В) , импликативные — (А г> В) и образован ные из других суждений с использованием операции отрица ния ------ 1 А, где А и В есть какие-то простые или, в свою оче редь, сложные суждения. Например, к виду (А & В) будут от носиться ((А & В) & С), как и (А & (В& Р), а также (А & (В v Q ), (А & (В => С)) и т. п., где А, В, С — какие-нибудь суждения. Ина че говоря, вид сложного суждения определяется той логиче ской константой, которая представляет последнюю операцию при образовании данного высказывания. Конечно, эта по следняя операция не определяет всей структуры высказыва ния. Собственно основная задача анализа сложных суждений состоит не только в описании их логических структур, сколь ко в выяснении способов их возможных преобразований, особенно таких, результаты которых являются эквивалентны ми. Эквивалентные суждения иногда вообще даже не различают. Так, не различают, например, суждения (Л& (В& Q ) и ((Л & В) & С), сводя их к виду Л & В & С. Однако, строго говоря, это не точно: эти две знаковые формы выражают разные суждения. Но они равносильны (в силу закона ассоциатив ности конъюнкции) и отождествлять их можно, опуская скобки вообще, лишь тогда, когда нас интересует только истин ностное значение суждения или (что то же) информация, ко торую выражает данная знаковая форма, а не само оно как смысл некоторого предложения. Аналогичным образом дело обстоит и для высказываний вида (Л v В).

Следует обратить внимание на некоторые особенности выражения суждений в естественном языке. Во-первых, мы можем иметь здесь сложные суждения, составные смысловые части которых не выделены как особые части знаковой фор мы этого суждения. Пример такого рода мы уже приводили (относительно различения протонов и нейтронов - § 29).

Во-вторых, особенности высказываний в естественном языке проявляются и в том, что одни и те же логические константы могут иметь разные смыслы в различных ситуа циях. Например, знаку « v » формализованного языка в есте ственном соответствует слово «или», но взятое в некотором определенном смысле — образованное с его помощью вы сказывание «А или В» указывает на наличие какой-нибудь из двух ситуаций А и В, не исключая возможность наличия той и другой (слабая дизъюнкция). Однако мы упо требляем в естественной речи дизъюнкцию и в таком смыс ле, при котором высказывание «Л или В» означает: «Имеет место ситуация Л или В, но не обе вместе» (сильная, или строгая, дизъюнкция). Правда, в русском языке чаще в таких случаях употребляют слово «либо», то есть вместо «Л или В» употребляют фразу «Л либо В» (а иногда даже - «либо А, либо В»). Высказывание с сильной дизъюнкцией может быть выражено через слабую с использованием отрицания. А именно: «Л либо В» выражает ту же информацию, что и следующие конъюнктивные высказывания: «А или В и не верно, что Л и В», «Л или В и неверно А или неверно В». Ис пользуя, как это часто делается в формализованных языках, для сильной дизъюнкции знак « v » и знак « = » для отношения квивалентности (равнозначности, равносильности) между высказываниями, мы можем выразить приведенные эквивалентности точным образом:

Таким образом, утверждение с сильной дизъюнкцией является более сильным, то есть информативным, поскольку представляет собой конъюнкцию утверждений. Ничто не мешает нам, конечно, употреблять слабую дизъюнкцию, утверждая «А или В», когда ситуации А и В в действительно сти исключают друг друга. Мы можем это делать, когда хотим выразить информацию лишь о том, что есть лишь две эти возможности, оставляя открытыми вопрос о том, совместимы или несовместимы А и В (нас это не только может не интересовать, но мы можем даже этого и не знать). Если для решения той или иной задачи достаточно этого, то нецелесообразно даже употреблять более сильное утверждение «А либо В», поскольку при этом к существенному для реше ния именно этой задачи добавляется несущественное для него. А это затрудняет понимание рассуждения и утвержда ющему это больше вероятности ошибиться. К тому же, чем больше утверждается, тем больше надо и доказывать. Поэтому в таких ситуациях справедливым представляется принцип: «Не утверждай больше, чем нужно!»

и- i А вместе, например, истинными быть не могут, но не могут быть оба и ложными. Однако два эти утверждения «разводятся» в логике и выражаются в виде двух различных законов. Один из них — закон исключенного третьего — говорит, что для любого высказывания А верно: А или -,А ( A v -. А). Другой — закон противоречия — указывает: невер но, что А и -1 A h (А &-.А)).

По смыслу ясно, что как для сильной, так и для слабой дизъюнкции высказывание «А или В» эквивалентно «В или А», то есть или оба истинны или оба ложны. Это свойство дизъюнкции называется коммутативностью (перестановочностью) .

Разные употребления имеют и союзы «и», «если..., то...», соответствующие конъюнкции («&») и импликации (« z >») в формализованных языках. Для конъюнкции, например, име ет место эквивалентность: А & ? = В & А. Однако явно не эк вивалентны высказывания: «Человек М совершил правонарушение и понес наказание» и «Человек М понес наказание и совершил правонарушение». Здесь употребляется так называемая конъюнкция, для которой существенное значение имеет последовательность описания событий. Употребляя в формализованных языках «&», мы отвлекаемся от порядка событий в действительности и, конечно, это правомерно лишь в тех случаях, когда в самой действительности последо вательность не является существенной. Конъюнкция в таком случае обладает свойством коммутативности как и дизъюнк ция. То есть «Л и В» эквивалентно «В и А» (Л & В = В & А).

Этим свойством не обладает логическая связка, рассмат риваемая ниже — импликация ( ID ). В русском языке вместо слова «и» для обозначения конъюнктивной связи высказываний А и В употребляются также: «Л и В имеют место однов ременно»; «Как А, так и В»; «Л, хотя и В»; «Не только А, но и В»; «А несмотря на В»; «А, в то время, как В» и т. д. Ясно — по смыслу связки «и», — что вместо одного сложного высказывания «А и В» мы можем высказать одно за другим два высказывания: «А» и «В» (то есть «А», «В»). Эти два случая в естественном языке часто даже трудно различить, какой из них имеет место. Часто это приходится решать по контексту.

Многообразные аналоги имеются в естественном языке также и для импликации («з»). Основная знаковая форма, соответствующая высказыванию «АэВ» в естественном языке: «Если А, то В», хотя часто употребляют такие: «По скольку А, постольку В»; «Коль скоро А, то В»; «В, если А»; «А достаточно для В»; «В необходимо для А» или просто, опуская логическую связку, говорят: «Назвался груздем — полезай в кузов»; «Сказал А - говори В». Во всех таких слу чаях подразумевается: «Если А, то В». Эти случаи надо отли чать от тех, когда словосочетание «если..., то ...» употребля ется вместо союза «и» в совокупности с некоторым противо поставлением, например, «Если вчера было жарко, то сегодня хоть пальто надевай».

Однако и сама логическая связка «если..., то...» может иметь разные смыслы в естественном языке. Обычно ука занный союз выражает связь между некоторыми свойствами предметов или связь между явлениями, событиями, процессами и т. п. (детерминированность, обусловленность одного другим) и истинность всего сложного суждения (в отличие от того, когда «если..., то...» представляет определенную ранее импликацию, которая называется «материальной импли кацией») не зависит от истинностных значений составляющих его простых. Например, одинаково истинными будут утверждения: «Если сумма цифр числа 357 делится на 3, то и само это число делится на 3» и «Если сумма цифр числа 457 делится на 3, то и само это число делится на 3». Оба эти суждения истинны, поскольку оба они выражают действительно имеющуюся связь между указанными свойствами чи сел (представленных в десятичной системе). При замене ус ловной связи материальной импликацией, то есть при истолковании «если..., то...» как материальной импликации, оба эти суждения также будут истинными. Но истинным ока жется также и утверждение: «Если сумма цифр числа 457 делится на 3, то это число делится на 5», — хотя ясно, что нет никакой связи между делимостью суммы цифр числа на 3 и делимостью самого числа на 5. Данное же высказывание ис тинно согласно приведенным ранее (см. § 10) условиям истинности импликативных высказываний; в нашем случае — в силу ложности антецедента высказывания. Утверждение условной связи сильнее, чем утверждение «Если А, то В» в смысле материальной импликации: всегда, когда истинно первое — истинно и второе, но не наоборот. Употребляя материальную импликацию, мы отвлекаемся от связи между высказываниями по содержанию, то есть от связей между ситуациями, которые описывают эти высказывания. Это обусловливает некоторые «странности», которые иногда даже характеризуют как парадоксы материальной импликации. Однако, несмотря на это упрощение рассматриваемой логической связки, а именно даже благодаря этому упрощению, она оказывается весьма полезной для описания различных форм дедуктивных выводов. Заметим, что в настоящее время в логике построены и такие формализованные языки и аппарат дедукции, в которых импликация (обозначаемая обычно « -» ») адекватна указанной связке, «если..., то...». Языки этого рода полезны для выражения именно таких вы сказываний, где необходимо отразить наличие связей между ситуациями действительности, например, в формулировках законов науки. Логические исчисления указанных типов получили название релевантной логики 1 .

  • 1 См., например, Войшвилло Е. К. Символическая логика. Классическая и релевантная. — М.: Высшая школа, 1989.

Упражнения

1. Определите, какие из указанных высказываний являются сложными, и переведите их на язык логики высказываний, обозначив простые составляющие сложного суждения отдельными буквами:

  • а) Кто любит трудиться, тому без дела не сидится;
  • б) Он и рад бы косить, да некому косу носить;
  • в) Если некоторое число N оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5 и если число не делится на 5, то оно не оканчивается ни на 0, ни на 5;
  • г) Есть ложь, не заслуживающая порицания;
  • д) Если на приговор подана жалоба или принесен про тест, дело подлежит передаче в вышестоящий суд;
  • е) Кончив дело — гуляй смело или продолжай работать;
  • ж) Если какой-то человек сказал неправду, то он или не знает действительного положения дел или умышленно вво дит в заблуждение других, но ни то и другое вместе;
  • з) Ни один прокурор не является адвокатом; и) Какая бы ни была работа, если взялся за нее, то дово ди до конца.
  • к) Если еще в прошлом веке автомобиль был роскошью, то в нынешнем — это средство передвижения.

§ 31. Понятие необходимого и достаточного условия

Условная связь «если..., то...» будучи средством выражения законов науки, полезна также для выяснения важных с точки зрения логической культуры понятий необходимого и достаточного условия чего-либо.

Мы говорим, что обстоятельство А (признак, событие, явление и т. п.) является достаточным условием обстоятельства В, если и только если Л и В связны между собой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А, имеется и В, то есть для каждого случая истинно высказывание «Если Л, то В».

Обстоятельство А является необходимым условием обстоятельства В, если и только если А и В связаны между собой таким образом, что в каждом случае при отсутствии А, отсутствует В, то есть в каждом случае истинно высказывание «Если неверно Л, то неверно В» (это высказывание эквивалентно высказыванию «Если В, то А»).

Из сказанного видно, что если А — необходимое условие В, то В — достаточное условие А, и наоборот. А из приведен ного выше примера видно, что делимость суммы цифр числа на 3 есть достаточное условие делимости на 3 самого числа. Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить вопрос, является ли оно необходимым? Известно из арифметики, что это действительно так.

С понятиями необходимых и достаточных условий в математике связаны понятия прямой и обратной теорем. Формулируя теорему вида «Если А, то В», уста навливают достаточность условия А для В. Установление же того, что имеет место и обратная теорема «Если В, то А» означает указание того, что А является и необходимым усло вием для В (поскольку «Если В, то А» равносильно «Если не- А, то не-В»). Имея теорему вида «Для всякого объекта неко торого класса (геометрических фигур, чисел и т. п.) верно, что если он обладает свойством А, то он обладает свойством В», ставят обычно вопрос, а верно ли обратное - «Если В, то А»? Если так, то мы имеем также и обратную теорему по от ношению к первой. Подобные рассуждения относятся не только к математике. Теорема математики — это некоторый закон математики, аналогичные вопросы возникают по отношению к законам любой науки. Будучи выраженным либо в форме «Всякое S суть Р» (всякий предмет некоторого класса М, обладающий свойством S , обладает свойством Р) или в виде «Для всякого предмета класса М верно, что если он об ладает свойством S , то он обладает свойством Р», он - при условии правильной формулировки закона - содержит указание достаточного условия 5 для существования Р. И, конечно, не лишен при этом познавательного значения вопрос: не верно ли и обратное? Естественно, само S может быть сложным свойством, хотя бы в том смысле, что оно является объединением множества свойств, и достаточным условием Р является именно совокупность свойств. Вспомним, напри мер, закон классической механики: «Всякое тело (М), на ко торое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю (5), находится в покое или движется равномерно и прямолинейно (Р)». Но полезно, конечно, знать, что верно обратное: «Всякое тело, которое находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, есть тело, на которое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю». Таким образом, признак, состоящий в том, что на тело не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю ( S ( x )), является достаточным и необходимым для признака «тело покоится или движется равномерно и прямолинейно» [Р{х)).

Ш Упражнения

Выясните, является ли достаточным и необходимым условием для указанного выше признака Р признак: «На тело не действуют никакие силы» (5 t )? (Точнее Р{х) и S x ( x ), поскольку знаковыми формами признаков, как помнит читатель, являются предикаты).

Аналогичную задачу решите для признака «равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю»

Заметим, что вообще для любых двух признаков S ( x ) и Р{х) (относящихся к некоторому классу предметов М - области значений переменной х) справедлива классификация:

1) Один из них является достаточным и необходимым ус ловием для другого или

  • достаточным, но не необходимым, или
  • недостаточным, но необходимым, или, наконец,
  • недостаточным и не необходимым.

Выше уже приведены примеры признаков достаточных и необходимых; читатель, только что выполнивший упражнение, наверное установил, каковы отношения между S x ( x ) и Р(х), а также между S 2 { x ) и Р(х). Для некоторых подскажем, что S x { x ), как и S 2 ( x ), достаточен для Р{х), но не необходим.

Аналогично, незаконное хранение оружия достаточно для привлечения к уголовной ответственности, но, конечно, не является необходимым для этого. Но гласность, являясь необходимым условием демократии, не является в то же время достаточным, как и, например, повышение производительности труда для повышения уровня благосостояния общества. Между тем рост человека, его возраст и, конечно, пол не являются ни достаточными и ни необходимыми условиями для усвоения логики.

И, наконец, вспомним определение основного содержания понятий. Его составляет совокупность признаков, каждый из которых необходим, а все вместе они достаточны для решения вопроса о том, относится ли какой-нибудь предмет к объему понятия, то есть к классу обобщаемых предметов.

Знание самих понятий, необходимых и достаточных условий может быть весьма полезным для образования тех или иных понятий, для выяснения смыслов имен. При этом оно может избавить человека от хаотического и излишнего перечисления признаков предметов, способствовать минимизации тех данных, которые характеризуют тот или иной предмет или предметы некоторого вида. Именно требование указанной минимизации подразумевается обычно в обращении учителя к ученику или вообще к тому или иному человеку: «Выделяйте существенное», «Не нужно второстепенного, не идущего к делу» и т. п. Требования такого рода часто означают: укажите достаточные и необходимые признаки предметов данного класса.

Упражнения

1. К какому виду — с точки зрения необходимости и с точки зрения достаточности — принадлежат следующие условия:

  • а) делимость числа на 2 и на 3 для делимости его на 6;
  • б) активное участие общественности в борьбе с преступ ностью для ликвидации преступности;
  • в) мутации для естественного отбора;
  • г) круглая тень Земли на поверхность Луны для призна ния истинности утверждения о шарообразности Земли;
  • д) нагревание металлического стержня для его расшире ния;
  • е) наличие тренировок для установления рекордов;
  • ж) наличие дыма для огня;
  • з) знание предмета для получения отличной оценки по нему на экзамене;
  • и) истинность одного члена дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции;
  • к) истинность обоих членов дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции;
  • л) ложность антецедента для истинности импликации; м) ложность обоих членов дизъюнкции для ложности всей дизъюнкции;
  • н) ложность консеквента для истинности импликации.

2. Пользуясь определениями необходимого и достаточно го условий, сформулируйте соответствующие суждения с употреблением связки «если..., то...» (« з »):

  • а) А есть необходимое условие для В;
  • б) В есть необходимое условие для А;
  • в) А есть необходимое, но не достаточное условие для В;
  • г) В есть достаточное, но не необходимое условие для А;
  • д) А не достаточное и не необходимое условие для В;
  • е) неверно, что А достаточное и необходимое условие для В;
  • ж) неверно, что А не достаточное условие для В или В не необходимое условие для А.

3. Какие суждения относительно достаточности или необ ходимости условий можно сформулировать исходя из истин ности высказываний вида:

  • а) р => q ;
  • б) —1 р=э -, д ;
  • в) -.ргэд;
  • г) -,д=>р;
  • д) (рлг) z > s ;
  • е ) -> S 3( pvqr ).

§ 32. Связь между простыми суждениями со сложными субъектами и предикатами и сложными суждениями. Преобразование категорических суждений за счет расширения субъектов

Собственно, мы уже рассматривали примеры простых сужде ний со сложными субъектами или предикатами (возможно, конеч но, и то и другое, то есть дизъюнкция здесь слабая). Это случаи, когда субъект или предикат суждения есть понятие, основное со держание которого составляет сложный предикат (сложную выска- зывательную форму). Таковым является суждение о каждом теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, — субъект суждения, и для которого верно, что оно находится в покое или движется равномерно и прямоли нейно, — предикат суждения. Другие примеры: «Всякое число, ко торое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5»; «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3»; «Для всякого числа вер но, что если оно оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на 5». Едва ли надо разъяснять, что в этих суждениях субъект или преди кат являются сложными.

Возможно, стоит обратить внимание читателя лишь на послед ний пример. Субъект здесь, очевидно, общее имя — «число», а предикат является сложным — импликативным: «Если оно (некото рое число х) оканчивается на 5 или на 0, то оно (это же число х) делится на 5». Читатель может, безусловно, сам убедиться, что все эти суждения являются простыми, поскольку ни в каком из них нельзя выделить такую часть, не совпадающую со всем суждением, которая в свою очередь была бы суждением. Однако для некоторых из этих суждений мы можем указать эквивалентные им сложные суждения. Так, суждение: «Всякое число, которое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5» эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое оканчивается на 0, делится на 5» и «Всякое число, которое оканчивается на 5, делится на 5». Простое суждение: «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3» так же эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое делится на 6, делится на 2» и «Всякое число, которое делится на 6, делится на 3». Имеющиеся здесь отноше ния эквивалентности имеют общий характер, то есть справедливы для всех суждений, имеющих те же логические формы:

(Всякий предмет х из некоторой области D , имеющий свой ство А или В, есть С (иначе, есть предмет х, обладающий свойством Q ) = (Всякий предмет х из некоторой области D , который имеет свойство А, есть q и (Всякий предмет х из некоторой области D , который имеет свойство В, есть С).

(Всякий предмет х из области D , обладающий свойством А, есть предмет х, обладающий свойствами В и О, = (Всякий предмет х из области D , обладающий свойством А, есть В) и (Всякий пред мет х из области D , обладающий свойством А, есть С).

Аналогичным образом могут разлагаться на сложные суждения не только категорические, которые мы только что рассмотрели, но и суждения об отношениях.

Например, суждение вида V * {[А(х) v В(х}) z > Ъу [С(у) & Щх , у))) 1 . Впрочем, если учесть, что суждение об отношении может быть ис толковано как атрибутивное, то этот случай сводится к первой из указанных эквивалентностей. Так, суждение об отношении «Для

1 Оно будет эквивалентным

Vx ( A ( x ) z > ly ( Qy ) & Щх, у))) & V * (Щх) =>1у(С{у) & Щх, у))).

всякого предмета х, который обладает свойствами А или В, суще ствует предмет у, обладающий свойством С, такой, что для них верно Rfx , у)», мы сводим к атрибутивному со сложным объектом: «Всякий предмет х, обладающий свойством А или В, есть предмет такой, что существует предмет у, обладающий свойством С, к кото рому х находится в отношении R ». Теперь оно разлагается как ка тегорическое суждение со сложным дизъюнктивным субъектом (см. эквивалентность № 1).

Упражнения

Покажите, как можно разложить на сложные суждения при веденное выше простое суждение о теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, и об ратное ему.

Осуществите операцию разложения на сложные в отношении простого суждения: «Всякое слово, которое является существительным или прилагательным, изменяется по падежам и лицам».

По существу, как мы видим, разложению на сложные поддают ся общие категорические суждения с дизъюнктивными субъектами или конъюнктивными предикатами («или» здесь — слабая дизъюнкция). Но не может быть разложено на сложное простое суждение вида V * (А{х) & В(х)) есть С{х)), например, «Всякое число, делящееся на 2 и на 3, делится на 6».

Суждение вида «Некоторые А или В суть С» эквивалентно дизъюнктивному сложному суждению: «Некоторые А суть С или Некоторые В суть С». Суждение же вида «Некоторые А суть В или С» эквивалентно: «Некоторые А суть В или Некоторые А суть С». Эти эквивалентности справедливы и для соответствующих отрица тельных суждений, то есть частные суждения разлагаются на сложные лишь в случаях сложных дизъюнктивных субъектов или предикатов.

Далее, полезно иметь в виду следующие эквивалентности для категорических суждений (субъекты и предикаты которых есть по нятия и при этом субъекты их не являются пустыми понятиями). Суждение вида «Всякий предмет х из области D , обладающий свойством S , суть предмет из этой же области, обладающий свой ством Р» эквивалентно: «Всякий предмет D таков, что если он обла дает свойством 5, то он обладает также и свойством Р». Эта эквивалентность используется при переводах категорических суждений вида «Все 5 суть Р» на язык логики предикатов (ЯЛП), в котором оно получает форму выражения: Vjc ( S ( x ) пР(х)). Но при таком пе реводе мы подразумеваем некоторую область возможных значений х D , которая, естественно, должна подразумеваться и в исходном — переводимом — суждении. Суждение, получаемое при переводе, также категорическое, с субъектом — D и импликатив-ным предикатомЯ*уЬ Р(х).

Общеотрицательное суждение «Ни один предмет из области D , обладающий свойством 5, не есть предмет из D , обладающий Р» эквивалентно «Для всякого предмета D верно, что если он обладает свойством S , то он не обладает свойством Р». Соответственно этому суждение «Ни одно 5 не суть Р» на ЯЛП выражается: Vx ( S { x ) ¦=> -.Р(х)), при условии опять-таки, что область значений х D подразумевается в формулировке исходного суждения.

Для частных суждений имеем: «Некоторые предметы из области D , обладающие свойством S , суть предметы, обладающие свойством Р» эквивалентно «Некоторые предметы из области D таковы, что они обладают свойством S и Р».

«Некоторые предметы из области Д обладающие свойством S , не суть предметы, обладающие свойством Р» эквивалентно «Некоторые предметы D таковы, что они обладают свойством 5 и не обладают свойством Р».

На основе этих эквивалентностей совершаются следующие переводы частных суждений на ЯЛП:

Некоторые 5 суть Р г Эх { S ( x ) & Р(х)).

Некоторые S не суть Р = lx ( S ( x ) & -,Р(х) ), при этом - как и для общих суждений — область значений х должна подразумеваться в исходных суждениях.

Таким образом, при указанных преобразованиях категорические суждения остаются категорическими, но с более широкими субъектами (область D ) и при этом предикаты общих суждений преобразуются в импликативные, а частных — в конъюнктивные.

Однако такие преобразования, как уже было замечено, правомерны лишь при определенном условии, а именно: в том случае, когда понятие, играющее роль субъекта исходного категорического суждения, не является пустым, то есть имеет какое-то предметное значение. В противном случае не получается приведенных эквивалентностей. Например, суждение «Всякий человек, который не нуждается в пище, может жить не работая» (в стандартной форме: «Всякий человек, который не нуждается в пище, суть человек (лицо), который может жить, не работая») при указанном преобразовании приобретает форму: «Для всякого человека верно, что если он не нуждается в пище, то он может жить, не работая». Последнее суждение является, очевидно, истинным (тем более при понимании «если..., то...» как материальной импликации; в этом случае оно истинно в силу ложности, невыполнимости антецедента, то есть высказывательной формы «человек, не нуждающийся в пище», для любого человека). Исходное же суждение скорее всего нельзя признать истинным или ложным. «Истинность» и «ложность» есть соответствие или несоответствие нашей мысли действительности, а в действительности нет таких предметов, к которым относится утверждение.

В логике, правда, есть различные точки зрения относительно истинностных оценок высказываний с пустыми субъектами. Одна из них, которая приписывается Аристотелю, такова: утвердительные суждения с пустыми субъектами ложны, а отрицательные — истинны независимо от их содержаний. Согласий другой, все общие суждения с пустыми субъектами истинны, а частные ложны, опять-таки независимо от их содержаний. Но обе эти, как и другие, концепции представляют собой, по существу, произвольные соглашения и в каких-то случаях оказываются явно несостоятельными.

Например, вечный двигатель, по определению, есть двигатель, который работает без затраты энергии. Но, согласно первой концепции, суждение «Все вечные двигатели работают без затраты энергии» — ложно, хотя согласно второй, — оно истинно! Скорее всего такие суждения (с пустыми субъектами) следует считать неосмысленными, лишенными реального содержания, а в практике научного познания едва ли кто-нибудь будет высказывать такие суждения. Может, правда, оказаться, что мы не знаем, является ли некоторое понятие (и соответствующее общее имя) пустым или непустым. В физике, например, встречается такое понятие как «антиатом» (атом, устроенный «наоборот» по сравнению с обычным — с отрицательно заряженным ядром и вращающимися вокруг него положительно заряженными частицами, позитронами, вместо электронов). Но не зная, есть ли такие частицы, ни один ученый не скажет, например, что всякий антиатом при ионизации — при потере внешних позитронов — становится отрицательно заряженной частицей. Для выражения той мысли, которая фактически здесь имеется в виду, есть адекватная форма выражения, а именно: форма выражения категорического суждения с импликативным предикатом: «Для всякой частицы верно, что если она является антиатомом, то при ионизации она становится отрицательно заряженной».

Надо, конечно, заметить, что в науке для определенных целей, например, для обеспечения определенных обобщений, исключения мнимых оговорок употребляются суждения по-видимому и с пустыми субъектами. Так, в проективной геометрии вводятся понятия «бесконечно удаленной точки», «бесконечно удаленной прямой» и т. п. Многие имена, не обеспечивающие никаких реальных предметов, играют определенную инструментальную роль в науке. Таковы: системы координат, небесные и земные полюса, оси вращения и т.д. (см. § 12). Осмысленность суждений, относящихся к воображаемым объектом указанных типов, обусловлена тем, что они вводятся в определенной системе знаний и исходя из этой системы определяются условиями их истинности или ложности. А, соответственно, истинность или ложность во многих таких случаях не представляет собой соответствие или несоответствие действительности. Это — так называемые «истины по соглашению». Но сами соглашения, конечно, так или иначе научно обоснованы. Строго говоря, термины указанных типов, включенные в определенные системы знания, неправомерно уже считать пустыми, поскольку имеются определенные условия истинности или ложности утверждений, включающих такие термины.

Упражнения

1. Для каждого из следующих простых суждений укажите сложное, эквивалентное ему:

  • а) всякое число, оканчивающееся на 0, делится на 6 и на 2;
  • б) некоторые числа, которые делятся на 2 или на 3, делятся на 5;
  • в) некоторые люди, не выполняющие своих обещаний, являют ся безвольными или непорядочными.

2. Укажите, как можно преобразовать следующие категориче ские суждения путем расширения их субъектов:

  • а) ни одно сражение, которое дал Суворов, не было проиграно;
  • б) многие реки текут с юга на север;
  • в) все имена прилагательные изменяются по падежам;
  • г) имелись подозреваемые, не проходившие по дактилоскопи ческим учетам.

§ 33. Суждения ассерторические и модальные

В суждениях, как мы говорили, утверждается наличие или отсутствие той или иной ситуации. Однако некоторая мыслимая ситуация в действительности не просто наличествует или отсутствует, но существует случайно или необходимо и точно также отсутствует возможно или необходимо, то есть не является возможной. В другом плане, особенно, когда речь идет о ситуациях будущего, они характеризуются как возможные или необходимые, или как возможные или невозможные. Некоторые действия, поступки людей в обществе разрешены, другие даже обязательны или запрещены. А наши знания, суждения, например, могут быть доказаны или не доказаны, достоверны или проблематичны и т. д. и т. п.

В а с с е р т о р и ч е с к и х с у ж д е н и я х мы отвлекаемся от подобных характеристик рассматриваемых ситуаций, здесь речь идет только о наличии или отсутствии чего-либо, то есть фиксируется лишь фактическое положение дел. Суждения, в которых имеются указанные и подобные им характеристики явлений, событий, процессов и т. д. (ситуаций вообще) называются м о д а л ь н ы м и . Примерами ассерторических являются все суждения, которые рассматривались до сих пор (кроме приведенного закона механики). Модальными, например, являются все суждения, выражающие законы науки. Утверждая наличие каких-то связей в суждениях этого типа, мы утверждаем необходимый характер этих связей, хотя в некоторых случаях эта характеристика не выражается явно (как в упомянутом законе механики), но в любом таком случае, по крайней мере, подразумевается. Приведем еще примеры модальных суждений: «Ни один человек не может жить без пищи», «Некоторые люди не могут лгать», «Каждый гражданин обязан соблюдать законы», «Возможно, что существуют неземные цивилизации», «Обыск производится в присутствии понятых», «Споры о подследственности между властными участниками процесса не допускаются», «Иногда неудовлетворительные оценки (как, впрочем, и отличные) студенты получают на экзаменах случайно».

Типы и виды модальности

При различении модальностей мы выделяем типы, а внутри каждого типа — виды модальностей. Среди известных модальностей особо выделяются следующие типы.

Алетические модальности. К ним относятся такие характеристики — виды модальностей — как «необходимо», «возможно», «невозможно», «случайно». Впрочем, «невозможно» скорее надо охарактеризовать не как особый вид модальности, а просто как отсутствие (а в суждении — отрицание) возможности.

Деонтические модальности. Это характеристики действий, поступков людей в обществе. К ним относятся виды: «обязательно», «разрешено», «запрещено», «безразлично» (аналог алетической модальности «случайно»).

Эпистемические модальности. Это характеристики наших знаний. Среди них выделяются виды: «доказано», «опровергнуто», «возможно» (возможно допустить, что истинно некоторое высказывание), «не доказано и не опровергнуто» (для этого вида нет специального названия — это аналог «случайно» среди алетических модальностей). По другим основаниям выделяют такие виды: «знает», «верит», «убежден», «сомневается».

Характеристики некоторых приведенных видов модальностей различных типов могут быть уточнены путем указания взаимосвязи между ними. Для этого используем формы модальных высказываний. Пусть А — какое-то ассерторическое (не модальное) высказывание. Тогда «необходимо А» (указание на необходимость ситуации, утверждаемой в А) можно обозначать как НА (иногда применяют обозначение ПА). Возможность ситуации А выражается в виде МА (или ОА), случайность можно обозначить как SA (или АА). Между высказываниями этих видов, а тем самым и характеристиками событий, имеют место соотношения:

НА = -,М -1 А, а тем самым и -,НА = М -, А.

SA = МА& М - i А, учитывая предыдущее, имеем также

НАзМА.

НАзА.

А => МА (ассерторичность — отсутствие модальной характеристики — иногда рассматривают как особый вид модальности) .

Для высказываний с деонтическими модальностями приняты обозначения: «обязательно А» — ОА (обязательно делать так, чтобы истинно было А), «разрешено А» — РА (разрешено делать так, чтобы истинно было А), «запрещено А» — ЗА (запрещено делать так, чтобы было истинно А, то есть чтобы была ситуация А). «Запрещено А» здесь — аналогично алетической модальности «невозможно А», но если последняя по своему выражению означает просто отрицание возможности, то запрещение выступает как самостоятельная модальность. «Разрешено» естественно понимать не как наличие какого-то предписания, а как отсутствие запрещения. Это означает, что имеет место эквивалентность:

1.-,ЗА= РА

Эта эквивалентность выражает принцип демократическо го общества: «Разрешено все, что не запрещено». С учетом указанного понимания «разрешено» и «запрещено» между деонтическими модальностями могут быть установлены не которые эквивалентности, идентичные приведенным выше для алетических модальностей:

2.

3.

ЗА = О -, А

ОА=З^А.

Очевидно, не имеют места ОАзАи неверно, что Аз РА Если «безразлично А» обозначить как БА, то

ЪА = -. ОА & -, О -. А.

Для эпистемических модальностей, если обозначить «до казано А» как ДА, «опровергнуто А» как ОпА», «возможно А» как ВА, «не доказано и не опровергнуто А» как СА, то имеем соотношения:

ДА= ^В^А.

-пДА= В-.А.

Д-А = ОпА

СА^ДА&^ОпА

ОпА з -, А

Для других видов эпистемических модальностей выделим одно определенное и важное соотношение:

КАзА, где «КА» — означает: «Некто знает, что имеет место ситуация А».

Для уяснения смысла алетических модальностей важно иметь в виду, что среди них в свою очередь различают фи зические (в широком смысле слова), или, что то же, фактические, онтологические модальности и модальности логического характера.

Физическая необходимость выражается в вы сказывании А, представляющем собой закон конкретной науки (физики, биологии, социологии и т. п.). Если В логически следует из физического закона А, то ситуация, которую оно представляет, также является всегда необходимой. И в силу этого истинно высказывание «фактически необходимо 5»

(НФБ). Например, согласно первому закону Кеплера, необходимо, что всякая планета Солнечной системы двигалась вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Но это же необходимо и для Земли и для Марса и т. д.

Ф и з и ч е с к у ю н е в о з м о ж н о с т ь выражает высказывание, являющееся отрицанием какого-либо следствия из физического закона, включая, конечно, и отрицание самого этого закона науки, или эквивалентное такому отрицанию. Отсюда ясно, что высказывание выражает физическую возможность, если оно не является эквивалентным отрицанию какого-либо закона науки (а тем самым не является эквивалентным отрицанию какого-либо следствия закона науки, ибо отрицание следствия закона означает также и отрицание самого закона).

Высказывание А выражает ф и з и ч е с к у ю с л у ч а й -ность, согласно введенному ранее определению, если физически возможно А и физически возможно не-А.

Логические модальности зависят от логических форм высказываний, то есть не зависят от значений дескриптивных терминов, входящих в него. О модальных высказываниях этого типа — применительно к высказываниям, выразимым в ЯЛВ и ЯЛП, — речь уже шла в разделах «Логика высказываний» и «Логика предикатов» (§ 10 и § 11). Для определения того, к какому виду логической модальности относится высказывание естественного языка, необходимо уметь выявить его логическую форму. Для этого необходимо выявить все его смысловые части — употребляемые в нем имена предметов, предикаторы, предметные функторы и логические константы, — которые могут быть не выражены явно. Для осуществления этой операции наиболее естественно перевести данное высказывание на язык логики высказываний или на язык логики предикатов.

Л о г и ч е с к и н е о б х о д и м ы м (выражающим логическую необходимость) является высказывание, истинное именно в силу своей логической формы. Это значит, что если в нем все дескриптивные термины заменить переменными соответствующих категорий (а тем самым отвлечься от значений имеющихся в высказывании дескриптивных терминов), то полученное выражение превращается в истинное при любых значениях дескриптивных переменных, то есть переменных, вводимых для дескриптивных терминов. На пример, высказывание «латунь есть металл или латунь не яв ляется металлом» является логически необходимым, так как его логическая форма {Р{а) v -, P { a )) представляет собой уни версально-общезначимое выражение. Напомним, что уни версально-общезначимое выражение (соответственно-тождественно-истинное для ЯЛВ) — это законы логики и, значит, логически необходимыми являются такие высказывания, ло гические формы которых суть логические законы.

Логически невозможное высказывание представляет со бой отрицание некоторого логически необходимого высказывания или эквивалентное таковому. Логически невозмож ным является, например, «латунь есть металл и неверно, что латунь есть металл» (Р{а) & ^Р{а)). И вообще, любое выска зывание вида А & -1А («А и неверно, что А», где А, в свою очередь, любое высказывание) является, конечно, логически невозможным. Такие высказывания иначе называют логиче ски противоречивыми.

Логически возможные высказывания те, что не противоречат закону логики, то есть не являются отрица нием какого-либо логически необходимого или эквивалент ным таковому.

Логически случайные - такие, которые не являются логически необходимыми и не являются отрицания ми логически необходимых высказываний. Для всех видов логических модальностей также имеют место все приведен ные эквивалентности и другие соотношения алетических мо дальностей. Если обозначить логическую необходимость вы сказываний А как Н^, логическую возможность — М^, а логическую случайность как С^А, тогда имеем:

А idMjjA и т . д .

При рассмотрении отношений между высказываниями различных модальностей мы прибегали к операции отрицания высказываний. Она имеет важное значение в процессе познания. С этой операцией связан особый (наряду с уже известными нам отношениями логического следования и эквивалентности) вид отношений между суждениями - отно шение противоречия. Таким образом, мы подходим к тому, чтобы, рассматривая указанную операцию с суждениями, обратиться к вопросу о том, какие существуют вообще виды отношений между суждениями.

Упражнения

1. Определите тип и вид модальности в следующих вы сказываниях:

  • а) всякий владелец вещи может продать ее;
  • б) хищение собственности противоправно;
  • в) всякое преступление наказуемо;
  • г) невозможно построить вечный двигатель;
  • д) доказана необратимость времени;
  • е) на Марсе возможна жизнь;
  • ж) возможно, что человек может прыгнуть выше своего роста.

2. Используя приведенные выше эквивалентности, выра жающие связи между модальностями различных видов неко торого типа, выразите данные в следующих суждениях мо дальности через какие-нибудь другие, однотипные с ними:

  • а) обыск может быть произведен только в присутствии понятых;
  • б) разрешен проезд при зеленом свете светофора;
  • в) физическое тело, лишенное опоры, необходимо падает на землю;
  • г) нельзя курить в общественных местах.

§ 34. Отрицание суждений. Виды отношений между суждениями

Попросту говоря, операция отрицания некоторого сужде ния А состоит в том, чтобы сказать: «Неверно, что А» (-, А). Однако обычно нас такой результат не удовлетворяет, и задача состоит не просто во внешнем отрицании, а в том, чтобы найти некоторые эквиваленты этого отрицания, в кото рых отрицание каким-то образом «пронесено» до некоторых частей этого суждения. Предположим, что в ходе расследо вания некто утверждает: «Неверно, что все члены преступной группы являются рецидивистами». Что же является верным и при этом эквивалентным исходному утверждению? Что ни один член преступной группы не является рециди вистом, или некоторые не являются рецидивистами, или не которые являются? Подскажем, что исходное отрицательное высказывание эквивалентно — «Некоторые члены преступ ной группы не являются рецидивистами». Впрочем, читатель, наверно, и сам это определил. Предлагаем ему тогда решить аналогичный вопрос для суждения: «Неверно, что каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех». Если и это ему кажется весьма простым, тогда предлагаем еще одно. Поло жим, кто-то утверждает: «Поскольку в группе имеются не удовлетворительные результаты сдачи экзамена по логике, то либо по этому предмету плохо были прочитаны лекции, либо не была должным образом организована самостоятель ная работа студентов». Другой заявляет, что это неверно. Что же с точки зрения последнего должно быть верным?

Решению подобных вопросов может существенно помогать знание так называемых правил образования противоположностей, точнее, контрадикторных противоположностей, или, что то же, противоречащих суж дений.

Высказывания А и В находятся в отношении противоречия, если одно из них эквивалентно отрицанию другого (-1А = В или, что то же, А = -,В).

Таким образом, -, А является противоречащим высказы ванию А. В этом же отношении к нему находится любое высказывание В, эквивалентное - i А. Ясно, что противоречащие (контрадикторно противоположные) суждения не могут быть одновременно оба истинными и не могут быть также оба ложными. Отсюда очевидно, что если исходное высказывание истинно, то противоречащее ему будет ложно и наоборот.

Для каждого высказывания А имеется неограниченное множество противоречащих ему высказываний, то есть эк вивалентных -> А По упомянутым правилам «пронесения от рицания» мы получаем такие высказывания, эквивалентные - I А, которые образуются посредством пронесения внешнего отрицания п А в структуру самого высказывания А в сочетании с определенными преобразованиями структуры этого высказывания. Для применения указанных правил к некоторому высказыванию -, А необходимо выявление логической формы высказывания А. Наиболее эффективный способ выполнения этой операции состоит в переводе данного высказывания на ЯЛВ или ЯЛП. Для всех высказываний, кроме категорических, такие переводы не представляют собой существенной перестройки их структур. Что касается категорических суждений, то мы уже говорили, что их знаковые формы являются специфическими для естественного языка, поэтому, формулируя правила пронесения отрицания, мы особо выделяем эти суждения, имея в виду при этом, что они представляются в стандартных формах. Для остальных высказываний эти правила уже сформулированы в §§ 10, 11 (см. «Законы образования контрадикторной противоположности»). Для удобства пользования напомним их еще раз:

-,(А&В) = (-,Av-,B).

-,(AvB)= (-.А&-.Я).

-л (А => В) = (А & -1 В).

-, -, А = А.

6. - iV - rA ( jc ) = 3 x - iA ( x ), где « = » — знак эквивалентности, то есть А = В «(Аз В) & {ВоА).

Для категорических суждений имеем (вместо слов «неверно, что...» употребляем знак « -, »):

-¦ Все S суть Р = Некоторые S не суть Р;

-1 Ни одно S не суть Р = Некоторые 5 суть Р;

-> Некоторые 5 суть Р = Ни одно S не суть Р;

-, Некоторые 5 не суть Р = Все 5 суть Р.

Примеры

1. Возьмем суждение «Некоторые люди не заинтересованы в высоких заработках». Его контрадикторная противоположность: «Неверно, что некоторые люди не заинтересованы в высоких заработках». Задача состоит в том, чтобы найти высказывание, эквивалентное последнему, но без внешнего отрицания. Стандартная форма здесь, очевидно, такова «Некоторые 5 не суть Р» (неверно, что некоторые люди не есть лица, заинтересованные в высоких заработках. По правилу (для частноотрицательных суждений) имеем, что это эквивалентно: «Все 5 суть Р», то есть «Все люди заинтересованы в высоких заработках» (в стандартной форме: «Все люди есть лица, заинтересованные в высоких заработках»).

Читатель может сомневаться, истинно ли исходное сужде ние, противоречащее которому мы образовали. В данном слу чае для нас это не имеет значения. Важно лишь учитывать, что если оно истинно, то полученная нами его контрадиктор ная противоположность ложна и наоборот, если исходное вы сказывание ложно, то противоречащее ему истинно.

2. «Неверно, что можно курить в местах, где может возникнуть пожар». Выражение, стоящее здесь под отрицанием «неверно, что...») является, очевидно двусмысленным. Воз ьмем два варианта: «Нельзя курить во всех местах или в некоторых...». В первом случае, приводя суждение под отрицанием к стандартной форме, имеем: «Неверно, что все места, где может возникнуть пожар, суть места, где мож но курить», то есть «Все 5 суть Р». По правилу получаем, что это эквивалентно: «Некоторые 5 не суть Р», то есть «Некото рые места, где может возникнуть пожар, не суть места, где можно курить».

Во втором случае наше отрицательное высказывание, имеющее вид «Неверно, что некоторые 5 суть Р» эквивалент но: «Ни одно 5 не суть Р» («Ни одно место, где может возни кнуть пожар, не суть место, где можно курить»).

Само собой разумеется, что при выполнении операции отрицания сложного суждения, когда есть возможность про несения отрицания лишь до каких-то частей суждения, пра вомерно остановиться на любом шаге такого пронесения. Отрицая, например, суждение формы A ^ {В v (C& D )) мы мо жем получить А & -, v (С& D )) или А & -, В & -, (С& D )), или

Упражнения

1. Образуйте контрадикторную противоположность сле дующим категорическим суждениям, приводя их к стандарт ной форме:

  • а) никакой идеолог не может находиться вне влияния классовых интересов;
  • б) многие учителя не имеют высшего образования;
  • в) бывают океаны с пресной водой;
  • г) не может быть свободен народ, угнетающий другие на роды;
  • д) «Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые». 2. Укажите противоречащие суждения тем, что приведе ны в начале этого параграфа для самостоятельного решения.

Типы и виды модальности

При различении модальностей мы выделяем типы, а внутри каждого типа — виды модальностей. Среди известных модальностей особо выделяются следующие типы.

Алетические модальности. К ним относятся такие характеристики — виды модальностей — как «необходимо», «возможно», «невозможно», «случайно». Впрочем, «невозможно» скорее надо охарактеризовать не как особый вид модальности, а просто как отсутствие (а в суждении — отрицание) возможности.

Деонтические модальности. Это характеристики действий, поступков людей в обществе. К ним относятся виды: «обязательно», «разрешено», «запрещено», «безразлично» (аналог алетической модальности «случайно»).

Эпистемические модальности. Это характеристики наших знаний. Среди них выделяются виды: «доказано», «опровергнуто», «возможно» (возможно допустить, что истинно некоторое высказывание), «не доказано и не опровергнуто» (для этого вида нет специального названия — это аналог «случайно» среди алетических модальностей). По другим основаниям выделяют такие виды: «знает», «верит», «убежден», «сомневается».

Характеристики некоторых приведенных видов модальностей различных типов могут быть уточнены путем указания взаимосвязи между ними. Для этого используем формы модальных высказываний. Пусть А — какое-то ассерторическое (не модальное) высказывание. Тогда «необходимо А» (указание на необходимость ситуации, утверждаемой в А) можно обозначать как НА (иногда применяют обозначение ПА). Возможность ситуации А выражается в виде МА (или ОА), случайность можно обозначить как SA (или АА). Между высказываниями этих видов, а тем самым и характеристиками событий, имеют место соотношения:

НА = -,М -1 А, а тем самым и -,НА = М -, А.

SA = МА& М - i А, учитывая предыдущее, имеем также

НАзМА.

НАзА.

А => МА (ассерторичность — отсутствие модальной характеристики — иногда рассматривают как особый вид модальности) .

Для высказываний с деонтическими модальностями приняты обозначения: «обязательно А» — ОА (обязательно делать так, чтобы истинно было А), «разрешено А» — РА (разрешено делать так, чтобы истинно было А), «запрещено А» — ЗА (запрещено делать так, чтобы было истинно А, то есть чтобы была ситуация А). «Запрещено А» здесь — аналогично алетической модальности «невозможно А», но если последняя по своему выражению означает просто отрицание возможности, то запрещение выступает как самостоятельная модальность. «Разрешено» естественно понимать не как наличие какого-то предписания, а как отсутствие запрещения. Это означает, что имеет место эквивалентность:

1.-,ЗА= РА

Эта эквивалентность выражает принцип демократическо го общества: «Разрешено все, что не запрещено». С учетом указанного понимания «разрешено» и «запрещено» между деонтическими модальностями могут быть установлены не которые эквивалентности, идентичные приведенным выше для алетических модальностей:

2.

3.

ЗА = О -, А

ОА=З^А.

Очевидно, не имеют места ОАзАи неверно, что Аз РА Если «безразлично А» обозначить как БА, то

ЪА = -. ОА & -, О -. А.

Для эпистемических модальностей, если обозначить «до казано А» как ДА, «опровергнуто А» как ОпА», «возможно А» как ВА, «не доказано и не опровергнуто А» как СА, то имеем соотношения:

ДА= ^В^А.

-пДА= В-.А.

Д-А = ОпА

СА^ДА&^ОпА

ОпА з -, А

Для других видов эпистемических модальностей выделим одно определенное и важное соотношение:

КАзА, где «КА» — означает: «Некто знает, что имеет место ситуация А».

Для уяснения смысла алетических модальностей важно иметь в виду, что среди них в свою очередь различают фи зические (в широком смысле слова), или, что то же, фактические, онтологические модальности и модальности логического характера.

Физическая необходимость выражается в вы сказывании А, представляющем собой закон конкретной науки (физики, биологии, социологии и т. п.). Если В логически следует из физического закона А, то ситуация, которую оно представляет, также является всегда необходимой. И в силу этого истинно высказывание «фактически необходимо 5»

(НФБ). Например, согласно первому закону Кеплера, необходимо, что всякая планета Солнечной системы двигалась вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Но это же необходимо и для Земли и для Марса и т. д.

Ф и з и ч е с к у ю н е в о з м о ж н о с т ь выражает высказывание, являющееся отрицанием какого-либо следствия из физического закона, включая, конечно, и отрицание самого этого закона науки, или эквивалентное такому отрицанию. Отсюда ясно, что высказывание выражает физическую возможность, если оно не является эквивалентным отрицанию какого-либо закона науки (а тем самым не является эквивалентным отрицанию какого-либо следствия закона науки, ибо отрицание следствия закона означает также и отрицание самого закона).

Высказывание А выражает ф и з и ч е с к у ю с л у ч а й -ность, согласно введенному ранее определению, если физически возможно А и физически возможно не-А.

Логические модальности зависят от логических форм высказываний, то есть не зависят от значений дескриптивных терминов, входящих в него. О модальных высказываниях этого типа — применительно к высказываниям, выразимым в ЯЛВ и ЯЛП, — речь уже шла в разделах «Логика высказываний» и «Логика предикатов» (§ 10 и § 11). Для определения того, к какому виду логической модальности относится высказывание естественного языка, необходимо уметь выявить его логическую форму. Для этого необходимо выявить все его смысловые части — употребляемые в нем имена предметов, предикаторы, предметные функторы и логические константы, — которые могут быть не выражены явно. Для осуществления этой операции наиболее естественно перевести данное высказывание на язык логики высказываний или на язык логики предикатов.

Л о г и ч е с к и н е о б х о д и м ы м (выражающим логическую необходимость) является высказывание, истинное именно в силу своей логической формы. Это значит, что если в нем все дескриптивные термины заменить переменными соответствующих категорий (а тем самым отвлечься от значений имеющихся в высказывании дескриптивных терминов), то полученное выражение превращается в истинное при любых значениях дескриптивных переменных, то есть переменных, вводимых для дескриптивных терминов. На пример, высказывание «латунь есть металл или латунь не яв ляется металлом» является логически необходимым, так как его логическая форма {Р{а) v -, P { a )) представляет собой уни версально-общезначимое выражение. Напомним, что уни версально-общезначимое выражение (соответственно-тождественно-истинное для ЯЛВ) — это законы логики и, значит, логически необходимыми являются такие высказывания, ло гические формы которых суть логические законы.

Логически невозможное высказывание представляет со бой отрицание некоторого логически необходимого высказывания или эквивалентное таковому. Логически невозмож ным является, например, «латунь есть металл и неверно, что латунь есть металл» (Р{а) & ^Р{а)). И вообще, любое выска зывание вида А & -1А («А и неверно, что А», где А, в свою очередь, любое высказывание) является, конечно, логически невозможным. Такие высказывания иначе называют логиче ски противоречивыми.

Логически возможные высказывания те, что не противоречат закону логики, то есть не являются отрица нием какого-либо логически необходимого или эквивалент ным таковому.

Логически случайные - такие, которые не являются логически необходимыми и не являются отрицания ми логически необходимых высказываний. Для всех видов логических модальностей также имеют место все приведен ные эквивалентности и другие соотношения алетических мо дальностей. Если обозначить логическую необходимость вы сказываний А как Н^, логическую возможность — М^, а логическую случайность как С^А, тогда имеем:

А idMjjA и т . д .

При рассмотрении отношений между высказываниями различных модальностей мы прибегали к операции отрицания высказываний. Она имеет важное значение в процессе познания. С этой операцией связан особый (наряду с уже известными нам отношениями логического следования и эквивалентности) вид отношений между суждениями - отно шение противоречия. Таким образом, мы подходим к тому, чтобы, рассматривая указанную операцию с суждениями, обратиться к вопросу о том, какие существуют вообще виды отношений между суждениями.

Упражнения

1. Определите тип и вид модальности в следующих вы сказываниях:

  • а) всякий владелец вещи может продать ее;
  • б) хищение собственности противоправно;
  • в) всякое преступление наказуемо;
  • г) невозможно построить вечный двигатель;
  • д) доказана необратимость времени;
  • е) на Марсе возможна жизнь;
  • ж) возможно, что человек может прыгнуть выше своего роста.

2. Используя приведенные выше эквивалентности, выра жающие связи между модальностями различных видов неко торого типа, выразите данные в следующих суждениях мо дальности через какие-нибудь другие, однотипные с ними:

  • а) обыск может быть произведен только в присутствии понятых;
  • б) разрешен проезд при зеленом свете светофора;
  • в) физическое тело, лишенное опоры, необходимо падает на землю;
  • г) нельзя курить в общественных местах.

§ 34. Отрицание суждений. Виды отношений между суждениями

Попросту говоря, операция отрицания некоторого сужде ния А состоит в том, чтобы сказать: «Неверно, что А» (-, А). Однако обычно нас такой результат не удовлетворяет, и задача состоит не просто во внешнем отрицании, а в том, чтобы найти некоторые эквиваленты этого отрицания, в кото рых отрицание каким-то образом «пронесено» до некоторых частей этого суждения. Предположим, что в ходе расследо вания некто утверждает: «Неверно, что все члены преступной группы являются рецидивистами». Что же является верным и при этом эквивалентным исходному утверждению? Что ни один член преступной группы не является рециди вистом, или некоторые не являются рецидивистами, или не которые являются? Подскажем, что исходное отрицательное высказывание эквивалентно — «Некоторые члены преступ ной группы не являются рецидивистами». Впрочем, читатель, наверно, и сам это определил. Предлагаем ему тогда решить аналогичный вопрос для суждения: «Неверно, что каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех». Если и это ему кажется весьма простым, тогда предлагаем еще одно. Поло жим, кто-то утверждает: «Поскольку в группе имеются не удовлетворительные результаты сдачи экзамена по логике, то либо по этому предмету плохо были прочитаны лекции, либо не была должным образом организована самостоятель ная работа студентов». Другой заявляет, что это неверно. Что же с точки зрения последнего должно быть верным?

Решению подобных вопросов может существенно помогать знание так называемых правил образования противоположностей, точнее, контрадикторных противоположностей, или, что то же, противоречащих суж дений.

Высказывания А и В находятся в отношении противоречия, если одно из них эквивалентно отрицанию другого (-1А = В или, что то же, А = -,В).

Таким образом, -, А является противоречащим высказы ванию А. В этом же отношении к нему находится любое высказывание В, эквивалентное - i А. Ясно, что противоречащие (контрадикторно противоположные) суждения не могут быть одновременно оба истинными и не могут быть также оба ложными. Отсюда очевидно, что если исходное высказывание истинно, то противоречащее ему будет ложно и наоборот.

Для каждого высказывания А имеется неограниченное множество противоречащих ему высказываний, то есть эк вивалентных -> А По упомянутым правилам «пронесения от рицания» мы получаем такие высказывания, эквивалентные - I А, которые образуются посредством пронесения внешнего отрицания п А в структуру самого высказывания А в сочетании с определенными преобразованиями структуры этого высказывания. Для применения указанных правил к некоторому высказыванию -, А необходимо выявление логической формы высказывания А. Наиболее эффективный способ выполнения этой операции состоит в переводе данного высказывания на ЯЛВ или ЯЛП. Для всех высказываний, кроме категорических, такие переводы не представляют собой существенной перестройки их структур. Что касается категорических суждений, то мы уже говорили, что их знаковые формы являются специфическими для естественного языка, поэтому, формулируя правила пронесения отрицания, мы особо выделяем эти суждения, имея в виду при этом, что они представляются в стандартных формах. Для остальных высказываний эти правила уже сформулированы в §§ 10, 11 (см. «Законы образования контрадикторной противоположности»). Для удобства пользования напомним их еще раз:

-,(А&В) = (-,Av-,B).

-,(AvB)= (-.А&-.Я).

-л (А => В) = (А & -1 В).

-, -, А = А.

6. - iV - rA ( jc ) = 3 x - iA ( x ), где « = » — знак эквивалентности, то есть А = В «(Аз В) & {ВоА).

Для категорических суждений имеем (вместо слов «неверно, что...» употребляем знак « -, »):

-¦ Все S суть Р = Некоторые S не суть Р;

-1 Ни одно S не суть Р = Некоторые 5 суть Р;

-> Некоторые 5 суть Р = Ни одно S не суть Р;

-, Некоторые 5 не суть Р = Все 5 суть Р.

Примеры

1. Возьмем суждение «Некоторые люди не заинтересованы в высоких заработках». Его контрадикторная противоположность: «Неверно, что некоторые люди не заинтересованы в высоких заработках». Задача состоит в том, чтобы найти высказывание, эквивалентное последнему, но без внешнего отрицания. Стандартная форма здесь, очевидно, такова «Некоторые 5 не суть Р» (неверно, что некоторые люди не есть лица, заинтересованные в высоких заработках. По правилу (для частноотрицательных суждений) имеем, что это эквивалентно: «Все 5 суть Р», то есть «Все люди заинтересованы в высоких заработках» (в стандартной форме: «Все люди есть лица, заинтересованные в высоких заработках»).

Читатель может сомневаться, истинно ли исходное сужде ние, противоречащее которому мы образовали. В данном слу чае для нас это не имеет значения. Важно лишь учитывать, что если оно истинно, то полученная нами его контрадиктор ная противоположность ложна и наоборот, если исходное вы сказывание ложно, то противоречащее ему истинно.

2. «Неверно, что можно курить в местах, где может возникнуть пожар». Выражение, стоящее здесь под отрицанием «неверно, что...») является, очевидно двусмысленным. Воз ьмем два варианта: «Нельзя курить во всех местах или в некоторых...». В первом случае, приводя суждение под отрицанием к стандартной форме, имеем: «Неверно, что все места, где может возникнуть пожар, суть места, где мож но курить», то есть «Все 5 суть Р». По правилу получаем, что это эквивалентно: «Некоторые 5 не суть Р», то есть «Некото рые места, где может возникнуть пожар, не суть места, где можно курить».

Во втором случае наше отрицательное высказывание, имеющее вид «Неверно, что некоторые 5 суть Р» эквивалент но: «Ни одно 5 не суть Р» («Ни одно место, где может возни кнуть пожар, не суть место, где можно курить»).

Само собой разумеется, что при выполнении операции отрицания сложного суждения, когда есть возможность про несения отрицания лишь до каких-то частей суждения, пра вомерно остановиться на любом шаге такого пронесения. Отрицая, например, суждение формы A ^ {В v (C& D )) мы мо жем получить А & -, v (С& D )) или А & -, В & -, (С& D )), или

Упражнения

1. Образуйте контрадикторную противоположность сле дующим категорическим суждениям, приводя их к стандарт ной форме:

  • а) никакой идеолог не может находиться вне влияния классовых интересов;
  • б) многие учителя не имеют высшего образования;
  • в) бывают океаны с пресной водой;
  • г) не может быть свободен народ, угнетающий другие на роды;
  • д) «Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые». 2. Укажите противоречащие суждения тем, что приведе ны в начале этого параграфа для самостоятельного решения.

виды логических отношений между высказываниями

Говоря о видах отношений между высказываниями, раз личают отношения логические и фактические. Для каждого вида логического отношения есть некоторый аналог фактического отношения. Первые зависят от логиче ских форм высказываний, вторые — от их конкретных содержаний. Мы ограничимся здесь в основном логическими отношениями. Это значит, что, рассматривая отношения между конкретными высказываниями, мы должны отвлекаться от их конкретных содержаний (а значит, и от того, являются ли взятые высказывания истинными или ложными).

Мы уже рассматривали такие виды отношений, как логическое следование, эквивалентность, противоречие, называемое также контрадикторной противоположностью. Это наиболее важные виды отношений, имеющие существенное зна чение в научном познании и практической деятельности. К ним следует добавить также отношение контрарной проти воположности.

Высказывания А и В находятся в отношении - рарной противоположности, если и только если В эквивалентно отрицанию С [В - -> С), где С — следствие А, но не эквивалентно ему (то есть А(=Си-.(С(=Л).

Более простым, равнозначным, образом это отношение может быть определено так:

Высказывания А и В контрарно противоположны, если и только если никакие высказывания, которые имеют те же логические формы, что А и В, не могут быть вместе истин ными, но могут быть вместе ложными. Таковы, например, высказывания вида «Все 5 суть Р» и «Ни одно 5 не суть Р». Очевидно, что здесь «Ни одно 5 не суть Р», согласно выше приведенным правилам пронесения отрицания, эквивалент но отрицанию «Некоторые S суть Р», а «Некоторые 5 суть Р» (высказывание С, фигурирующее в определении, является следствием суждения «Все 5 суть Р» и при этом не эквива лентно ему).

Содержательно ясно, что суждение вида «Все 5 суть Р» и «Ни одно 5 не суть Р» не могут быть оба истинными, но мо гут быть оба ложными. Как видим, отличие контрарной противоположности от контрадикторной состоит в том, что контрадикторно противоположные суждения не могут быть не только оба истинными, но и оба ложными. Для контрарных же суждений возможность ложности обоих не исключена.

Полезно также иметь в виду отношения более широкого характера. Это отношения совместимости (или несовмести мости) высказываний по истинности, а также совместимости (или несовместимости) их по ложности.

Совместимы по истинности такие высказывания А и В, которые могут быть оба истинными. Иначе, и в некотором смысле более точно, А и В совместимы по ис тинности, если и только если неверно, что из А следует -1 ?(-. (Ли-. В)). Значит, А и В несовместимы ис тинности, если и только если из А логически следует -. В(А N -п В)). Совместимость высказываний по истинности в логике иногда называют просто «совместимостью высказы ваний».

Высказывания А и В совместимы по ложности, если и только если они могу быть оба ложными.

Во избежание недоразумений еще раз подчеркнем, что вместо выражения «высказывания А и В могут быть оба ложными или истинными» точнее надо было бы употребить выражение: «какие-нибудь высказывания, имеющие те же логические формы, что А и В, и, возможно, конечно, сами А и В, могут оказаться ложными (истинными)».

Иначе, А и В совместимы по ложности, если и только если неверно, что из -.А логически следует ?(-. (— i At = В}} или неверно, что из -. В логически следуетА(-, (-, В N А)). Отсюда ясно, что А и В несовместимы по ложности, если и только если из -. А логически следует В {-, A t = В или, что то же, В \= А).

Читатель легко убедиться, что отношения логического следования и эквивалентности — это виды отношения совместимости по истинности, а контрарная и контрадикторная противоположности — виды отношения несовместимости по истинности.

Ясно, что знание более общего отношения (совмести мость, несовместимость по истинности или по ложности) мо жет само по себе быть полезным в процессе познания, поскольку нередко нам важно решить вопрос только о том, могут ли какие-нибудь высказывания быть вместе истинными или вместе ложными. Установив, например, что высказывания не могут быть вместе истинными, можем заключить, что, по крайней мере, одно из них ложно, а при наличии знания о том, что одно из них истинно, сделать вывод о лож ности другого.

Внимательный читатель должен заметить, что данное здесь перечисление видов отношений между высказывания ми не есть классификация видов, хотя бы потому, что члены приведенного перечня видов отношений не исключают друг друга. Таковы, например, отношения логического следования и эквивалентности. Видом отношения, соподчиненного экви валентности, является так называемое отношение логического подчинения между высказываниями. В этом отношении находятся высказывания А и В такие, что из Л следует В (= В), но неверно, что из В следует А(-. \= А). Для логической же эквивалентности А и В, как мы знаем, имеет место следование в обе стороны {{А\=В)&(В\=А)).

Для осуществления классификации среди высказываний, совместимых по истинности, нужно было еще указать вид отношения между высказываниями А и В, аналогичный от ношению перекрещивания между объемами понятий. П е - рекрещивающимися высказываниями являются такие А и В, которые совместимы по истинности (при аналогичном отношении между понятиями — пересечение объ емов понятий не пусто!), но неверно, что из А следует В, и неверно, что из В следует А. Таковы, например, любые вы сказывания вида «Некоторые 5 суть Р» и «Некоторые 5 не суть Р» или рзд и -, pz > q .

Как мы видели, все виды отношений определимы посред ством понятия логического следования, что еще раз доказы вает фундаментальный характер этого понятия в логике. Учи тывая известную нам связь между логическим следованием и законами логики, отношение А t = В в этих определениях везде можно заменить на t = В) . Если теперь в этих определениях утверждение \= (А=> В) - утверждение об общезначимости A => В — заменить конкретным высказыванием Ад => В 0 , то по лучаем понятие фактического отношения для конкретных вы сказываний А 0 И В 0 , соответствующее данному логическому отношению, и где А и В суть логические формы данных кон кретных высказывании А 0 и В 0 . Так, аналогом логического следования между Л 0 и В 0 является такое отношение между ними, которое характеризуется тем, что истинна импликация А 0 => В 0 . Аналогом логического подчинения А 0 и В 0 является от ношение, которое характеризуется тем, что А 0 =>В 0 истинно, но В 0 =>А 0 не истинно. Если же истинны обе эти импликации, то имеем отношение фактической эквивалентности (равно значности) высказываний. Аналогом отношения противоре чия будет отношение, для которого характерна истинность импликаций: -пА 0 => В 0 иВ<р ^А 0 .

Обратим внимание читателя, что для фактических отно шений не подходят выражения типа: «Высказывания могут быть оба истинными» или «Не могут быть истинными», по скольку при учете конкретного содержания высказывания каждое из них уже истинно или ложно. Поэтому при характеристике фактических отношений должны учитываться ис тинностные значения высказываний.

отношения между категорическими суждениями

Обычно особо выделяют логические отношения между категорическими суждениями, ибо в традиционной логике при анализе отношений между суждениями имели в виду в основном категорические суждения, то есть суждения следу ющих видов:

Все 5 суть Р (тип А).

Ни одно S не суть Р (тип Е).

Некоторые 5 суть Р (тип I ).

Некоторые S не суть Р (тип О), как говорят, с одинаковой материей, то есть с одними и теми же субъектами и преди катами. Эти отношения изображают посредством так называемого «логического квадрата»:

По верхней горизонтали суждения типа А и Е контрарно противоположны, то есть несовместимы по истинности: они не могут быть одновременно истинными (но могут быть одновременно ложными; сравни: «Все люди курят» и «Ни один человек не курит»).

По нижней горизонтали суждения типа / и О находятся в отношении «перекрещивания» (обычное название — «суб-контрарность»). Они несовместимы по ложности, то есть не могут быть одновременно ложными (но могут быть одновременно истинными).

По обеим вертикалям — отношение логического подчинения: суждение типа А подчиняет /, а / подчинено А; аналогично для суждений типа Е и О соответственно. Для этого отношения характерно два свойства: 1) если истинно общее суждение, то истинно и подчиненное ему частное; 2) если ложно частное суждение, то ложно и соответствующее ему общее.

Отношение между суждениями, находящимися в концах диагоналей, — между А и О, Е и I — отношение контрадикторной противоположности (противоречия). Читатель без труда может охарактеризовать это отношение как такое, в котором эти суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

Упражнения

1. Используя правила «пронесения отрицания», укажите суждения, эквивалентные следующим:

  • а) не все существительные изменяются по падежам;
  • б) неверно, что ни один студент нашей группы не имеет высшего образования;
  • в) неверно, что некоторые люди прочитали все художес твенные произведения;
  • г) нет дыма без огня;
  • д) неверно, что все юристы и только они способны пра вильно составить текст договора;
  • е) неверно, что все люди, кроме лгунов, являются чест ными.

2. Используя правила пронесения отрицания, сформули руйте суждения, находящиеся в отношении противоречия к следующим:

  • а) все существительные изменяются по падежам;
  • б) встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике;
  • в) если не совершишь преступления, то не будешь и на казан;
  • г) если предприятие нерентабельно, то на нем плохо орга низована работа или устарело оборудование;
  • д) если слово является именем существительным, то оно изменяется по падежам и по числам;
  • е) либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех и кто-то не любит никого;
  • ж) ни один человек, кроме спортсмена, не может пробе жать марафонскую дистанцию.

3. Установите, являются ли эквивалентными следующие высказывания:

  • а) сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе;
  • б) если слово ставится в начале предложения, то оно пи шется с большой буквы. Неверно, что слово ставится в нача ле предложения и при этом не пишется с большой буквы;
  • в) если на улице не идет дождь, то на улице не сыро. Если на улице не сыро, то не идет дождь;
  • г) если Н. является следователем, то он является юрис том. Если Н. не является следователем, то он не юрист.
  • д) если человек лжет, то он не является честным. Если че ловек является честным, то он не лжет.

отношения между категорическими суждениями

Обычно особо выделяют логические отношения между категорическими суждениями, ибо в традиционной логике при анализе отношений между суждениями имели в виду в основном категорические суждения, то есть суждения следу ющих видов:

Все 5 суть Р (тип А).

Ни одно S не суть Р (тип Е).

Некоторые 5 суть Р (тип I ).

Некоторые S не суть Р (тип О), как говорят, с одинаковой материей, то есть с одними и теми же субъектами и преди катами. Эти отношения изображают посредством так называемого «логического квадрата»:

По верхней горизонтали суждения типа А и Е контрарно противоположны, то есть несовместимы по истинности: они не могут быть одновременно истинными (но могут быть одновременно ложными; сравни: «Все люди курят» и «Ни один человек не курит»).

По нижней горизонтали суждения типа / и О находятся в отношении «перекрещивания» (обычное название — «суб-контрарность»). Они несовместимы по ложности, то есть не могут быть одновременно ложными (но могут быть одновременно истинными).

По обеим вертикалям — отношение логического подчинения: суждение типа А подчиняет /, а / подчинено А; аналогично для суждений типа Е и О соответственно. Для этого отношения характерно два свойства: 1) если истинно общее суждение, то истинно и подчиненное ему частное; 2) если ложно частное суждение, то ложно и соответствующее ему общее.

Отношение между суждениями, находящимися в концах диагоналей, — между А и О, Е и I — отношение контрадикторной противоположности (противоречия). Читатель без труда может охарактеризовать это отношение как такое, в котором эти суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

Упражнения

1. Используя правила «пронесения отрицания», укажите суждения, эквивалентные следующим:

  • а) не все существительные изменяются по падежам;
  • б) неверно, что ни один студент нашей группы не имеет высшего образования;
  • в) неверно, что некоторые люди прочитали все художес твенные произведения;
  • г) нет дыма без огня;
  • д) неверно, что все юристы и только они способны пра вильно составить текст договора;
  • е) неверно, что все люди, кроме лгунов, являются чест ными.

2. Используя правила пронесения отрицания, сформули руйте суждения, находящиеся в отношении противоречия к следующим:

  • а) все существительные изменяются по падежам;
  • б) встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике;
  • в) если не совершишь преступления, то не будешь и на казан;
  • г) если предприятие нерентабельно, то на нем плохо орга низована работа или устарело оборудование;
  • д) если слово является именем существительным, то оно изменяется по падежам и по числам;
  • е) либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех и кто-то не любит никого;
  • ж) ни один человек, кроме спортсмена, не может пробе жать марафонскую дистанцию.

3. Установите, являются ли эквивалентными следующие высказывания:

  • а) сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе;
  • б) если слово ставится в начале предложения, то оно пи шется с большой буквы. Неверно, что слово ставится в нача ле предложения и при этом не пишется с большой буквы;
  • в) если на улице не идет дождь, то на улице не сыро. Если на улице не сыро, то не идет дождь;
  • г) если Н. является следователем, то он является юрис том. Если Н. не является следователем, то он не юрист.
  • д) если человек лжет, то он не является честным. Если че ловек является честным, то он не лжет.

Глава IX
Выводы (умозаключения)

Общая характеристика. Вывод (умозаключение) - это способ получения нового знания на основе некоторого имею щегося. Он представляет собой переход от некоторых выска зываний Л, ..., А Л (п > 1), фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию В и соответственно к знанию о наличии ситуации, которую опи сывает это высказывание. Например, в механике известно, что у всякого тела, плотность которого одинакова во всех его частях, геометрический центр и центр тяжести совпадают. Известно также (в результате астрономических наблюде ний), что у Земли эти центры не совпадают. Отсюда естест венно заключить, что плотность Земли не является одинако вой во всех ее частях. Едва ли нужно специально говорить о значении этой операции в познавательной и практической деятельности. Посредством умозаключений мы получаем приращение знаний, не обращаясь к исследованию предме тов и явлений самой действительности, имеем возможность открывать такие связи и отношения действительности, которые невозможно усмотреть непосредственно.

  • 1 То, что в современной логике называют процедурой вывода, в традиционной логике обозначали термином «умозаключение». Последнее менее точно, поскольку подразумевает фактически психологическую трактовку процедур. Но в ряде случаев мы сохраняем это обозначение, так как для многих — начавших изучение логики с традиционной — является более привычным.

Переход от некоторых высказывание А,,..., А(посылок умозаключения) к высказыванию В (заключению) в умозак лючении может совершаться на основе интуитивного усмот рения какой-то связи между А.... А п (л > 1) и В — такие умозаключения называют содержательными; или путем логического выведения одного высказывания из других - это умозаключения формально-логическо го характера. В первом случае оно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае его можно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя и является предметом изучения логики.

Содержание умозаключения может быть более или менее развернутым. Так, из того, что над землей низко летают ласточки, люди заключают часто, что завтра будет плохая пого да. Это умозаключение можно развернуть, выясняя, в чем именно состоит связь между ситуацией, которая фиксируется в посылке, и той, на которую указывает заключение. А именно, если объяснить, почему одно из наблюдаемых явлений (низкий полет ласточек) указывает на существование другого (будет плохая погода). В результате анализа получа ем последовательность переходов от одних явлений к дру гим: ласточки летают низко потому, что мошкара, за которой они охотятся, летает низко над землей. А это происходит в свою очередь потому, что в воздухе имеется повышенная влажность, от которой насекомые намокают и опускаются к земле. Наличие же повышенной влажности предвещает дождь, а, следовательно, и ненастье. Как видим, при развер тывании исходного умозаключения появляются новые посылки. Кстати, полезно обратить внимание, что в данном случае движение мысли идет в основном от следствий явле ний к их причинам.

Это полезно заметить потому, что в учебниках по логике нередко можно найти утверждение, что в наших содержа тельных рассуждениях движение мысли происходит от при чин к их следствиям. Как видим, это не всегда так. Таким об разом, отношение между посылками и заключением отлича ется от отношения причина — следствие (см. § 40).

В содержательных умозаключениях мы оперируем, по су ществу, не с самими высказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности, которые эти высказы вания представляют. Это и отличает содержательные умозаключения от умозаключений как операций логического характера, называемых иногда формализованными умозаклю чениями. В этих умозаключениях операции совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем по пра вилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний, то есть от значения дескриптивных тер минов. Для их применения необходимо учитывать лишь логи ческие формы высказываний (см. «Исчисление высказываний» и «Исчисление предикатов» - §§ 10, 11). Благодаря это му для умозаключений подобного типа мы имеем также чет кие критерии их правильности или неправильности. Тогда как для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этого рода и всегда возможен спор — рассуждает ли человек правильно или нет. Именно формализо ванные умозаключения являются предметом изучения логи ки. И именно их мы имеем в виду в дальнейшем.

Переход от содержательного умозаключения к формальнологическому, то есть формализация умозаклю чений, осуществляется посредством выявления — и явной фиксации ее в виде высказываний - всей информации, ко торая явно или неявно используется в содержательном рассуждении. Так, в примере с ласточками неявно используемая информация может быть выражена в общих суждениях: «Всегда, когда мошкара опускается к земле, опускаются и ласточки, охотящиеся за ней», «Всегда, когда намокает воло сяной покров насекомого, то оно опускается к земле» и т. п. При решении того или иного уравнения, процесс которого представляет собой содержательное рассуждение, также подразумеваются какие-либо посылки — общие утверждения специально-математического, а не логического характера, например: «Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же число, то равенство сохраняется. Равенство сохраняется также при умножении обеих частей на одно и то же число и при делении их на одно и то же число, отличное от нуля».

Структура и основные виды умозаключений. Умозаклю чение и отношение логического следования. В умозаключе нии, как мы уже говорили, различают посылки — высказывания, представляющие исходное знание, и заключение — высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.

В естественном языке существуют слова и словосочета ния, указывающие как на заключение («значит», «следова тельно», «отсюда видно», «поэтому», «из этого можно сделать вывод» и т. п.), так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ибо», «принимая во внимание, что...», «ведь» и т. п.). Представляя суждение в некоторой стандарт ной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным: вначале заключение — потом по сылки; заключение может находиться «между посылками». В приведенном в начале главы примере посылками служат два первых высказывания, а заключением — третье высказывание («плотность Земли не одинакова во всех ее частях»).

Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования (см. §§ 10, 11). Учитывая эту связь, мы различаем правильные и неправильные умозаключения.

Умозаключение, представляющее собой переход от посы лок Л,, .... А п к заключению В, является правильным, если между посылками и включением имеется отношение логического следования, то есть В является логическим след ствием А.,..., А п (л > 1). В противном случае — если между посылками и заключением нет такого отношения — умозак лючение неправильно.

Естественно, что логику интересуют лишь правильные умозаключения. Что же касается неправильных, то они при влекают внимание логики лишь с точки зрения выявления возможных ошибок.

В делении умозаключений на правильные и неправиль ные мы должны различать отношение логического следова ния двух видов — дедуктивное (рассмотренное выше — §§10, 11) и индуктивное - (см. часть II этой главы). Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе — при истинности посылок — обеспечива ет лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности). Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Первые иначе еще называют демонстративными (до стоверными) , а вторые - правдоподобными (проблематичными). Заметим, что в приводившемся примере с ласточками переход от наличия высокой влажности к выпадению осадков является лишь вероятностным умозаключением.

Выше (§§ 10, 11) мы рассмотрели связь отношения дедук тивного логического следования с понятием логического закона, а также и логического вывода. Напомним, наличие ло гического вывода А,, ..., А п h В указывает на то, что логиче ским законом является высказывание вида Л, & ... &.А п ^В. Таким образом оказывается, что основу правильных дедуктивных умозаключений составляют определенного вида законы логики.

Логический вывод можно охарактеризовать как некоторую последовательность умозаключений, хотя — поскольку речь идет о выводах в формализованных языках — его определяют просто как последовательность высказываний, избегая возможности привнесения психологических моментов в предмет логического анализа. В естественных языках мы имеем также некоторые подобия выводов, представляющих собой именно последовательности умозаключений. Обычно эти выводы не являются формализованными. Это проявляет ся в том, что в них могут опускаться и лишь подразумеваться некоторые посылки и логические переходы от одного к дру гому. Подобные выводы мы имели, например, в доказатель ствах теорем геометрии, при решении уравнений и т. д. Во обще, применяя термин «умозаключение», мы имеем в виду выводы именно в естественных языках. При этом выделяем именно такие умозаключения, которые являются так или иначе логически обоснованными.

СодержаниеДальше

наверх страницынаверх страницы на верх страницы









Заказать работу



© Библиотека учебной и научной литературы, 2012-2016 Рейтинг@Mail.ru Яндекс цитирования